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[§ 10-11]

appendice

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il che, del rimanente, si ottiene direttamente, coi primi principii del calcolo delle variazioni.

Ossia se a b c figura gli elementi di una linea Fig. 59.di indifferenza, a' b' quelli di un’altra; l’inclinazione α' di a' b' su o x è maggiore dell’inclinazione α di a b, e minore dell’inclinazione β di b c.

11. Caratteri degli indici dedotti da quelli delle linee di indifferenza. — Supponiamo che l’equazione contenga già il fattore di integrabilità, se occorre. Quindi

${\frac {\partial \Psi }{\partial x}}=\psi _{x},\;\;{\frac {\partial \Psi }{\partial y}}=\psi _{y};$

e

$\mathrm {I} =\Psi$

dà un sistema di indici.

1.° Secondo la prima proprietà delle linee di indifferenza, dx e dy debbono avere segni contrari; quindi, in virtù della (6), occorre che ψ_x, ψ_y abbiano lo stesso segno, e si può scegliere il positivo. La prima proprietà degli indici (IV, 32), che corrisponde alla prima proprietà delle linee di indifferenza è dunque data da

(16)

${\frac {\partial \mathrm {I} }{\partial x}}>0,\;\;{\frac {\partial \mathrm {I} }{\partial y}}>0$.

2.° La prima delle ineguaglianze (15) si può scrivere