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appendice

[§ 11]

$-{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\psi _{x}}{\psi _{y}}}>0;$

ossia, indicando con ψ_xx, ecc., le seconde derivate di ψ, si ottiene la prima delle ineguaglianze seguenti, e la seconda si ha analogamente dalla seconda delle (15),

(17)

${\begin{cases}\psi _{xx}\psi _{y}-\psi _{xy}\psi _{x}<0,\\\psi _{yy}\psi _{x}-\psi _{xy}\psi _{y}<0.\\\end{cases}}$

Nel caso in cui il sistema di indici è tale che si abbia

$\psi _{xy}=0,$

le disuguaglianze precedenti divengono

(18)

$\psi _{xx}<0,\;\;\psi _{yy}<0,$

e dànno la seconda proprietà di quegli indici (IV, 33).

3.° Vediamo a cosa corrisponde la seconda proprietà delle curve di indifferenza. Poniamo

$y'={\frac {dy}{dx}},\;\;y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},$,.....,

e deriviamo, lungo una curva di indifferenza; la equazione

(19)

$\psi _{x}+y'\psi _{y}=0;$

dà

$y''\psi _{y}=-\psi _{xx}-2\psi _{xy}y'-\psi _{yy}y'^{2},$

ossia

$y''\psi _{y}^{3}=-\psi _{xx}\psi _{y}^{2}+2\psi _{xy}\psi _{x}\psi _{y}-\psi _{yy}\psi _{x}^{2}.$