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[§ 49]

appendice

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dipendenti¹, quelle condizioni sono verificate; e più semplicemente si vede subito che la (89) è sempre negativa, poichè

$\varphi _{xx}<0,\;\;\varphi _{yy}<0,\ldots \varphi _{xy}=0,\;\;\varphi _{xz}=0,\ldots$

Nel caso di merci aventi una dipendenza di primo genere, sappiamo che una merce composta di tali merci ha l’ofelimità elementare che decresce mentre cresce la quantità; e ciò ha per conseguenza che il secondo membro della (89) deve essere negativo, quando le quantità α₁, β₁, ..., sono positive.

Infatti, tornando alle considerazioni fatte al § 12, supponiamo una merce composta di α₁t, di X, β₁t, di Y, ecc., t essendo una nuova variabile. Avremo

$dx_{1}=\alpha _{1}dt$, $dy_{1}=\beta _{1}dt$, ...;

e perciò

	$d^{2}\Phi _{1}=(\varphi _{xx}\alpha _{1}^{2}+\varphi _{yy}\beta _{1}^{2}+\cdots$
	$+2\varphi _{xy}\alpha _{1}\beta _{1}+\cdots )dt^{2}$

Perchè l’ofelimità elementare decresca col crescere delle quantità, occorre che il secondo membro sia sempre negativo, e quindi sempre negativa sarà pure l’espressione (89), quando le quantità α₁, β₁, ...., sono positive.

Per la dipendenza di primo genere, abbiamo

$\varphi _{xx}<0,\ldots ,\;\;\varphi _{xy}>0,\;\;\varphi _{yz}>0,\ldots .$

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1. Questo caso è stato da noi studiato, per la prima volta, nel Giornale degli Economisti, Roma, nov. 1903. La dimostrazione, in sostanza, è la stessa di quella che ora diamo qui, ma ha forma più semplice, perchè invece del caso generale, si è considerato direttamente il caso più semplice delle merci di cui il consumo è indipendente.