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[§ 47-48]

appendice

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	$(\mathrm {X} '-\mathrm {X} _{0})\delta p_{x}+(\mathrm {Y} '-\mathrm {Y} _{0})\delta p_{y}+\cdots$
	$+(\mathrm {B} '-\mathrm {B} _{0})\delta p_{b}+(\mathrm {C} '-\mathrm {C} _{0})\delta p_{c}+\cdots \cdot =0.$

Tale equazione è precisamente la (87), onde si conclude che, quando i coefficienti di produzione non variano colle quantità, le vie seguìte con prezzi costanti dànno il massimo di ofelimità. La dimostrazione di tale teorema fu data da noi prima sotto la forma presente; ulteriori studi ci portarono alla dimostrazione dei § 42 e 45.

48. Variazioni finite nel caso del baratto. — Consideriamo una posizione di equilibrio, che diremo I, e per la quale si hanno le quantità

x'₁, y'₁, ... x'₂, ...;

consideriamo un’altra posizione di equilibrio per la quale si avrà

x''₁, y''₁, ... x''₂, ...;

i valori intermedi saranno

x₁, y₁, ... x₂, ...;

Supponiamo di passare da I a II non per vie qualsiasi, ma per vie per le quali si abbia

(88)	$x_{1}=x'_{1}+\alpha _{1}t$, $y_{1}=y'_{1}+\beta _{1}t,\ldots ,$
	$x_{2}=x'_{2}+\alpha _{2}t,\ldots .$

α₁, β₁, ... α₂, ... essendo costanti, e t una nuova variabile. Si può anche porre

$p''_{y}=p'_{y}+\sigma _{y}t$, ... $a''_{x}=a_{x}+\omega _{x}t$, ...

ma le quantità σ_y, ... ω_x, ... non sono più costanti; sono quantità che risultano dalle equazioni a cui debbono soddisfare i prezzi e i coefficienti di produzione.

La variazione seconda dell’ofelimità, per un individuo, è

	$\delta ^{2}\Phi _{1}=\varphi _{xx}\delta x_{1}^{2}+\varphi _{yy}\delta y_{1}^{2}+\cdots$
	$+2\varphi _{xy}\delta x_{1}\delta x_{2}+\cdots ;$