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appendice

[§ 10]

10. Proprietà dalle curve di indifferenza. — 1.° Poichè, lungo una curva di indifferenza, una diminuzione della quantità di X deve essere compensata da un aumento della quantità di Y, e viceversa, si deve avere

(12)

${\frac {dy}{dx}}<0;$

ed è il primo carattere delle linee di indifferenza.

2.° In generale poi, e lasciando da parte casi eccezionali, la quantità variabile dy che si è disposti a dare, lungo una curva di indifferenza, per una quantità costante dx scema man mano che cresce x, quindi si ha il secondo carattere

(13)

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}>0.$

3.° Per altro scema tanto meno dy quanto più grande è x, onde, sempre in generale, si ha

(14)

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}<0.$

Sinora abbiamo considerato le variazioni delle coordinate lungo una stessa linea di indifferenza; vediamo ora cosa segue passando da una linea ad un’altra. Indichiamo con δ_x le variazioni che si hanno quando si passa da una linea ad un’altra lungo una parallela all’asse delle x; e con δ_y, le stesse variazioni lungo una parallela all’asse delle y.

Considerazioni analoghe alle precedenti ci fanno conoscere che

(15)

$\delta _{x}{\frac {dy}{dx}}>0,\;\;\delta _{y}{\frac {dy}{dx}}<0.$