Pagina:Manuale di economia politica con una introduzione alla scienza sociale.djvu/521

[§ 18-19]

appendice

511

μ essendo un parametro, il quale, se si fa variare, dà un genere di curve. Supponiamo che gli ostacoli di secondo genere ci costringano a seguire quel genere di curve. Scegliamo a caso una di quelle curve, quella, ad esempio, per la quale μ = μ₁, l’equilibrio avrà luogo nel punto di tangenza di una di dette curve e di una curva di indifferenza, (III, 94), cioè sarà determinato dalle equazioni

(31)

$f_{x}dx+f_{y}dy=0,\;\;\varphi _{x}dx+\varphi _{y}dy=0;$

in cui, al solito,

$f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}},\;\;f_{y}={\frac {\partial f}{\partial y}}$.

Dall’equazione (31) si ricava

(32)

$\varphi _{x}f_{y}-\varphi _{y}f_{x}=0.$

Quest’equazione e la (30) determinano le coordinate x, y del punto di equilibrio.

19. Se è dato solo il genere della linea delle trasformazioni, rimane ancora da determinare μ, e perciò è necessario un’altra equazione. Ma in ogni modo bisogna badare bene che nel derivare la (30) per ottenere la (31), μ si deve considerare come costante, poichè l’equilibrio ha luogo lungo una di quelle linee, la quale è poi determinata dalle altre condizioni del problema.

Se μ rimane variabile, l’equazione (32) ci dà una classe di curve, le quali potrebbero servire invece delle linee di indifferenza, e delle linee di preferenza, per determinare i gusti di un individuo.

20. Nel caso del baratto fra due individui: 1 e 2 indicando cogli indici 1 e 2 le quantità che si riferiscono a quelli individui, la condizione che ciò