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appendice

[§ 12-13]

Ma nel caso della dipendenza del primo genere, avendosi

$\varphi _{xy}>0,$

la disuguaglianza (21) ci dà un nuovo carattere dell’ofelimità (§ 49).

Come è ben noto quella disuguaglianza ci fa conoscere che l’indicatrice della superficie dell’ofelimità è un’ellisse. Del resto, al limite quella superficie può essere un piano.

Nel caso della dipendenza di secondo genere (IV, 41), avendosi

$\varphi _{xy}<0,$

si vede che quando dx e dy hanno lo stesso segno si ha sempre

$d^{2}\Phi <0;$

ma, quando hanno segue contrario, nulla possiamo concludere.

13. Caratteri delle curve di indifferenza dedotti da quelli dell’ofelimità. — Facciamo ora l’operazione inversa della precedente. Supponiamo che si conosca l’ofelimità

$I=\Phi ,$

e ricaviamone i caratteri delle curve di indifferenza

(22)

$\varphi _{x}dx+\varphi _{y}dy=0.$

1.° Dal 1.° carattere dell’ofelimità (IV, 32) si ricava subito il 1.° carattere delle curve di indifferenza.

2.° L’equazione (22) trattata come la (19) dà un’equazione simile a quella per tal modo ottenuta in cui le φ sostituiscono le ψ, cioè

(23)

$y''\varphi _{y}^{3}=-\varphi _{xx}\varphi _{y}^{2}+2\varphi _{xy}\varphi _{x}\varphi _{y}-\varphi _{yy}\varphi _{x}^{2}.$