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| 552 | appendice | [§ 49] |
Nell’espressione (89) vi sono due categorie di termini. La prima categoria è costituita dai termini che contengono i quadrati delle quantità α1, β1, ...; e, qualunque sieno i segni di queste quantità, quei termini rimangono sempre negativi. La seconda categoria è costituita dai termini che contengono i prodotti delle quantità α1, β1, ...., due a due; e quando queste quantità sono positive, quei termini sono positivi. In tale caso, la somma che si ottiene aggiungendoli ai termini della prima categoria è negativa, secondo quanto abbiamo ora veduto; sarà dunque pure tale, a più forte ragione, quando parte dei termini della seconda categoria sieno negativi, invece di essere positivi. Ciò appunto accade quando parte delle quantità α1, β1, ...., divengono negative.
Segue da tali considerazioni che, in ogni caso e qualunque sieno i segni delle quantità α1, β1, ...., l’espressione (89) rimane negativa.
Aggiungasi che perciò saranno anche verificate le disuguaglianze (90), le quali ci dànno, pel caso della dipendenza di primo genere, certe condizioni alle quali debbono soddisfare le derivate seconde dell’ofelimità totale. Nel § 12 ci eravamo limitati a considerare il caso particolare di due sole merci.
Concludiamo dunque che nel caso in cui lo ofelimità delle merci sono indipendenti, e nel caso in cui hanno una dipendenza di primo genere (IV, 42), l’espressione (89) è sempre negativa, e perciò il teorema del § 48 è verificato.
