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[§ 10-11] appendice 503

il che, del rimanente, si ottiene direttamente, coi primi principii del calcolo delle variazioni.

Ossia se a b c figura gli elementi di una linea Fig. 59.di indifferenza, a' b' quelli di un’altra; l’inclinazione α' di a' b' su o x è maggiore dell’inclinazione α di a b, e minore dell’inclinazione β di b c.

11. Caratteri degli indici dedotti da quelli delle linee di indifferenza. — Supponiamo che l’equazione contenga già il fattore di integrabilità, se occorre. Quindi

e

dà un sistema di indici.

1.° Secondo la prima proprietà delle linee di indifferenza, dx e dy debbono avere segni contrari; quindi, in virtù della (6), occorre che ψx, ψy abbiano lo stesso segno, e si può scegliere il positivo. La prima proprietà degli indici (IV, 32), che corrisponde alla prima proprietà delle linee di indifferenza è dunque data da

(16) .

2.° La prima delle ineguaglianze (15) si può scrivere