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appendice

[§ 7-8]

L’equazione (6) è indipendente dal sistema di indici adottato. Integrandola dovrà dare tutti quei sistemi di indici, e si avrà

$\mathrm {I} =\mathrm {F} (\Psi ),$

ove F è una funzione arbitraria, e

$\Psi =\mathrm {costante}$

è un integrale di (6).

7. L’ofelimità elementare (III, 33) di X è

${\frac {\partial {\mathrm {I} }}{\partial x}}=\varphi _{x}(x,y),$

e si ha un’espressione simile per l’ofelimità elementare di Y.

Si ha quindi

(8)

$\varphi _{x}=\Psi _{x}\mathrm {F} ',\;\;\varphi _{y}=\Psi _{x}\mathrm {F} '.$

8. Nel caso in cui l’ofelimità elementare di X dipende solo da x, e quella di Y dipende solo da y (IV, 8), si vede tosto dalle (8) che l’equazione (6) deve avere un fattore d’integrazione F' tale che φ_x sia funzione solo di x, e φ_y funzione solo di y.

L’integrale generale dell’equazione

(9)

$\varphi _{x}dx+\varphi _{y}dy=0$

sarebbe

$\mathrm {I} =\mathrm {F} (\Phi ),$

che darebbe

${\frac {\partial \mathrm {I} }{\partial x}}=\varphi _{x}\mathrm {F} ',\;\;{\frac {\partial \mathrm {I} }{\partial y}}=\varphi _{y}\mathrm {F} ';$

ma poichè l’ofelimità elementare di X è funzione solo di X, e quella di Y è funzione solo di Y, oc-