Manuale di economia politica con una introduzione alla scienza sociale/Appendice

by Vilfredo Pareto

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Vilfredo Pareto - Manuale di economia politica con una introduzione alla scienza sociale (1919)

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1. Quest’appendice non è menomamente un trattato di economia matematica; non fosse altro perchè mancherebbe lo spazio; è solo un compendio per dare qualche concetto di quella parte dell’economia politica, e fare meglio intendere quanto abbiamo esposto nel presente manuale.

2. Sieno x e y le quantità di beni economici X e Y possedute da un individuo. Supponiamo che non ci sia da tenere conto dell’ordine in cui sono goduti X e Y (IV, 7), cioè consideriamo le disposizioni x y, y x come identiche. Movendo da una data combinazione x₁ y₁, cerchiamo tutte le altre x₂ y₂, x₃ y₃..., che, per l’individuo, sono equivalenti alla prima: tra le quali, per lui, è indifferente la scelta (III, 52). Coll’interpolazione otterremo una equazione:

(1)

$f_{1}(x,y)=0$

in cui dato ad x i valori	x1, x2 ...
si avranno per y i valori	y1, y2 ...

L’equazione (1) è quella di una linea di indifferenza¹ (III, 54). Movendo da un’altra combinazione x₁' y₁', non compresa tra le precedenti, si avrà l’equazione di un’altra linea di indifferenza; e così via di seguito. Diamo ad ognuna di quelle linee di indifferenza un indice I, come è detto (III, 55); avremo che agli indici v₁, v₂ ecc. corrispondono f₁, f₂ ecc.; e interpolando i coefficienti otterremo una funzione tale che riproduca le precedenti per diversi valori della c; onde l’equazione

(2)

$f(x,y,\mathrm {I} )=0$

ci darà, per opportuni valori di I, tutte le curve di indifferenza².

3. Se si considera l’equazione (2) come quella d’una superficie, le proiezioni sul piano x y, delle sue curve di livello, saranno le linee di indifferenza. Tale superficie è in parte arbitraria, poichè in parte è arbitraria la I, cioè è una qualsiasi tra le superficie che hanno per proiezioni delle curve di livello le curve di indifferenza date dalle equazioni

$f_{1}=0,\;f_{2}=0\ldots ,$

e di quelle intermedie che si possono dedurre per interpolazione, oppure dando opportuni valori alla I nell’equazione (2).

Giova, per semplicità, porre l’equazione (2) sotto la forma

(3)

$I=\Psi (x,y)$

Dando un valore costante ad I, si ha una curva di indifferenza.

4. Se si suppone che il piacere sia una quantità, cioè che l’ofelimità esista, e se si indica con

(4)

$I=\Phi (x,y)$

l’ofelimità della combinazione x y, è evidente che la scelta tra due combinazioni sarà indifferente se danno lo stesso valore di I, ossia

(5)

$\Phi (x,y)=\mathrm {costante}$

sarà l’equazione di una curva di indifferenza. Dovrà quindi tale equazione essere compresa tra le (3) o tra quelle intermedie dedotte per interpolazione.

5. La superficie che ha I per ordinata si può chiamare superficie del piacere o dell’ofelimità (III, 58). Essa è una delle superficie che hanno per linee di livello le (3), ma non sappiamo quale sia. Ecco perchè non possiamo, in generale, dall’esperienza dell’economia statica dedurre la misura dell’ofelimità; quell’esperienza dandoci solo le equazioni (3), o quelle che ad esse sono intermedie.

6. Differenziando l’equazione (2), in cui I si suppone costante, ed eliminando poi I, mercè la (2); oppure differenziando direttamente la (3), si ottiene

(6)

$\Psi _{x}dx+\Psi _{y}dy=0;$

la quale è quindi anche l’equazione differenziale delle linee di livello della (4).

L’equazione (6) è indipendente dal sistema di indici adottato. Integrandola dovrà dare tutti quei sistemi di indici, e si avrà

$\mathrm {I} =\mathrm {F} (\Psi ),$

ove F è una funzione arbitraria, e

$\Psi =\mathrm {costante}$

è un integrale di (6).

7. L’ofelimità elementare (III, 33) di X è

${\frac {\partial {\mathrm {I} }}{\partial x}}=\varphi _{x}(x,y),$

e si ha un’espressione simile per l’ofelimità elementare di Y.

Si ha quindi

(8)

$\varphi _{x}=\Psi _{x}\mathrm {F} ',\;\;\varphi _{y}=\Psi _{y}\mathrm {F} '.$

8. Nel caso in cui l’ofelimità elementare di X dipende solo da x, e quella di Y dipende solo da y (IV, 8), si vede tosto dalle (8) che l’equazione (6) deve avere un fattore d’integrazione F' tale che φ_x sia funzione solo di x, e φ_y funzione solo di y.

L’integrale generale dell’equazione

(9)

$\varphi _{x}dx+\varphi _{y}dy=0$

sarebbe

$\mathrm {I} =\mathrm {F} (\Phi ),$

che darebbe

${\frac {\partial \mathrm {I} }{\partial x}}=\varphi _{x}\mathrm {F} ',\;\;{\frac {\partial \mathrm {I} }{\partial y}}=\varphi _{y}\mathrm {F} ';$

ma poichè l’ofelimità elementare di X è funzione solo di X, e quella di Y è funzione solo di Y, occorre che, nelle equazioni precedenti si abbia F' costante, cioè

$\mathrm {F} '=\mathrm {A} ,$

e perciò

$\mathrm {I} =\mathrm {A} \Phi$

In tale caso l’ofelimità elementare può dunque determinarsi coll’esperienza, rimanendo solo indeterminata una costante, che rappresenta l’unità di misura.

9. Giova osservare che, nella statica economica, due cose X e Y aventi per ofelimità elementari

(10)

$\varphi _{x},\;\;\varphi _{y},$

si comportano precisamente come se avessero le ofelimità

(11)

$\varphi _{x}\mathrm {F} '(\Phi ),\;\;\varphi _{y}\mathrm {F} '(\Phi );$

onde se diciamo X', Y' due cose ideali aventi quelle ofelimità, le cose X, Y sono perfettamente equivalenti a X', Y'.

Da ciò segue che: 1.° Cose X, Y aventi ofelimità elementari che dipendono solo, rispettivamente, da x e da y, si possono sempre considerare come equivalenti a cose ideali X', Y', ciascuna delle quali ha un’ofelimità elementare dipendente da x e da y. 2.° Viceversa, in qualche caso, due cose X e Y aventi ciascuna un’ofelimità elementare dipendente da x e da y, possono considerarsi come equivalenti ad una cosa ideale X' di cui l’ofelimità elementare dipende solo da x, e ad altra cosa ideale Y di cui l’ofelimità elementare dipende solo da y.

10. Proprietà dalle curve di indifferenza. — 1.° Poichè, lungo una curva di indifferenza, una diminuzione della quantità di X deve essere compensata da un aumento della quantità di Y, e viceversa, si deve avere

(12)

${\frac {dy}{dx}}<0;$

ed è il primo carattere delle linee di indifferenza.

2.° In generale poi, e lasciando da parte casi eccezionali, la quantità variabile dy che si è disposti a dare, lungo una curva di indifferenza, per una quantità costante dx scema man mano che cresce x, quindi si ha il secondo carattere

(13)

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}>0.$

3.° Per altro scema tanto meno dy quanto più grande è x, onde, sempre in generale, si ha

(14)

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}<0.$

Sinora abbiamo considerato le variazioni delle coordinate lungo una stessa linea di indifferenza; vediamo ora cosa segue passando da una linea ad un’altra. Indichiamo con δ_x le variazioni che si hanno quando si passa da una linea ad un’altra lungo una parallela all’asse delle x; e con δ_y, le stesse variazioni lungo una parallela all’asse delle y.

Considerazioni analoghe alle precedenti ci fanno conoscere che

(15)

$\delta _{x}{\frac {dy}{dx}}>0,\;\;\delta _{y}{\frac {dy}{dx}}<0.$

il che, del rimanente, si ottiene direttamente, coi primi principii del calcolo delle variazioni.

Ossia se a b c figura gli elementi di una linea Fig. 59.di indifferenza, a' b' quelli di un’altra; l’inclinazione α' di a' b' su o x è maggiore dell’inclinazione α di a b, e minore dell’inclinazione β di b c.

11. Caratteri degli indici dedotti da quelli delle linee di indifferenza. — Supponiamo che l’equazione contenga già il fattore di integrabilità, se occorre. Quindi

${\frac {\partial \Psi }{\partial x}}=\psi _{x},\;\;{\frac {\partial \Psi }{\partial y}}=\psi _{y};$

e

$\mathrm {I} =\Psi$

dà un sistema di indici.

1.° Secondo la prima proprietà delle linee di indifferenza, dx e dy debbono avere segni contrari; quindi, in virtù della (6), occorre che ψ_x, ψ_y abbiano lo stesso segno, e si può scegliere il positivo. La prima proprietà degli indici (IV, 32), che corrisponde alla prima proprietà delle linee di indifferenza è dunque data da

(16)

${\frac {\partial \mathrm {I} }{\partial x}}>0,\;\;{\frac {\partial \mathrm {I} }{\partial y}}>0$.

2.° La prima delle ineguaglianze (15) si può scrivere

$-{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\psi _{x}}{\psi _{y}}}>0;$

ossia, indicando con ψ_xx, ecc., le seconde derivate di ψ, si ottiene la prima delle ineguaglianze seguenti, e la seconda si ha analogamente dalla seconda delle (15),

(17)

${\begin{cases}\psi _{xx}\psi _{y}-\psi _{xy}\psi _{x}<0,\\\psi _{yy}\psi _{x}-\psi _{xy}\psi _{y}<0.\\\end{cases}}$

Nel caso in cui il sistema di indici è tale che si abbia

$\psi _{xy}=0,$

le disuguaglianze precedenti divengono

(18)

$\psi _{xx}<0,\;\;\psi _{yy}<0,$

e dànno la seconda proprietà di quegli indici (IV, 33).

3.° Vediamo a cosa corrisponde la seconda proprietà delle curve di indifferenza. Poniamo

$y'={\frac {dy}{dx}},\;\;y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},$,.....,

e deriviamo, lungo una curva di indifferenza; la equazione

(19)

$\psi _{x}+y'\psi _{y}=0;$

dà

$y''\psi _{y}=-\psi _{xx}-2\psi _{xy}y'-\psi _{yy}y'^{2},$

ossia

$y''\psi _{y}^{3}=-\psi _{xx}\psi _{y}^{2}+2\psi _{xy}\psi _{x}\psi _{y}-\psi _{yy}\psi _{x}^{2}.$

Quindi, in virtù di (13)

(20)

$-\psi _{xx}\psi _{y}^{2}+2\psi _{xy}\psi _{x}\psi _{y}-\psi _{yy}\psi _{x}^{2}>0.$

Ma non abbiamo così una nuova proprietà degli indici, poichè questa disuguaglianza risulta semplicemente dalle (17).

12. Altro carattere dell’ofelimità. — Abbiamo veduto (IV, 42) che quando le ofelimità di X e di Y sono indipendenti, od anche, in generale e per grandi numeri, quando tra esse corre una dipendenza del primo genere, si può ritenere che l’ofelimità elementare di una merce composta in proporzioni qualsiasi di X e di Y scema col crescere della quantità totale.

Ciò vuol dire che se poniamo

$y=\alpha x,$

e se consideriamo una merce ottenuta con x di X e y di Y, la quantità

$d^{2}\Phi =\varphi _{xx}dx^{2}+2\varphi _{xy}dxdy+\varphi _{yy}dy^{2}$

dovrà essere sempre negativa per tutti i valori positivi di x, cioè si dovrà avere

$\varphi _{xx}+2\alpha \varphi _{xy}+\alpha ^{2}\varphi _{yy}<0.$

Perciò, come è ben noto, occorre che si abbia

(21)

$\varphi _{xx}\varphi _{yy}-\varphi _{xy}^{2}>0.$

Quando le ofelimità di X e di Y sono indipendenti, avendosi

$\varphi _{xy}=0,\;\;\varphi _{xx}<0,\;\;\varphi _{yy}<0;$

la disuguaglianza (21) è soddisfatta, e non abbiamo quindi un nuovo carattere dell’ofelimità.

Ma nel caso della dipendenza del primo genere, avendosi

$\varphi _{xy}>0,$

la disuguaglianza (21) ci dà un nuovo carattere dell’ofelimità (§ 49).

Come è ben noto quella disuguaglianza ci fa conoscere che l’indicatrice della superficie dell’ofelimità è un’ellisse. Del resto, al limite quella superficie può essere un piano.

Nel caso della dipendenza di secondo genere (IV, 41), avendosi

$\varphi _{xy}<0,$

si vede che quando dx e dy hanno lo stesso segno si ha sempre

$d^{2}\Phi <0;$

ma, quando hanno segue contrario, nulla possiamo concludere.

13. Caratteri delle curve di indifferenza dedotti da quelli dell’ofelimità. — Facciamo ora l’operazione inversa della precedente. Supponiamo che si conosca l’ofelimità

$I=\Phi ,$

e ricaviamone i caratteri delle curve di indifferenza

(22)

$\varphi _{x}dx+\varphi _{y}dy=0.$

1.° Dal 1.° carattere dell’ofelimità (IV, 32) si ricava subito il 1.° carattere delle curve di indifferenza.

2.° L’equazione (22) trattata come la (19) dà un’equazione simile a quella per tal modo ottenuta in cui le φ sostituiscono le ψ, cioè

(23)

$y''\varphi _{y}^{3}=-\varphi _{xx}\varphi _{y}^{2}+2\varphi _{xy}\varphi _{x}\varphi _{y}-\varphi _{yy}\varphi _{x}^{2}.$

Quando i consumi delle merci sono indipendenti si ha

(24)

$\varphi _{xy}=0;$

e la seconda proprietà dell’ofelimità (IV, 33) dando

(25)

$\varphi _{xx}<0,\;\;\varphi _{yy}<0,$

si vede dalla (23) che si ha

(26)

$y''>0;$

il che dà la seconda proprietà delle curve di indifferenza (§ 10).

Ma se i consumi non sono indipendenti, non ha più luogo l’equazione (24), ed occorre tener conto del valore di φ_xy.

1.° Primo genere di dipendenza (IV, 9). Tanto nel caso (α) come in quello (β), secondo ciò che si è detto (IV, 40) si ha

$\varphi _{xy}>0;$

quindi quest’equazione, unita alla (25) ed alla (23), fa vedere che si ha ancora la (26).

Questo caso e il precedente si possono trattare insieme, e si può dedurre subito l’equazione (26) dalla (23) e dalla (21).

2.° Secondo genere di dipendenza (IV, 14). Secondo ciò che si è detto (IV, 41) si ha

$\varphi _{xy}<0,$

quindi nulla, dall’equazione (23), si può concludere circa al segno di y'', ed occorre ricorrere all’osservazione diretta delle linee di indifferenza.

14. Quando vi sono più beni economici X, Y, Z..., di cui il consumo è indipendente, si paragonano Y, Z..., ad X e si hanno curve di indifferenza, precisamente come nel caso di due beni.

L’indice di ofelimità è

(28)

$\mathrm {I} =\Phi (x,y,z...);$

x, y, z... essendo variabili indipendenti. L’ofelimità elementare di X, dipende solo da x; quella di Y, da y, ecc.. cioè

(29)

${\frac {\partial \mathrm {I} }{\partial x}}=\varphi _{x}(x),\;\;{\frac {\partial \mathrm {I} }{\partial y}}=\varphi _{y}(y).\ldots$

Pel 1.° genere di dipendenza (α) (IV, 10), si possono ancora paragonare Y, Z..., ad X, e si ha una equazione come la (28); ma invece delle (29), si ha

${\frac {\partial \mathrm {I} }{\partial x}}=\varphi _{x}(x,y,z...),\;\;{\frac {\partial \mathrm {I} }{\partial y}}=\varphi _{y}(x,y,z...).$

In molti casi si osserva che l’ofelimità elementare di X, varia molto con x, e poco con y, z...; e similmente per quelli di Y, Z.... Si può dunque approssimativamente, ed entro certi limiti, porre

${\frac {\partial \mathrm {I} }{\partial x}}=\varphi _{x}(x,y_{0},z_{0}...),\;\;{\frac {\partial \mathrm {I} }{\partial y}}=\varphi _{y}(x_{0},y,z_{0}...).$

x₀, y₀..., essendo valori costanti, e così si ricade nel caso precedente (IV, 11).

15. Per la dipendenza di 1.° genere (β), si hanno beni rigorosamente complementari (IV, 12). Se per esempio X non può essere adoperato che col doppio di Y, si avrà

$y=2x;$

sparisce quindi una delle variabili in (28). Analogamente, colle relazioni che ci possono essere tra x, y, z..., si eliminano in (28) parte di quelle variabili; le altre che rimangono si possono considerare come indipendenti, e torniamo ai casi precedenti.

Quando i beni non sono rigorosamente complementari, si può approssimativamente, entro certi limiti, considerarli come aventi la dipendenza del 1.° genere (α) (IV, 12).

Studiamo la dipendenza di 2.° genere (IV, 16). La differenza colla dipendenza dei beni rigorosamente complementari sta in ciò che per questi, data la quantità di uno dei beni, sono determinate anche quelle degli altri; mentre per la dipendenza di 2.° genere sono solo determinati certi limiti di quelle quantità. Per esempio, dato il numero dei coltelli da tavola x, è pure determinato il numero dei manichi y, cioè x = y. Invece, se supponiamo che un uomo deve nutrirsi mangiando certa quantità di pane x, e certa quantità y di polenta, avremo, a modo d’esempio, che x può variare tra zero ed uno, mentre y varia tra due e zero, essendo possibili tutte le combinazioni intermedie. Per quelle combinazioni valgono le considerazioni fatte pel 1.° genere di dipendenza della 1.^a specie (α). Ai limiti delle combinazioni si devono considerare le gerarchie delle merci (IV, 19).

16. Dalle cose sin qui dette si vede quanto sia difficile di usare l’analisi matematica per il problema delle ofelimità in generale³. La difficoltà nasce anche da ciò che l’analisi si presta malamente a trattare funzioni discontinue dal genere di quelle che occorrono per figurare le ofelimità.

Vedasi un caso semplicissima, quale è quello (IV, 55); la rappresentazione algebrica della linea spezzata α c β, fig. 31, si può ottenere formalmente, ma poco giova perchè difficilmente trattabile coi mezzi dell’analisi matematica; tanto più che occorre tenere conto che servono solo i tratti di rette α c e c β, e non già i loro prolungamenti. Anche più difficile sarebbe la rappresentazione analitica del caso della fig. 31 (IV, 57), che pure appare geometricamente tanto semplice.

Si conclude da tutto ciò che è vano di voler considerare il problema in tutta la sua estensione: il problema si può solo studiare in una piccola regione intorno ad un certo punto (IV, 67), ed occorre sostituire funzioni approssimate a quelle che rappresenterebbero rigorosamente le ofelimità, e che, del resto, ci sono assolutamente ignote.

17. Invece delle linee di indifferenza, si possono adoperare altre linee per figurare i gusti dell’individuo. Supponiamo di avere una certa combinazione x₁ y₁, e consideriamo tutte quelle, ad esso prossime, date da x₁ + dx₁, y₁ + dy₁, tali che

$dx_{1}^{2}+dy_{1}^{2}=d\rho ^{2}.$

Cerchiamo quale combinazione è preferita dall’individuo. Poi da questa passiamo ad un’altra e via di seguito. Avremo così una linea di preferenza. Queste linee sono le linee di massima pendenza della superficie dell’ofelimità e tagliano normalmente le linee di indifferenza (§ 19).

18. Diciamo degli ostacoli di secondo genere (III, 73). Supponiamo che sia data la linea che si segue nelle trasformazioni (III, 74), della quale l’equazione sarà

(30)

$f(x_{1}y_{1}\mu )=0.$

μ essendo un parametro, il quale, se si fa variare, dà un genere di curve. Supponiamo che gli ostacoli di secondo genere ci costringano a seguire quel genere di curve. Scegliamo a caso una di quelle curve, quella, ad esempio, per la quale μ = μ₁, l’equilibrio avrà luogo nel punto di tangenza di una di dette curve e di una curva di indifferenza, (III, 94), cioè sarà determinato dalle equazioni

(31)

$f_{x}dx+f_{y}dy=0,\;\;\varphi _{x}dx+\varphi _{y}dy=0;$

in cui, al solito,

$f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}},\;\;f_{y}={\frac {\partial f}{\partial y}}$.

Dall’equazione (31) si ricava

(32)

$\varphi _{x}f_{y}-\varphi _{y}f_{x}=0.$

Quest’equazione e la (30) determinano le coordinate x, y del punto di equilibrio.

19. Se è dato solo il genere della linea delle trasformazioni, rimane ancora da determinare μ, e perciò è necessario un’altra equazione. Ma in ogni modo bisogna badare bene che nel derivare la (30) per ottenere la (31), μ si deve considerare come costante, poichè l’equilibrio ha luogo lungo una di quelle linee, la quale è poi determinata dalle altre condizioni del problema.

Se μ rimane variabile, l’equazione (32) ci dà una classe di curve, le quali potrebbero servire invece delle linee di indifferenza, e delle linee di preferenza, per determinare i gusti di un individuo.

20. Nel caso del baratto fra due individui: 1 e 2 indicando cogli indici 1 e 2 le quantità che si riferiscono a quelli individui, la condizione che ciò che riceve uno è dato dall’altro ed espressa da

(33)

$x_{1}+x_{2}=\mathrm {X} ,\;\;y_{1}+y_{2}=\mathrm {Y} ;$

X e Y essendo costanti. L’equazione (30) diventa pel primo individuo

(34)

$f_{1}(x_{1},y_{1},\mu )=0,$

e pel secondo

$f_{1}(\mathrm {X} -x_{2},\mathrm {Y} -y_{2},\mu )=0.$

Questa non è una nuova equazione, poichè è una semplice conseguenza della (33) e della (34). Poniamo

$f_{1}(\mathrm {X} -x_{2},\mathrm {Y} -y_{2},\mu )=f_{2}(x_{2},y_{2},\mu ),$

e indichiamo con f₁ il primo membro della (34). Se ciascun individuo segue la linea (30) senza curarsi d’altro che di giungere, su quella linea, ad un punto di equilibrio, cioè nel caso della libera concorrenza, avremo per ciascun individuo un’equazione simile alla (32), cioè

(35)

$\varphi _{1x}f_{1y}-\varphi _{1y}f_{1x}=0,\;\;\varphi _{2x}f_{2y}-\varphi _{2y}f_{2x}=0.$

Il problema è risoluto da queste equazioni, dalla (34) e dalle (33); in tutto sono 5 equazioni, che determinano le 5 incognite: x₁, y₁, x₂, y₂, μ.

21. L’equazione (30) è generalmente data sotto altra forma, cioè si dà una relazione in cui figura il prezzo p di X in Y,

(36)

$p=-{\frac {dx}{dy}}.$

Il prezzo deve essere lo stesso pei due individui, onde, tornando all’esempio precedente, si deve avere

${\frac {dx_{1}}{dy_{1}}}={\frac {dx_{2}}{dy_{2}}};$

tale equazione deve avere luogo non solo pel punto di equilibrio, ma anche lungo la via seguita nei baratti.

Supponiamo che il prezzo abbia la forma

(37)

$p=\mu _{1}+h_{1}y_{1}=\mu _{2}+h_{2}y_{2}$

Tenendo conto della (33), si ottiene

$\mu _{1}+h_{1}y_{1}=\mu _{2}+h_{2}(\mathrm {Y} -y_{1})=0;$

e poichè tale equazione deve avere luogo, qualunque valore abbia y₁, essa si scinde nelle due seguenti

(38)

$h_{2}=-h_{1},\;\;\mu _{2}=\mu _{1}+\mathrm {Y} h_{1};$

rimangono dunque solo da determinare le due costanti μ₁, h₁.

Indichiamo con x₁₀, x₂₀, y₁₀, y₂₀, i valori iniziali di x₁, x₂, y₁, y₂, e integriamo le equazioni che dànno il prezzo, per avere le funzioni indicate precedentemente con f₁, f₂, avremo

$f_{1}=x_{1}-x_{10}+\mu _{1}(y_{1}-y_{10})+{\frac {h_{1}}{2}}(y_{1}^{2}-y_{10}^{2})=0$

$f_{2}=x_{2}-x_{20}+\mu _{2}(y_{2}-y_{20})+{\frac {h_{2}}{2}}(y_{2}^{2}-y_{20}^{2})=0.$

Queste due equazioni dànno una sola via per i baratti, in grazia delle equazioni (37), (33), (38). Una di quelle equazioni è conseguenza delle altre e deve essere soppressa.

L’equilibrio sarà quindi determinato dalle equazioni

(39)

${\begin{cases}\varphi _{1x}f_{1y}-\varphi _{1y}f_{1x}=0,\;\;\varphi _{2x}f_{2y}-\varphi _{2y}f_{2x}=0,\\f_{1}=0,\;\;f_{2}=0,\;\;y_{1}+y_{2}=\mathrm {Y} .\end{cases}}$

Sono 5 equazioni, che determinano le 4 quantità x₁, x₂, y₁, y₂, e una delle due costanti μ₁, h₁. L’altra costante dovrà dunque essere data, od essere determinato da qualche nuova condizione. In quanto alle costanti μ₂, h₂, sono determinate dalla (38).

Se i prezzi sono costanti, le (37) divengono

$p=\mu _{1}=\mu _{2};$

e l’equilibrio è determinato dal sistema (39). Le 5 equazioni di quel sistema determinano le quantità e il prezzo.

Non si è tenuto conto della prima delle equazioni (33), perchè, come si vedrà al § 28, essa è conseguenza delle altre.

Volendola conservare sarebbe necessario di sopprimere una delle equazioni di cui è conseguenza, onde, per esempio, l’equilibrio sarebbe egualmente determinato dal sistema

(40)

${\begin{cases}\varphi _{1x}f_{1y}-\varphi _{1y}f_{1x}=0,\;\;\varphi _{2x}f_{2y}-\varphi _{2y}f_{2x}=0,\\f_{1}=0,\;\;x_{1}+x_{2}=\mathrm {X} ,\;\;y_{1}+y_{2}=\mathrm {Y} .\end{cases}}$

22. Si noti che la prima delle (31) e la (36) dànno

$p=f_{1y}:f_{1x}=f_{2y}:f_{2x}.$

onde la (32) diventa

(41)

$\varphi _{1x}={\frac {1}{p}}\varphi _{1y},\;\;\varphi _{2x}={\frac {1}{p}}\varphi _{2y};$

ed è questa la forma sotto la quale si dà generalmente. Si potrebbe trovare direttamente, osservando che, per l’equilibrio, occorre che il prezzo lungo la linea dei baratti, nel punto di equilibrio, sia pure il prezzo lungo la linea di indifferenza che passa per quel punto.

Le equazioni (41) esprimono l’eguaglianza delle ofelimità ponderate nel punto di equilibrio.

23. Si noti che le equazioni (41) sussistono solo nel punto di equilibrio; quindi: 1.°, il prezzo che figura in quelle equazioni è quello del punto di equilibrio. Se il prezzo è costante, non è evidentemente diverso nel punto di equilibrio ed in un punto qualsiasi della via seguita nei baratti; ma se è variabile, può essere ed è generalmente diverso. 2.° Non si possono considerare le equazioni (41) come equazioni alle derivate parziali rispetto a φ_1x, φ_1y, φ_2x, φ_2y ed integrarle, poichè sussistono solo per valori particolari delle variabili. Tali osservazioni sono tanto elementari che sarebbero proprio superflue se non fossero state dimenticale da parecchi autori.

Le equazioni (33) e (34) sono d’indole diversa delle equazioni (41); poichè sussistono per valori qualsiasi delle variabili lungo la via seguita nei baratti, e non già per i soli valori particolari del punto di equilibrio, come le (41). Quindi tali equazioni si possono differenziare rispetto a x₁, y₁, x₂, x₂. Occorre distinguere accuratamente se si differenzia lungo la via del baratto, oppure per passare da una di quelle vie ad un’altra. Nel caso in cui la via del baratto è data da un prezzo costante, quando si differenzia per passare da una via ad un’altra, devesi far variare il prezzo. Anche questa osservazione è tanto elementare che sarebbe assolutamente superflua, se non fosse stata dimenticata da qualche autore, il quale suppose perfino che fosse per errore che nel Cours si differenziasse, lungo la via del baratto, supponendo p costante; e per dare credito a questa e ad altre simili osservazioni e scoperte tirò fuori il Weierstrasse, il quale, poveretto, in tutto ciò non ci ha proprio che vedere, e che, in vita sua, non pescò mai simili granchi.

24. Nel caso molto generale in cui si considerano prezzi che non variano colle quantità x, y, abbiamo ora veduto che l’equazione

$f=0$

toglieva la forma

(42)

$x-x_{0}+p(y-y_{0})=0.$

Essa figura una retta, e il parametro μ è eguale a p.

25. Torniamo al caso del § 20 e supponiamo che l’individuo 1 seguiti bensì a percorrere una delle linee (30), senza curarsi d’altro che di giungere al punto di equilibrio, ma che l’individuo 2 abbia podestà di mutare il valore dei coefficienti che determinano la via (caso del monopolio), e che di tale facoltà si valga per ottenere certi vantaggi. Nel caso dei prezzi costanti, che qui considereremo, il coefficiente che determina la via è il prezzo.

Nel sistema (40) occorre sopprimere la seconda equazione, che ha luogo solo quando l’individuo 2 non ha podestà di imporre la via da seguire, e si hanno così 4 equazioni

(43)

${\begin{cases}\varphi _{1x}f_{1y}-\varphi _{1y}f_{1x}=0,\\f_{1}=0,\;\;x_{1}+x_{2}=\mathrm {X} ,\;\;y_{1}+y_{2}=\mathrm {Y} ,\end{cases}}$

colle quali si potrebbero determinare le 4 quantità, ove fosse noto il prezzo.

Per determinare il prezzo, occorre vedere quali vantaggi vuole conseguire l’individuo 2. Seguitiamo ad indicare con d le variazioni lungo una delle curve (30), mentre μ rimane costante; ed indichiamo con δ le variazioni quando si passa da una curva ad un’altra, cioè facendo variare μ. Dalle equazioni (43) si ricavano i valori di δx₂, δy₂ in funzione di δμ, e si può porre

(44)

$\delta x_{2}=m_{x}\delta \mu$, $\delta y_{2}=m_{y}\delta \mu$.

1.° Se 2 vuole avere il massimo di ofelimità, occorre porre

$\varphi _{2x}\delta x_{2}+\varphi _{2y}\delta y_{2}=0,$

e in virtù delle (44) si ha

(45)

$\varphi _{2x}m_{x}+\varphi _{2y}m_{y}=0.$

Quest’equazione sostituisce la seconda delle (40). Le equazioni (43) e (45) sono in numero di 5 e determinano le 5 incognite.

2.° Se l’individuo 2, vendendo dell’Y, vuole procurarsi la massima quantità di X, occorrerà porre δx₂=0,, ossia, in virtù delle (41)

(46)

$m_{x}=0.$

Quest’equazione sostituisce la seconda delle (35), ed unita alle (43) dà 5 equazioni per determinare le 5 incognite x₁, y₁, x₂, y₂, μ.

26. Supponiamo che si abbiano più individui: 1, 2, 3..., e più merci: X, Y, Z...; e, per trattare il caso più generale, supponiamo che i prezzi p_y, p_z,... delle merci sono variabili, pure rimanendo gli stessi per i vari individui.

Il numero degli individui sia θ, e quello delle merci sia m.

Per l’individuo 1, le quantità, in un momento qualsiasi del baratto, sono . . x₁, y₁, z₁, . . . . in principio sono . . . . . . . . x₁₀, y₁₀, z₁₀, . . . . in fine sono . . . . . . . . . . . x'₁, y'₁, z'₁, . . . . e similmente per gli altri individui.

Pongasi

(47)

$\mathrm {X} =x_{1}+x_{2}+\cdots \cdots$, $\mathrm {Y} =y_{1}+y_{2}+........$;

poichè nel baratto le quantità totali rimangono costanti, si deve avere

(48)

$\mathrm {X} =\mathrm {X} _{0}=\mathrm {X} '$, $\mathrm {Y} =\mathrm {Y} _{0}=\mathrm {Y} ',\ldots$

Sono queste le equazioni caratteristiche del baratto, e si possono anche scrivere nel modo seguente

(49)

${\begin{cases}x_{1}-x_{10}+x_{2}-x_{20}+\cdots =0,\\y_{1}-y_{10}+y_{2}-y_{20}+\cdots =0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

27. Sia

$f_{1}=0$

l’equazione della strada seguita dall’individuo 1 nel baratto. Nelle condizioni usuali del baratto, occorre che f₁ sia funzione solo di x₁, y₁, z₁, ..., e non di x₂, y₂, z₂, ...; poichè se di tali variabili fosse funzione, varierebbe con esse, e quindi la quantità di X posseduta da 1 varierebbe non pei soli baratti che egli fa, ma bensì anche per quelli che fanno altri. Sarebbe il caso, per esempio, nel quale 1 percepisse un tributo sui baratti altrui. Quindi nel caso del semplice baratto, la strada percorsa da ciascun individuo deve essere data da una equazione tra le quantità che si riferiscono esclusivamente a quell’individuo. Inoltre, i prezzi, variabili per momenti successivi del baratto, sono, allo stesso momento, gli stessi per tutti gli individui.

I prezzi di Y per il 1.°, 2.°, ... individuo sono

$-{\frac {\partial x_{1}}{\partial y_{1}}}=f_{1y}:f_{1x},\;\;-{\frac {\partial x_{2}}{\partial y_{2}}}=f_{2y}:f_{2x},\ldots ;$

essi debbono essere tutti eguali; e similmente per i prezzi delle merci Z, U, ....; onde si ha

(50)

${\begin{cases}f_{1y}:f_{1x}=f_{2y}:f_{2x}=\cdots \\f_{1z}:f_{1x}=f_{2z}:f_{2x}=\cdots \end{cases}}$

Occorre che queste equazioni e le (47) sussistano per tutti i valori delle variabili, e tale condizione servirà a determinare parte dei coefficienti.

28. Abbiamo in generale

$f_{1x}{\frac {\partial x_{1}}{\partial y_{1}}}dy_{1}+f_{1y}dy_{1}=0,\;\;f_{2x}{\frac {\partial x_{2}}{\partial y_{2}}}dy_{2}+f_{2y}dy_{2}=0.$

Sommando, e tenendo conto delle (50), si ottiene

(51)	${\frac {\partial x_{1}}{\partial y_{1}}}dy_{1}+{\frac {\partial x_{2}}{\partial y_{2}}}dy_{2}+\cdots$
	$+{\frac {f_{1y}}{f_{1x}}}(dy_{1}+dy_{2}+...)=0.$

Ma differenziando le (49) si ottiene

${\frac {\partial x_{1}}{\partial y_{1}}}dy_{1}+{\frac {\partial x_{2}}{\partial y_{2}}}dy_{2}+\cdots =0.$

$dy_{1}+dy_{2}+\cdots =0.$

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Quando la seconda di queste equazioni è soddisfatta, lo è pure la prima, in virtù delle (51). Segue da ciò che la prima delle equazioni (49) è conseguenza delle altre e delle equazioni delle vie seguite

(52)

$f_{1}=0,\;\;f_{2}=0,\ldots ;$

e quindi deve essere soppressa.

Se il prezzo di X, ad esempio, dipende dalle quantità consumate di Y, Z ..., il prezzo di Y dipende dalle quantità di X, Z ..., il prezzo di X varierà secondochè si principia col consumare X e poi Y, o viceversa. Perchè i consumi sieno indipendenti dall’ordine in cui sono fatti, occorre che ciò non abbia luogo. Giova quindi supporre che p_x è solo funzione della quantità di X consumata, p_y è solo funzione della quantità di Y, ecc. Altrimenti occorre dare le condizioni che fissano l’ordine dei consumi.

29. Per non dilungarci troppo, supponiamo che le equazioni delle vie seguite abbiano la forma

	$x_{1}-x_{10}+\mu _{1}(y_{1}-y_{10})+{\frac {h_{1}}{2}}(y_{1}^{2}-y_{10}^{2})$
	$+\nu _{1}(z_{1}-z_{10})+{\frac {k_{1}}{2}}(z_{1}^{2}-z_{10}^{2})+\cdots \cdot =0$
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .;

onde le equazioni (50) diventano

(53)

${\begin{cases}\mu _{1}+h_{1}y_{1}=\mu _{2}+h_{2}y_{2}=\cdots \\\nu _{1}+k_{1}z_{1}=\nu _{2}+k_{2}z_{2}=\cdots \\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

Perchè tali equazioni e le (47) non determinino le variabili, occorre che si abbia

(54)

${\begin{cases}\displaystyle {{\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{3}}}+\cdots \cdot =0,}\\\displaystyle {{\frac {\mu _{1}}{h_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{h_{2}}}+\cdots \cdot =-\mathrm {Y} }\\\displaystyle {{\frac {1}{k_{1}}}+{\frac {1}{k_{2}}}+{\frac {1}{k_{3}}}+\cdots \cdot =0,}\\\displaystyle {{\frac {\nu _{1}}{k_{1}}}+{\frac {\nu _{2}}{k_{2}}}+\cdots \cdot =-\mathrm {Z} }\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

Sono in tutto 2 (m — 1) equazioni; i coefficienti sono 2θ (m — 1), rimangono dunque da determinarsi 2 (θ — 1) (m — 1) coefficienti.

Mercè le (54), la seconda delle (47) e la prima linea delle (53) dànno un sistema di equazioni di cui una è conseguenza delle altre; una di quelle equazioni devo dunque essere soppressa. Simili osservazioni sono da farsi per la terza delle (47) e le equazioni della seconda linea delle (53), ecc. Perciò l’equilibrio sarà determinato dal sistema.

(α)

${\begin{cases}\displaystyle {\varphi _{1x}={\frac {f_{1x}}{f_{1y}}}\varphi _{1y}={\frac {f_{1x}}{f_{1z}}}\varphi _{1z}=\cdots }\\\displaystyle {\varphi _{2x}={\frac {f_{2x}}{f_{2y}}}\varphi _{2y}={\frac {f_{2x}}{f_{2z}}}\varphi _{2z}=\cdots ,}\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{cases}}$

(β)

$\;\;\;\;f_{1}=0,f_{2}=0,\ldots ,$

(γ)

${\begin{cases}y'_{1}-y_{10}+y'_{2}-y_{20}+\cdots \cdot =0\\z'_{1}-z_{10}+z'_{2}-z_{20}+\cdots \cdot =0\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{cases}}$

(δ)

${\begin{cases}\mu _{2}+h_{2}y'_{2}=\mu _{3}+h_{3}y'_{3}=\cdots \cdot \\\nu _{2}+k_{2}z'_{2}=\nu _{3}+k_{3}z'_{3}=\cdots \cdot \\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{cases}}$

oppure dall’altro sistema costituito dalle equazioni (α), (β), a cui si aggiungono le equazioni (53): le (γ) rimanendo soppresse.

In un modo o nell’altro, le equazioni del sistema sono

$2(\theta -1)(m-1)+\theta +m-1$.

Rimangono da determinare 2 (θ — 1) (m — 1) coefficienti e m θ quantità, quindi in tutto si hanno

$2(\theta -1)(m-1)+m\theta$

incognite. Perciò, colle equazioni che abbiamo potremo determinare le m θ quantità, e rimarranno

$m\theta -\theta -m+1=(\theta -1)(m-1)$

coefficienti, che debbono essere dati, o che saranno da determinarsi con altre condizioni.

30. Prezzi costanti. — Quando i prezzi sono costanti, le equazioni (53) indicano solo che vi è un prezzo costante p_y che è lo stesso per ogni individuo, e similmente per p_z, pu, .... Le equazioni (52) divengono</sub>

	$x_{1}-x_{10}+p_{y}(y_{1}-y_{10})+p_{z}(z_{1}-z_{10})+\cdot \cdot =0$
	$x_{2}-x_{20}+p_{y}(y_{2}-y_{20})+p_{z}(z_{2}-z_{20})+\cdot \cdot =0$
$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ;$

e l’equilibrio è determinato dal sistema seguente di equazioni

(A)

${\begin{cases}\displaystyle {\varphi _{1x}={\frac {1}{p_{y}}}\varphi _{1y}={\frac {1}{p_{z}}}\varphi _{1z}=\cdot \cdot }\\\displaystyle {\varphi _{2x}={\frac {1}{p_{y}}}\varphi _{2y}={\frac {1}{p_{z}}}\varphi _{2z}=\cdot \cdot }\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

(B)

${\begin{cases}x'_{1}-x_{10}+p_{y}(y'_{1}-y_{10})+\cdots \cdot =0\\x'_{2}-x_{20}+p_{y}(y'_{2}-y_{20})+\cdots \cdot =0\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

(C)

${\begin{cases}y'_{1}-y_{10}+y'_{2}-y_{20}+\cdot \cdot =0\\z'_{1}-z_{10}+z'_{2}-z_{20}+\cdot \cdot 0\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

Sono in tutto m θ + m — 1 equazioni, che servono per determinare le m θ quantità x'₁, x'₂, .. y'₁, y'₂, .., e gli m — 1 prezzi p_y, p_z, ...; essendo p_y il prezzo di Y, p_z il prezzo di Z, ecc.

Queste equazioni corrispondono alle categorie (A), (B), (C), di condizioni indicato al cap. III, § 199 e seguenti. Se alle (C), per maggiore simmetria, si aggiunge l’equazione relativa agli x', si ha nel sistema (A), (B), (C) un’equazione di troppo, che è conseguenza delle altre.

31. Produzione. — Supponiamo che certe merci (o servizi di capitali) A, B, C, ... siano trasformate in merci X, Y ....

Se il consumo dovesse, in ogni istante, essere eguale alla produzione, non si potrebbe seguire altra via che quella data dalla produzione. Invece, avvicinandoci alla realtà, supporremo che il produttore abbia un certo deposito di merci, il quale, in fine dell’operazione considerata, nè cresce nè scema, e mercè il quale la via seguita può essere qualsiasi, per esempio quella dei prezzi costanti.

Il numero degli individui è θ, il numero delle merci X, Y. .., è m, quello delle merci A, B ..., è n.

Le quantità x₁, x₁₀, .. x'₁, 'a₁, a₁₀, .. a'₁, .., hanno significato analogo a quello dichiarato al § 26.

Nel caso del monopolio, le quantità finali X', Y', ... consumate dai clienti dell’impresa, possono essere minori delle quantità trasformate, il di più essendo goduto dall’impresa. Nel caso della libera concorrenza, quelle quantità debbono essere eguali.

Nell’un caso e nell’altro, le quantità intermedie prodotte possono non corrispondere alle quantità consumate. Vi corrisponderebbero se si seguisse la via delle trasformazioni complete. Altrimenti occorre distinguere le quantità intermedie consumate, dalle quantità prodotte. Per le prime serberemo la notazione X, Y, ...; indicheremo le seconde con x, y, .... Giunti alla posizione di equilibrio, nel caso della libera concorrenza, dovremo avere eguali tali quantità, e quindi per la posizione di equilibrio, ma non per le posizioni intermedie delle vie seguite per giungervi, avremo

(55)

$\mathrm {X} =x=\mathrm {X} ',\;\;\mathrm {Y} =y=\mathrm {Y} ',\ldots .$

32. Nel caso del baratto, le quantità di merci rimangono costanti; nel caso della produzione, variano per via delle trasformazioni. Avremo

(56)

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\cdots \cdot =\mathrm {X} \\y_{1}+y_{2}+\cdots \cdot =\mathrm {Y} \\\ldots \ldots \ldots \ldots \\a_{1}+a_{2}+\cdots \cdot =\mathrm {A} \\\ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

e

(57)

${\begin{cases}x_{10}+x_{20}+\cdots \cdot =\mathrm {X} _{0}\\y_{10}+y_{20}+\cdots \cdot =\mathrm {Y} _{0}\\\ldots \ldots \ldots \ldots \\a_{10}+a_{20}+....=\mathrm {A} _{0}\\\ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

Giova prendere per unità il prezzo di A, per non ragionare ad un tempo di due problemi diversi: cioè del problema della produzione, e dell’altro del modo col quale operano sui prezzi le variazioni del costo di produzione di una merce X che si sarebbe scelta per moneta.

La produzione essendo una trasformazione di A, B, ... in X, Y, .., le prime quantità scemano, e le seconde, crescono, quando la produzione è compiuta, cioè

$a_{1}<a_{10},\;\;b_{1}<b_{10},\;..\;x_{1}>x_{10},\ldots$

Riferiti ad A i prezzi sono

(58)

${\begin{cases}\displaystyle {p_{x}=-{\frac {\partial a_{1}}{\partial x_{1}}}=-{\frac {\partial a_{2}}{\partial x_{2}}}=\cdots }\\\ldots \ldots \ldots \ldots \\\displaystyle {p_{b}=-{\frac {\partial a_{1}}{\partial b_{1}}}=-{\frac {\partial a_{2}}{\partial b_{2}}}=\cdots }\end{cases}}$

Per maggiore semplicità scriviamo le equazioni delle vie sotto la forma

(59)

$a_{1}-a_{10}=f_{1},\;\;a_{2}-a_{20}=f_{2},\ldots$

Le equazioni (58) divengono

(60)

${\begin{cases}f_{1x}=f_{2x}=f_{3x}=\cdots =-p_{x},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\f_{1b}=f_{2b}=f_{3b}=\cdots =-p_{b}.\end{cases}}$

Pei motivi indicati al § 28, f_1x deve essere solo funzione di x₁, f_2x deve essere solo funzione di x₂, ecc. La prima linea delle (56) e la prima linea delle (60) permettono quindi di esprimere x₁, x₂ ... in funzione di X: e similmente si avranno y₁, y₂ .., in funzione di Y; ecc. Sostituendo quei valori nelle (60), f_1x, f_2x, .. saranno funzioni di X; ecc.

Derivando le (59), si ha

${\frac {\partial a_{1}}{\partial \mathrm {X} }}=f_{1x}{\frac {\partial x_{1}}{\partial \mathrm {X} }},\;\;{\frac {\partial a_{2}}{\partial \mathrm {X} }}=f_{2x}{\frac {\partial x_{2}}{\partial \mathrm {X} }}\cdots$

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Sommando le equazioni di ciascuna linea, e tenendo conto delle (56), si ottiene

${\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \mathrm {X} }}=f_{1x}=-p_{x},\;\;{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \mathrm {Y} }}=f_{1y}=-p_{y},\ldots ;$

come a priori si vede che doveva essere.

Differenziando totalmente le (59), avremo

$da_{1}-f_{1b}db_{1}-..=f_{1x}dx_{1}+\cdots ,$

$da_{2}-f_{2b}db_{2}-..=f_{2x}dx_{2}+\cdots ,$

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Sommiamo e teniamo conto delle (60) e delle (56), avremo

(61)

$d\mathrm {A} -f_{1b}d\mathrm {B} -\cdots =f_{1x}d\mathrm {X} +\cdots$,

oppure

(61 bis)

$d\mathrm {A} +p_{b}d\mathrm {B} +\cdots +p_{x}d\mathrm {X} +\cdots =0$.

Poichè — f_1b o p_b è solo funzione di B, — f_1x o p_x è solo funzione di X, ecc., avremo

(62)

$\mathrm {A} -\mathrm {A} _{0}=\int _{\mathrm {B} _{0}}^{\mathrm {B} }f_{1b}d\mathrm {B} -\cdots =\int _{\mathrm {X} _{0}}^{\mathrm {X} }f_{1x}d\mathrm {X} +\cdots ;$

(62 bis)	$\mathrm {A} -\mathrm {A} _{0}+\int _{\mathrm {B} _{0}}^{\mathrm {B} }p_{b}d\mathrm {B} +\cdot \cdot$
	$+\int _{\mathrm {X} _{0}}^{\mathrm {X} }p_{x}d\mathrm {X} +\cdots =0$

Quest’ultima formola esprime il bilancio dei consumatori, cioè esprime che l’entrata totale è eguale alla spesa totale.

Pel motivo già espresso al § 32, si ha

$\mathrm {A} <\mathrm {A} _{0},\;\;\mathrm {B} <\mathrm {B} _{0},\ldots \;\mathrm {X} >\mathrm {X} _{0},\ldots$

Di solito, le quantità X₀, Y₀, ..., sono zero; e tali le supporremo, per maggiore semplicità.

33. Le condizioni tecniche ci faranno conoscere le quantità di A, B, ..., che occorrono per produrre le quantità di merci x, y, ..; cioè avremo

(63)	$\mathrm {A} ''=\mathrm {F} (x,y,..),\;\;\mathrm {B} ''=\mathrm {G} (x,y,),\ldots .$
	$\mathrm {A} ''=\mathrm {A} _{0}-\mathrm {A} ,\;\;\mathrm {B} ''=\mathrm {B} _{0}-\mathrm {B} \ldots .$

Se a_x, b_x, .., sono i coefficienti di produzione della merce X; a_y, b_y, ..., quelli della merce Y, ecc.; si avrà

(64)

${\begin{cases}\displaystyle {a_{x}={\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial x}},\;\;b_{x}={\frac {\partial \mathrm {G} }{\partial x}},\ldots }\\\displaystyle {a_{y}={\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial y}},\;\;b_{y}={\frac {\partial \mathrm {G} }{\partial y}},\ldots }\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

Nella realtà, ci sono molte merci di cui la produzione è indipendente, cioè ognuna è prodotta da un’impresa staccata. Se tali sono X, Y, ..., occorre fissare come quelle merci sono prodotte indipendentemente l’una dall’altra. Infatti quando, ad esempio, p_b dipende da B, il costo di X sarebbe diverso secondochè la merce X è prodotta prima, o dopo della merce Y; se è prodotta prima, si compra il B a minor prezzo che se è prodotta dopo.

Tra i vari modi di fissare come segue la produzione, più si avvicina alla realtà quello di considerare p_b, p_c, ..., come dipendenti non più da B, C, ..., ma solo da B', C', ...; col che quei prezzi si suppongono costanti durante l’operazione della produzione che porta al punto di equilibrio, e variabili solo colle quantità totali B', C', ..., corrispondenti al punto di equilibrio.

Similmente supporremo che a_x, b_x, ..., sieno funzioni solo di x; a_y, b_y, ..., sieno funzioni solo di y, ecc.

34. Abbiamo supposto che le quantità X, Y, .... possono differire dalle quantità x, y, ...; invece le quantità A, B, ...., che vendono i consumatori sono eguali alle quantità stesse che adopera l’impresa; o se non vuolsi discorrere di compra e vendita, se per esempio un solo individuo è il consumatore e il produttore, si suppone che egli non consumi precisamente ogni particella di merce, man mano che viene prodotta; ma si considera che dalle sue provviste di A, B, C, ..., attinge precisamente ciò che a lui occorre per la produzione.

Segue da ciò che i valori (63) debbono soddisfare le equazioni (61) e (61 bis). Sostituendoli nella prima si ha

(65)

$a_{x}dx+a_{y}dy+\cdots -f_{1b}(b_{x}dx+b_{y}dy+...)-...=-f_{1x}d\mathrm {X} +\cdots$

Sostituendoli nella seconda, si ottiene

(65 bis)

$a_{x}dx+a_{y}dy+\cdots +p_{b}(b_{x}dx+b_{y}dy+\cdots )+\cdots =p_{x}d\mathrm {X} +\cdots \cdot$

Il primo membro di quest’equazione ci fa conoscere quanto riscuotono i consumatori, il secondo, quanto spendono. Essa corrisponde al caso in cui, in ogni momento del processo della produzione, l’entrata del consumatore è eguale alla sua spesa. Se invece quell’eguaglianza ha solo luogo pel tratto intero della produzione, il consumatore avendo una certa quantità di risparmio di cui si vale per compensare ciò che eventualmente riscuote in meno, in un certo momento, con ciò che riscuote in più, in altro momento, l’equazione (65 bis), non ha più luogo, ma sussiste solo quella che se ne deduce, integrandola. Vedremo, in seguito, che sono appunto queste integrali che figurano tra le equazioni che determinano l’equilibrio; il quale perciò corrisponde al caso, che maggiormente si avvicina alla realtà, in cui i consumatori, mercè l’uso del risparmio, sfuggono alla necessità di avere l’entrata eguale alla spesa per ogni singolo momento della produzione.

Volgiamoci ai produttori. La somma totale che essi spendono è eguale a quella, ora scritta, che riscuotono i consumatori, e se

$\pi _{x}dx,\;\;\pi _{y}dy,\ldots$

sono i costi di produzione delle quantità di merci dx, dy, .., si avrà

$a_{x}dx+a_{y}dy+\cdots +p_{b}(b_{x}dx+b_{y}dy+\cdots )+\cdots =\pi _{x}dx+\pi _{y}dy+\cdots$

Sostituendo per p_b, p_c, ..., i loro valori, avremo anche

$a_{x}dx+a_{y}dy+\cdots -f_{1b}(b_{x}dx+b_{y}dy+\cdots )-\cdots =\pi _{x}dx+\pi _{y}dy+\cdots$

E poichè le produzioni delle merci sono supposte indipendenti, le eguaglianze ora scritte, si scindono in tante altre quanto sono le merci, cioè

(66)

${\begin{cases}(a_{x}-f_{1b}b_{x}-\cdots )dx=\pi _{x}dx,\\(a_{y}-f_{1b}b_{y}-\cdots )dy=\pi _{y}dy,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

(66 bis)

${\begin{cases}(a_{x}+p_{b}b_{x}+\cdots )dx=\pi _{x}dx,\\(a_{y}+p_{b}b_{y}+\cdots )dy=\pi _{y}dy,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

Le somme che i produttori ricavano dalla vendita di dX, dY, ..., sono eguali a quelle che spendono i consumatori, e quindi sono

$-f_{1x}d\mathrm {X} ,\;\;-f_{1y}d\mathrm {Y} ,\ldots$

oppure

$p_{x}d\mathrm {X} ,\;\;p_{y}d\mathrm {Y} ,\ldots$

35. Equilibrio della produzione. — Occorre porre in relazione ciò che fa l’impresa e ciò che fanno i consumatori; oppure occorre porre in relazione la produzione col consumo.

In altri termini occorre fissare quali relazioni debbono correre tra x e X, y e Y, ecc.,

Tali relazioni possono essere varie, e ad ognuna corrispondono certi fenomeni economici.

Nel caso della libera concorrenza, come in quello della produzione individuale, i valori iniziali e finali di x, X, y, Y, ... debbono essere gli stessi. Nel caso del monopolio possono essere diversi.

La stessa cosa si esprime in modo diverso dicendo che l’impresa tanto spende per la produzione quanto riceve, nel caso della libera concorrenza. Invece riceve di più di quanto spende, nel caso del monopolio. Tale differenza può essere massima, oppure fissata arbitrariamente, oppure ancora determinata da altre condizioni.

Se la produzione deve essere ordinata in modo da procacciare il massimo di ofelimità ai consumatori, occorrerà da prima che le quantità x, X, y, Y, ... abbiano gli stessi valori iniziali e gli stessi valori finali, ed inoltre che sieno soddisfatte corte condizioni pel massimo di ofelimità, quando può variare il genere delle vie seguite. In altri termini occorrono tali condizioni, oltre quelle che stabiliscono la eguaglianza dell’entrata e dell’uscita per la produzione.

In tutti i casi, le condizioni possono avere due forme, cioè: 1.° Si possono esprimere ponendo in relazione il punto a cui si giunge col consumo e il punto a cui si giunge colla produzione. A ciò provvedono le equazioni (61), (62), ed altre di simile forma. 2.° Si possono esprimere ponendo in relazione le spese pel consumo e quelle per la produzione. A ciò provvedono le equazioni (61 bis), (62 bis), ed altre di forma simile.

36. Libera concorrenza e prezzi variabili. — La condizione che i valori iniziali ed i valori finali delle x, y, ..., e delle X, Y, ..., sono eguali, e l’altra che il costo di produzione di ciascuna merce è eguale a ciò che si ricava dalla vendita di detta merce, sono equivalenti. La prima si esprime considerando le equazioni (66), e si ha

(67)

${\begin{cases}\displaystyle {\int _{\mathrm {X} _{0}}^{\mathrm {X} '}(a_{x}-f_{1b}b_{x}-\cdots )dx=-\int _{\mathrm {X} _{0}}^{\mathrm {X} '}f_{1x}d\mathrm {X} ,}\\\displaystyle {\int _{\mathrm {Y} _{0}}^{\mathrm {Y} '}(a_{y}-f_{1b}b_{y}-\cdots )dy=-\int _{\mathrm {Y} _{0}}^{\mathrm {Y} '}f_{1y}d\mathrm {Y} ,}\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

La seconda si esprime considerando le equazioni (66 bis), e si ha

(67 bis)

$\int _{\mathrm {X} _{0}}^{\mathrm {X} '}(a_{x}+p_{b}b_{x}+\cdots )dx=\int _{\mathrm {X} _{0}}^{\mathrm {X} '}p_{x}d\mathrm {X} ,\ldots$

Coll’integrare da X₀ ad X', per avere il costo di produzione della merce, si è implicitamente supposto che per X₀ il costo di produzione è zero, ossia che nulla si è speso prima di produrre la prima particella di merce.

Ciò non segue di solito. Vi sono le spese generali che si debbono fare indipendentemente dalla quantità prodotta; e ne abbiamo veduto un esempio semplicissimo (VI, 4); occorre dunque tenere conto anche di questo caso.

Come già accennammo al § 32, supporremo

$\mathrm {X} _{0}=0,\;\;\mathrm {Y} _{0}=0,\ldots$

Indicheremo poi con α_x, β_x, ..., le quantità di A, B, ..., che si debbono adoperare prima di principiare a produrre la prima particella della merce X; e simili notazioni adopreremo per Y, Z,..

Per tal modo, invece delle equazioni (67 bis), si hanno le seguenti

(67 ter)

${\begin{cases}\alpha _{x}+p_{b}\beta _{x}+\cdots \\\displaystyle {+\int _{0}^{\mathrm {X} '}(a_{x}+p_{b}b_{x}+\cdots )dx}\\\displaystyle {=\int _{0}^{\mathrm {X} '}p_{x}d\mathrm {X} ,}\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

Sommando le (67) si riproduce la (62), e sommando le (67 bis) si riproduce la (62 bis). Quindi se si conservano tutto le (67), occorre sopprimere la (62); e se si conserva la (62), occorre sopprimere una delle (67). Dicasi lo stesso per le (67 bis) (67 ter) o la (62 bis).

L’equilibrio sarà determinato: 1.° Dalle equazioni che esprimono l’eguaglianza delle ofelimità ponderate (le equazioni (A) del § 30, in cui sono comprese quelle che si riferiscono ad A, B, ...). 2.° Dalle equazioni (59), che dànno le vie seguite. 3.° Dalle equazioni (67 bis), o dalle (67 ter), che pongono l’eguaglianza delle spese di produzione e del ricavato delle vendita. 4.° Dalle equazioni (63), che dànno le quantità di A, B, .., richieste per la fabbricazione. 5.° Dalle equazioni (56), che indicano le somme delle quantità parziali. 6.° Dalle equazioni (60), in grazia delle quali il prezzo di una merce è lo stesso pei diversi individui.

37. Libera concorrenza e prezzi costanti. — Quando i prezzi sono costanti, sparisce l’ultima delle categorie ora notate, che indica semplicemente che p_x, ad esempio, è il prezzo di X per tutti gli individui, e le altre categorie dànno le equazioni seguenti

(A)

${\begin{cases}\displaystyle {{\frac {1}{p_{x}}}\varphi _{1x}={\frac {1}{p_{y}}}\varphi _{1y}=\cdots =\varphi _{1a}=\cdots }\\\displaystyle {{\frac {1}{p_{x}}}\varphi _{2x}={\frac {1}{p_{y}}}\varphi _{2y}=\cdots =\varphi _{2a}=\cdots }\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

(B)

${\begin{cases}a'_{1}-a_{10}+p_{b}(b'_{1}-b_{10})+\cdots +p_{x}(x'_{1}-x_{10})+\cdots =0,\\a'_{2}-a_{20}+p_{b}(b'_{2}-b_{20})+\cdots +p_{x}(x'_{2}-x_{20})+\cdots =0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

(D)

${\begin{cases}\displaystyle {p_{x}(\mathrm {X} '-\mathrm {X} _{0})=\int _{\mathrm {X} _{0}}^{\mathrm {X} '}a_{x}dx+p_{b}\int _{\mathrm {X} _{0}}^{\mathrm {X} '}b_{x}dx+\cdots ,}\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

(E)

$\mathrm {A} _{0}-\mathrm {A} '=\mathrm {F} ,\;\;\mathrm {B} _{0}-\mathrm {B} '=\mathrm {G} ,\ldots ,$

(M)

$x'_{1}+x'_{2}+\cdots =\mathrm {X} ',\ldots$

Nel caso a cui corrispondono le equazioni (67 ter) le (D) diventano

(D bis)

${\begin{cases}p_{x}\mathrm {X} '=\alpha _{x}+p_{b}\beta _{x}+\cdots \\\displaystyle {+\int _{0}^{\mathrm {X} '}a_{x}dx+p_{b}\int _{0}^{\mathrm {X} '}b_{x}dx+\cdots }\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

Se i coefficienti di produzione sono costanti, i sistemi (D), (E), divengono

(D')

${\begin{cases}p_{x}=a_{x}+p_{b}b_{x}+\cdots ,\\p_{y}=a_{y}+p_{b}b_{y}+\cdots ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

(E')

${\begin{cases}\mathrm {A} _{0}-\mathrm {A} '=a_{x}(\mathrm {X} '-\mathrm {X} _{0})+a_{y}(\mathrm {Y} '-\mathrm {Y} _{0})+\cdots ,\\\mathrm {B} _{0}-\mathrm {B} '=b_{x}(\mathrm {X} '-\mathrm {X} _{0})+b_{y}(\mathrm {Y} '-\mathrm {Y} _{0})+\cdots ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

Le equazioni (D') esprimono l’eguaglianza del costo di produzione di un’unità di merce e del prezzo di vendita di quell’unità.

È facile verificare che se si conservano in (D') tutte le equazioni, per ciascuna merce, ne abbiamo una di troppo. Infatti moltiplicando la seconda delle (E') per p_b, la terza per p_c, ecc., sommando e tenendo conto delle (D'), si ha

$\mathrm {A} '-\mathrm {A} _{0}+p_{b}(\mathrm {B} '-\mathrm {B} _{0})+\cdots +p_{x}(\mathrm {X} '-\mathrm {X} _{0})+\cdots =0.$

Ma la stessa equazione si ottiene sommando le (B).

Occorre non mai dimenticare che il sistema di equazioni ora scritto, ha luogo solo per la posizione di equilibrio, e non già per le posizioni intermedie.

38. Le equazioni (A), (B), (D), (E), corrispondono alle categorie di condizioni indicate con tali lettere al capitolo III, § 205 e seg.

Se le merci A, B, ..., sono direttamente ofelime per gli individui, figurano nelle equazioni (A); se non sono tali, non figurano, in quelle equazioni, ma in tal caso le quantità a₁, a₂, ..., invece di essere incognite, sono date. In ogni modo si verifica che il numero dello equazioni distinte è eguale al numero delle incognite.

Le	equazioni	(A)	sono	in numero di	(m + n — 1)θ,
»	»	(B)	»	»	θ,
»	»	(D)	»	»	m,
»	»	(E)	»	»	n,

In tutto si hanno

$(m+n)\theta +m+n$

equazioni, ma una è conseguenza delle altre, onde sono solo

$(m+n)\theta +m+n-1$

equazioni; ed eguale è il numero delle incognite; le quali sono le (m + n) θ quantità e gli (m + n — 1) prezzi.

39. Volgiamoci a considerare i coefficienti di produzione. Se sono costanti, figurano semplicemente fra le quantità date. Se variano solo in funzione delle quantità totali prodotte X, Y, ..., sono dati in funzione di quelle quantità. Finalmente se variano in modo che l’aumento di parte di essi possa essere compensato dalla diminuzione di altra parte, sono da determinarsi; ed il fare ciò è ufficio dell’impresa. Consideriamo il caso della concorrenza, cioè quello in cui l’impresa accetta i prezzi del mercato senza tentare di modificarli direttamente (III, 89; V, 8). Supponiamo che le condizioni tecniche della fabbricazione ci diano una relazione

(68)

$f(a_{y},b_{y},\ldots c_{y})=0$

fra i coefficienti a_y, b_y, ... c_y; gli altri si suppongono costanti. Se non lo fossero ci sarebbero relazioni analoghe alla precedente, e il ragionamento sarebbe lo stesso.

Abbiamo veduto che, pei fenomeni del tipo (I), l’imprenditore accetta i prezzi del mercato quali sono; egli procura di ridurre al minimo il costo di produzione facendo i conti coi prezzi del mercato e colle quantità prodotte (V, 82); il che vuol dire che nel derivare, per ottenere le condizioni del minimo, occorre considerare i prezzi e le quantità prodotte come costanti; la condizione del minimo del costo di produzione sarà

(69)

$0=p_{a}d'a_{y}+p_{b}d'b_{y}+\cdots ;$

indicando con d' le variazioni dei coefficienti di produzione.

In virtù delle equazioni (68) si può considerare a_y come funzione delle variabili indipendenti b_y, c_y, ...; quindi l’equazione (69) dà

(70)

$p_{a}{\frac {\partial a_{y}}{\partial b_{y}}}+p_{b}=0,\;\;p_{a}{\frac {\partial a_{y}}{\partial c_{y}}}+p_{c}=0,$

Derivando la (68) e sostituendo nelle equazioni precedenti, si ha

(71)

$p_{a}{\frac {\partial f}{\partial b_{y}}}-p_{b}{\frac {\partial f}{\partial a_{y}}}=0,\ldots$

Queste equazioni, unite alla (68), determinano i coefficienti di produzione a_y, b_y, .... Esse fanno parte della categoria (F) delle condizioni (V, 82).

Inoltre in quella categoria stanno le condizioni per la ripartizione della produzione tra le imprese (V, 78). Se, per esempio, un’impresa produce q_z di Z, e se cresce di dq_z quella produzione, il costo di produzione aumenterà di una certa quantità, che eguagliata a zero darà la condizione del minimo di quel costo, onde

(72)

$0=p_{a}{\frac {\partial a_{z}}{\partial q_{z}}}+p_{b}{\frac {\partial b_{z}}{\partial q_{z}}}+\cdots \cdot$

Tale equazione ed altre simili, determinano le quantità q_z, .... e quindi la ripartizione.

40. Produzione individuale coi prezzi costanti. — Consideriamo un uomo solo, il quale consuma ciò che produce. Non c’è mercato, egli deve solo procurare di adoperare il meglio possibile le A, B, ... per produrre le X, Y, ....

Principiamo col supporre che a quell’uomo piaccia di fissare la via dei consumi, in modo che le f_1x, f_1y, ..., sieno costanti (prezzi costanti).

È necessario che egli giunga allo stesso punto colla produzione e coi consumi. Perciò per lui valgono le equazioni (61), (62), (68), ed altre analoghe. Ma sappiamo che sono equivalenti alle (61 bis), (62 bis), (68 bis), e ad altre analoghe; quindi per quell’uomo l’equilibrio sarà determinato precisamente dalle stesse equazioni che valgono nel caso della libera concorrenza.

41. Produzione individuale col massimo di ofelimità. — Supponiamo che non sia determinata la via da seguire nei consumi; l’individuo cerca solo di conseguire il massimo di ofelimità.

Mentre i segni

${\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \mathrm {X} }},\ldots$

indicano, come prima, derivate prese lungo una via qualsiasi di equilibrio, useremo dei segni

${\frac {d\mathrm {A} }{d\mathrm {X} }},\ldots$

per indicare le derivate prese passando da una via ad un’altra.

Considerando successivamente le trasformazioni che dànno X, Y, ..., avremo, per la posizione di equilibrio

	$\varphi _{x}d\mathrm {X} '+\varphi _{a}{\frac {d\mathrm {A} '}{d\mathrm {X} '}}d\mathrm {X} '+\varphi _{b}{\frac {d\mathrm {B} '}{d\mathrm {X} '}}d\mathrm {X} '+\cdots =0,$
	$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

ossia

(73)

${\begin{cases}\displaystyle {\varphi _{x}+\varphi _{a}{\frac {d\mathrm {A} '}{d\mathrm {X} '}}+\varphi _{b}{\frac {d\mathrm {B} '}{d\mathrm {X} '}}+\cdots =0,}\\\displaystyle {\varphi _{y}+\varphi _{a}{\frac {d\mathrm {A} '}{d\mathrm {Y} '}}+\varphi _{b}{\frac {d\mathrm {B} '}{d\mathrm {Y} '}}+\cdots =0,}\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

Ma anche passando da una via ad un’altra dei consumi, occorre sempre che sieno soddisfatte le equazioni (63); e da queste ricavasi

(74)

${\begin{cases}\displaystyle {{\frac {d\mathrm {A} '}{d\mathrm {X} '}}=-a'_{x},\;\;{\frac {d\mathrm {B} '}{d\mathrm {X} '}}=-b'_{x},\ldots }\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

a'_x, b'_x, ..., essendo i valori dei coefficienti di produzione, al punto di equilibrio.

Sostituendo i valori (74) nelle equazioni (73), otterremo

(75)

${\begin{cases}\varphi _{x}=a'_{x}\varphi _{a}+b'_{x}\varphi _{b}+\cdots \cdot \\\varphi _{y}=a'_{y}\varphi _{a}+b'_{y}\varphi _{b}+\cdots \cdot \\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

Qualunque sia la via f seguita nei consumi, le ofelimità ponderate saranno sempre eguali, al punto di equilibrio, cioè

${\frac {1}{p_{x}}}\varphi _{x}={\frac {1}{p_{y}}}\varphi _{y}=\cdots \varphi _{a}=\cdots ;$

e perciò le (75) divengono

(76)

${\begin{cases}p_{x}=a'_{x}+p_{b}b'_{x}+\cdots \cdot \\p_{y}=a'_{y}+p_{b}b'_{y}+\cdots \cdot \\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

Tali sono le equazioni che debbono essere soddisfatte perchè la via seguita procuri il massimo di ofelimità. Se le paragoniamo alle (67 bis), o alle (67 ter), vediamo che esse formano l’eguaglianza dell’ultimo elemento degli integrali che figurano nelle (67 bis), o nelle (67 ter). La via da seguirsi per ottenere il massimo di ofelimità rimane dunque soggetta a questa sola condizione. Potremo quindi esprimerci nei due modi seguenti, che sono equivalenti.

Per ottenere l’equilibrio col massimo di ofelimità occorre non solo che le integrali dei primi membri delle (67 bis), (67 ter) soddisfino a quelle equazioni, ma anche che l’ultimo elemento di esse sia eguale a p_x d_x, ecc.

Oppure: occorre non solo che il costo di produzione del totale della merce sia eguale al totale della spesa del consumo, ma anche che il costo di produzione dell’ultima particella sia eguale al prezzo di vendita di detta ultima particella.

42. Vediamo se la via ora determinata è compatibile coi prezzi costanti.

Se i prezzi sono costanti, le (67 ter) dànno

	$a'_{x}\mathrm {X} '+p_{b}b'_{x}\mathrm {X} '+\cdots \cdot$
	$+\alpha _{x}+p_{b}\beta _{x}+\cdots \cdot$
	$-\int _{0}^{\mathrm {X} '}x({\frac {\partial a_{x}}{\partial x}}+p_{b}{\frac {\partial b_{x}}{\partial x}}+\cdots )dx$
	$=p_{x}\mathrm {X} '$,
	$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

Ossia, tenuto conto delle (76), avremo

(77)

${\begin{cases}\displaystyle {\int _{0}^{\mathrm {X} '}x({\frac {\partial a_{x}}{\partial x}}+p_{b}{\frac {\partial b_{x}}{\partial x}}+\cdots )dx}\\=\alpha _{x}+p_{b}\beta _{x}+\cdots \cdot \\\displaystyle {\int _{0}^{\mathrm {Y} '}y({\frac {\partial a_{y}}{\partial y}}+p_{b}{\frac {\partial b_{y}}{\partial y}}+\cdots )dy}\\=\alpha _{y}+p_{b}\beta _{y}+\cdots \cdot \\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

Se queste equazioni non sono soddisfatte, non è possibile avere ad un tempo prezzi costanti e il massimo di ofelimità nelle trasformazioni.

Se i coefficienti di produzione sono costanti, il che ha per conseguenza che le quantità α_x, β_x, ... α_y, ..., sono zero, le equazioni (77) sono soddisfatte; e da ciò segue che, quando i coefficienti di produzione non variano colle quantità prodotte, rimanendo sempre lecita a variazione studiata nei §§ 38 e 39, si consegue ad un tempo, per l’equilibrio, i prezzi costanti ed il massimo di ofelimità nelle trasformazioni⁴.

Se i coefficienti di fabbricazione sono variabili, sarebbe necessario che, per ottenere il massimo di ofelimità, soddisfacessero alle equazioni (77); ossia, in generale, dovrebbero dipendere dai valori di X', Y', ...; e quindi il massimo di ofelimità si otterrebbe solo per quel punto di equilibrio in cui si hanno quei valori X', Y', ... e non già, in generale, per qualsiasi punto di equilibrio. Perciò si può dire che, eccetto casi singolari, i prezzi costanti dànno il massimo di ofelimità solo quando i coefficienti di produzione sono costanti.

43. Produzione collettiva. — Supponiamo che ci sia una collettività che voglia regolare la produzione nel miglior modo possibile pei suoi componenti. La distribuzione si farà, secondo le norme reputate opportune, distribuendo certe quantità iniziali x₁₀, y₁₀, a₁₀, .. ai componenti la collettività.

44. Supponiamo da prima che le vie dei consumi sieno date. In tale caso, ragionando come si è fatto al § 40, si vedrà che l’equilibrio è determinato precisamente come nel caso della libera concorrenza.

45. Produzione collettiva col massimo di ofelimità. — Quando si fanno variare le trasformazioni che dànno X, passando da una via ad un’altra, come si è fatto al § 41, conservando le notazioni di quel paragrafo, ed indicando con

$\delta \Phi _{1}$, $\delta \Phi _{2},\ldots$

le variazioni di ofelimità per ciascun individuo, si avrà

(78)

${\begin{cases}\delta \Phi _{1}=\varphi _{1x}\delta x'_{1}+\varphi _{1a}\delta a'_{1}+\varphi _{1b}\delta b'_{1}+\cdots \\\delta \Phi _{2}=\varphi _{2x}\delta x'_{2}+\varphi _{2a}\delta a'_{2}+\varphi _{2b}\delta b'_{2}+\cdots \\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

Al solito, le eguaglianze delle ofelimità ponderate dànno

$p_{x}=\varphi _{1x}:\varphi _{1a}=\varphi _{2x}:\varphi _{2a}=\cdots \cdot$

Perciò ricaveremo dalle (78)

(79)	${\frac {1}{\varphi _{1a}}}\delta \Phi _{1}+{\frac {1}{\varphi _{2a}}}\delta \Phi _{2}+\cdots$
	$=p_{x}\delta \mathrm {X} '+\delta \mathrm {A} '+p_{b}\delta \mathrm {B} '\cdots$

Passando da una via di consumo ad un’altra debbono essere sempre soddisfatte le (63); quindi quando X' varia di δX', le altre variazioni sono

$\delta \mathrm {A} '=-a'_{x}\delta \mathrm {X} ',\;\;\delta \mathrm {B} '=-b'_{x}\delta \mathrm {X} ',\ldots .$

Sostituendo nell’equazione (79), otteniamo

(80)	${\frac {1}{\varphi _{1a}}}\delta \Phi _{1}+{\frac {1}{\varphi _{2a}}}\delta \Phi _{2}+\cdots$
	$=(p_{x}-a'_{x}-p_{b}b'_{x}-\cdots )\delta \mathrm {X} '$.

Le quantità φ_1a, φ_2a ...., sono essenzialmente positive, segue da ciò che se l’espressione

${\frac {1}{\varphi _{1a}}}\delta \Phi _{1}+{\frac {1}{\varphi _{2a}}}\delta \Phi _{2}+\cdot \cdot$

è zero, occorre che parte delle δΦ₁, δΦ₂,., sieno positive, e parte negative: non possono essere tutte positive nè tutte negative.

Ricordando la definizione data (VI, 33) del massimo di ofelimità per una collettività, vediamo che essa si esprime algebricamente coll’equazione

(81)

${\frac {1}{\varphi _{1a}}}\delta \Phi _{1}+{\frac {1}{\varphi _{2a}}}\delta \Phi _{2}+\cdots =0.$

Introducendo tale condizione nell’equazione (80) o nelle altre analoghe che si hanno per Y, Z, .., si ricade sulle equazioni (76). Quindi le conclusioni del § 41 valgono anche per una collettività, coll’avvertenza che il massimo di ofelimità per quella collettività è definito nel modo ricordato (VI, 33).

46. Per il baratto, assumendo, al solito, la merce X per moneta, mentre per la produzione si suppone che la moneta è la merce A, si ha

	${\frac {1}{\varphi _{1x}}}\delta \Phi _{1}=\delta x'_{1}+p_{y}\delta y'_{1}+p_{z}\delta z'_{1}+\cdots$
	${\frac {1}{\varphi _{2x}}}\delta \Phi _{2}=\delta x'_{2}+p_{y}\delta y'_{2}+p_{z}\delta z'_{2}+\cdots$
	$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

onde, sommando, viene

(82)	${\frac {1}{\varphi _{1x}}}\delta \Phi _{1}+{\frac {1}{\varphi _{2x}}}\delta \Phi _{2}+\cdots$
	$=\delta \mathrm {X} '+p_{y}\delta \mathrm {Y} '+\cdots \cdot$

Ma in virtù delle equazioni (48)

$\delta \mathrm {X} '=0,\;\;\delta \mathrm {Y} '=0,\ldots$

quindi si ha

${\frac {1}{\varphi _{1x}}}\delta \Phi _{1}+{\frac {1}{\varphi _{2x}}}\delta \Phi _{2}+\cdots =0;$

e nel baratto colla libera concorrenza è sempre raggiunto il massimo di ofelimità⁵.

47. Proprietà dell’equilibrio. — Vediamo le stesse cose in altro modo, e limitiamoci ai prezzi costanti per le successive porzioni.

Abbiamo veduto nel § 37 che, sommando le (B), si ha l’equazione

(83)	$\mathrm {A} '-\mathrm {A} _{0}+p_{b}(\mathrm {B} '-\mathrm {B} _{0})+\cdots$
	$+p_{x}(\mathrm {X} '-\mathrm {X} _{0})+\cdots =0.$

Se in essa, ai prezzi p_x, p_y, .., costanti per le successive porzioni, sostituiamo nuovi prezzi

$p_{x}+\delta p_{x},\;\;p_{y}+\delta p_{y},\ldots ,$

pure costanti per successive porzioni, avremo

(84)

$\delta \mathrm {U} +\delta \mathrm {V} =0$

(85)

${\begin{cases}\delta \mathrm {U} =p_{x}\delta \mathrm {X} '+p_{y}\delta \mathrm {Y} '+\cdots \\+\delta \mathrm {A} '+p_{b}\delta \mathrm {B} '+\cdots ,\\\\\delta \mathrm {V} =(\mathrm {X} '-\mathrm {X} _{0})\delta p_{x}+\cdots \\+(\mathrm {B} '-\mathrm {B} _{0})\delta p_{b}+\cdots \end{cases}}$

Ragionando come al § 45 è facile vedere che si ha

(86)

$\delta \mathrm {U} ={\frac {1}{\varphi _{1a}}}\delta \Phi _{1}+{\frac {1}{\varphi _{2a}}}\delta \Phi _{2}+\cdots \cdot$

I δΦ₁, δΦ₂ di questo paragrafo sono diversi dai δΦ₁, δΦ₂, ... del § 45.

Perchè sia raggiunto il massimo di ofelimità, occorre che l’espressione (86) sia zero; e ciò seguirà, in grazia della (84), quando sia

(87)

$\delta \mathrm {V} =0.$

Tale è dunque la condizione che deve essere adempiuta perchè si ottenga il massimo di ofelimità.

L’equazione (87) è sempre verificata pel baratto e la libera concorrenza, poichè si ha

$\mathrm {X} '-\mathrm {X} _{0}=0$, $\mathrm {Y} '-\mathrm {Y} _{0}=0,\ldots$

Per la produzione, le equazioni (D) del § 37 dànno

	$(\mathrm {X} '-\mathrm {X} _{0})\delta p_{x}+p_{x}\delta \mathrm {X} '=(a'_{x}+p_{b}b'_{x}+\cdots )\delta \mathrm {X} '$
	$+\delta p_{b}\int _{\mathrm {X} _{0}}^{\mathrm {X} '}b_{x}dx+\cdots$
	$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

Sommando tutte queste equazioni, e tenendo conto che

$\mathrm {B} _{0}-\mathrm {B} '=\int _{\mathrm {X} _{0}}^{\mathrm {X} '}b_{x}dx+\int _{\mathrm {Y} _{0}}^{\mathrm {Y} '}b_{y}dy+\cdots ,$

si avrà

	$(\mathrm {X} '-\mathrm {X} _{0})\delta p_{x}+(\mathrm {Y} '-\mathrm {Y} _{0})\delta p_{y}+\cdots$
	$+(\mathrm {B} '-\mathrm {B} _{0})\delta p_{b}+\cdots +p_{x}\delta \mathrm {X} '+p_{y}\delta \mathrm {Y} '+\cdots$
	$=(a'_{x}+p_{b}b'_{x}+\cdots )\delta \mathrm {X} '$
	$+(a'_{y}+p_{b}b'_{y}+\cdots )\delta \mathrm {Y} '+\cdots ;$

ossia

	$\delta \mathrm {V} +p_{x}\delta \mathrm {X} '+p_{y}\delta \mathrm {Y} '+\cdots$
	$=(a'_{x}+p_{b}b'_{x}+\cdots )\delta \mathrm {X} '+(a'_{y}+p_{b}b'_{y}$
	$+\cdots )\delta \mathrm {Y} '+\cdots \cdot$

Abbiamo supposto che le produzioni di X, Y, ..., sono indipendenti, cioè le δX', δY', ... debbono considerarsi come indipendenti; e perciò, affinchè sia soddisfatta l’equazione (87), occorre che si abbia

	$p_{x}=a'_{x}+p_{b}b'_{x}+\cdots$
	$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ;$

e queste equazioni sono precisamente le (76).

Il caso al quale corrispondono le equazioni (D bis) del § 37, dà un risultamento identico, poichè la quantità

$\alpha _{x}+p_{b}\beta _{x}+\cdots$

non dipendendo da X', sparisce quando si prende la variazione δ; e si hanno le equazioni

	$\mathrm {X} '\delta p_{x}+p_{x}\delta \mathrm {X} '=(a'_{x}+p_{b}b'_{x}+\cdots )d\mathrm {X} '$
	$+\delta p_{b}\int _{0}^{\mathrm {X} '}b_{x}dx+....$
	$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ;$

che sono identiche alle equazioni or ora ottenute, quando in quello si faccia X₀ = 0, ....

Nel caso in cui i coefficienti di produzione sono costanti, le equazioni (D') del § 37 dànno

	$\delta p_{x}=b_{x}\delta p_{b}+c_{x}\delta p_{c}+\cdots \cdot$,
	$\delta p_{y}=b_{y}\delta p_{b}+c_{y}\delta p_{c}+\cdots \cdot$
	$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

Moltiplichiamo la prima di quest’equazione per X' — X₀, la seconda per Y' — Y₀, ecc., sommiamo e teniamo conto delle (E'), avremo

	$(\mathrm {X} '-\mathrm {X} _{0})\delta p_{x}+(\mathrm {Y} '-\mathrm {Y} _{0})\delta p_{y}+\cdots$
	$+(\mathrm {B} '-\mathrm {B} _{0})\delta p_{b}+(\mathrm {C} '-\mathrm {C} _{0})\delta p_{c}+\cdots \cdot =0.$

Tale equazione è precisamente la (87), onde si conclude che, quando i coefficienti di produzione non variano colle quantità, le vie seguìte con prezzi costanti dànno il massimo di ofelimità. La dimostrazione di tale teorema fu data da noi prima sotto la forma presente; ulteriori studi ci portarono alla dimostrazione dei § 42 e 45.

48. Variazioni finite nel caso del baratto. — Consideriamo una posizione di equilibrio, che diremo I, e per la quale si hanno le quantità

x'₁, y'₁, ... x'₂, ...;

consideriamo un’altra posizione di equilibrio per la quale si avrà

x''₁, y''₁, ... x''₂, ...;

i valori intermedi saranno

x₁, y₁, ... x₂, ...;

Supponiamo di passare da I a II non per vie qualsiasi, ma per vie per le quali si abbia

(88)	$x_{1}=x'_{1}+\alpha _{1}t$, $y_{1}=y'_{1}+\beta _{1}t,\ldots ,$
	$x_{2}=x'_{2}+\alpha _{2}t,\ldots .$

α₁, β₁, ... α₂, ... essendo costanti, e t una nuova variabile. Si può anche porre

$p''_{y}=p'_{y}+\sigma _{y}t$, ... $a''_{x}=a_{x}+\omega _{x}t$, ...

ma le quantità σ_y, ... ω_x, ... non sono più costanti; sono quantità che risultano dalle equazioni a cui debbono soddisfare i prezzi e i coefficienti di produzione.

La variazione seconda dell’ofelimità, per un individuo, è

	$\delta ^{2}\Phi _{1}=\varphi _{xx}\delta x_{1}^{2}+\varphi _{yy}\delta y_{1}^{2}+\cdots$
	$+2\varphi _{xy}\delta x_{1}\delta x_{2}+\cdots ;$

e in virtù delle equazioni (88)

(89)	${\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}=\varphi _{xx}\alpha _{1}^{2}+\varphi _{yy}\beta _{1}^{2}+\cdots$
	$+2\varphi _{xy}\alpha _{1}\beta _{1}+\cdots$

Supponiamo che quella quantità sia sempre negativa. In tal caso δΦ₁ andrà sempre scemando mentre cresce t, cioè mentre si passa dalla posizione I alla posizione II. Abbiamo visto al § 45, che, nella posizione di equilibrio I, i δΦ debbono essere parte positivi, parte negativi; seguitando ad allontanarsi dalla posizione di equilibrio, e sostituendo quindi variazioni finite alle variazioni infinitesime, tutti quei δΦ scemeranno. Perciò, nella posizione II, i δΦ potranno essere ancora parte positivi e parte negativi, oppure tutti negativi, ma non potranno essere tutti positivi. Dunque dalla posizione di equilibrio I non ci possiamo allontanare con vantaggio di tutti i componenti la collettività; ma parte di essi, o tutti, saranno necessariamente danneggiati.

49. Rimangono da vedere le condizioni che fanno negativa l’espressione (89). Come è ben noto, esse si ottengono formando gli Hessiani successivi, e ponendo

(90)

$\varphi _{xx}<0,\;\;{\begin{vmatrix}\varphi _{xx}&\varphi _{xy}\\\varphi _{xy}&\varphi _{yy}\end{vmatrix}}>0,\;\;{\begin{vmatrix}\varphi _{xx}&\varphi _{xy}&\varphi _{xz}\\\varphi _{xy}&\varphi _{yy}&\varphi _{yz}\\\varphi _{xz}&\varphi _{yz}&\varphi _{zz}\end{vmatrix}}<0$, ...

Nel caso in cui le ofelimità delle merci sono indipendenti⁶, quelle condizioni sono verificate; e più semplicemente si vede subito che la (89) è sempre negativa, poichè

$\varphi _{xx}<0,\;\;\varphi _{yy}<0,\ldots \varphi _{xy}=0,\;\;\varphi _{xz}=0,\ldots$

Nel caso di merci aventi una dipendenza di primo genere, sappiamo che una merce composta di tali merci ha l’ofelimità elementare che decresce mentre cresce la quantità; e ciò ha per conseguenza che il secondo membro della (89) deve essere negativo, quando le quantità α₁, β₁, ..., sono positive.

Infatti, tornando alle considerazioni fatte al § 12, supponiamo una merce composta di α₁t, di X, β₁t, di Y, ecc., t essendo una nuova variabile. Avremo

$dx_{1}=\alpha _{1}dt$, $dy_{1}=\beta _{1}dt$, ...;

e perciò

	$d^{2}\Phi _{1}=(\varphi _{xx}\alpha _{1}^{2}+\varphi _{yy}\beta _{1}^{2}+\cdots$
	$+2\varphi _{xy}\alpha _{1}\beta _{1}+\cdots )dt^{2}$

Perchè l’ofelimità elementare decresca col crescere delle quantità, occorre che il secondo membro sia sempre negativo, e quindi sempre negativa sarà pure l’espressione (89), quando le quantità α₁, β₁, ...., sono positive.

Per la dipendenza di primo genere, abbiamo

$\varphi _{xx}<0,\ldots ,\;\;\varphi _{xy}>0,\;\;\varphi _{yz}>0,\ldots .$

Nell’espressione (89) vi sono due categorie di termini. La prima categoria è costituita dai termini che contengono i quadrati delle quantità α₁, β₁, ...; e, qualunque sieno i segni di queste quantità, quei termini rimangono sempre negativi. La seconda categoria è costituita dai termini che contengono i prodotti delle quantità α₁, β₁, ...., due a due; e quando queste quantità sono positive, quei termini sono positivi. In tale caso, la somma che si ottiene aggiungendoli ai termini della prima categoria è negativa, secondo quanto abbiamo ora veduto; sarà dunque pure tale, a più forte ragione, quando parte dei termini della seconda categoria sieno negativi, invece di essere positivi. Ciò appunto accade quando parte delle quantità α₁, β₁, ...., divengono negative.

Segue da tali considerazioni che, in ogni caso e qualunque sieno i segni delle quantità α₁, β₁, ...., l’espressione (89) rimane negativa.

Aggiungasi che perciò saranno anche verificate le disuguaglianze (90), le quali ci dànno, pel caso della dipendenza di primo genere, certe condizioni alle quali debbono soddisfare le derivate seconde dell’ofelimità totale. Nel § 12 ci eravamo limitati a considerare il caso particolare di due sole merci.

Concludiamo dunque che nel caso in cui lo ofelimità delle merci sono indipendenti, e nel caso in cui hanno una dipendenza di primo genere (IV, 42), l’espressione (89) è sempre negativa, e perciò il teorema del § 48 è verificato.

Note

1. Le nozioni di linee di indifferenza o di linee di preferenza sono state introdotte nella scienza dal professor F. Y. Edgeworth. Egli moveva dal concetto dell’utilità (ofelimità), che supponeva essere una quantità nota, e ne deduceva la definizione di quelle linee. Noi abbiamo invertito il problema. Abbiamo mostrato che movendo dalle linee di indifferenza, date direttamente dall’esperienza, si può senza altro ottenere la determinazione dell’equilibrio economico, e risalire a certe funzioni, tra le quali sarà compresa l’ofelimità, se esiste; o in ogni modo si possono dedurre gli indici dell’ofelimità.
2. Per maggiori dilucidazioni, vedasi P. Boninsegni, I fondamenti dell’economia pura, nel Giornale degli Economisti, Roma, febbr. 1902.
3. Nel Giornale degli Economisti, Roma, sett. 1904 il prof. Boninsegni ha pubblicato un ottimo studio, in cui indaga «le funzioni di domanda e di offerta nel caso del baratto, supposte le ofelimità elementari lineari».
4. Per l’equilibrio, in generale, il prof. Walras ha considerato esclusivamente il caso che a questo corrisponde.
5. Giornale degli Economisti, novembre 1903, Roma, pag. 410-413.
6. Questo caso è stato da noi studiato, per la prima volta, nel Giornale degli Economisti, Roma, nov. 1903. La dimostrazione, in sostanza, è la stessa di quella che ora diamo qui, ma ha forma più semplice, perchè invece del caso generale, si è considerato direttamente il caso più semplice delle merci di cui il consumo è indipendente.