Problemi della scienza/Capitolo III

by Federigo Enriques

Capitolo III - I problemi della logica

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Federigo Enriques - Problemi della scienza (1906)

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capitolo iii.

I PROBLEMI DELLA LOGICA

A - La logica pura.

§ 1. Logica reale e logica formale.

Nella vita comune colui che, in una discussione, può far toccare con mano all’avversario come le conseguenze del suo ragionamento siano false, non esita a dichiararlo in flagrante reato di illogicità.

Mettere in dubbio la giustezza di codesto criterio vale quanto sostenere la tesi paradossale che «un ragionamento buono possa condurre a conclusioni sbagliate». L’uomo sensato, volendo spiegare il suo modo di vedere in proposito, ci direbbe probabilmente che il ragionamento ha come scopo di giudicare del vero e del falso, e quindi il valore del ragionamento stesso si deve desumere dal resultato raggiunto.

Come spesso accade, il senso comune ha ragione dal suo punto di vista; in quanto i problemi non esistono per lui fuori della vita, le risposte che egli suggerisce mirano sempre ad avvicinarsi allo scopo pratico, in una veduta sintetica. E vi si avvicinano infatti, grossolanamente, come una linea retta, tirata fra due punti, può avvicinarsi ad una linea, di natura più complicata, che abbia in essi gli estremi.

Tuttavia il semplice criterio del senso comune ammette, in questo caso, delle eccezioni molto visibili. Tizio e Caio si trovano discordi in una questione; dopo avere lungamente discusso, accusandosi reciprocamente di non saper ragionare, viene in chiaro che uno di essi crede di aver visto le cose in un dato modo, mentre l’altro ritiene di aver veduto l’opposto. A questo punto, ciascuno dei due non pensa più ad accusare l’amico di essere illogico, ma gli rimprovera piuttosto in cuor suo di essere cieco; e per terminare la disputa i due si recano insieme sul posto a constatare de visu ciò che forse non hanno veduto, nè l’uno, nè l’altro.

Tizio e Caio sono dunque forzati di riconoscere che anche il ragionamento di chi ragiona bene può non esser buono a stabilire la verità o la falsità di un fatto, se l’autore pur ragionando bene ha veduto male.

Tuttavia il senso comune non ha pensato ad una eccezione di questo genere o non se ne ricorda.... e tira diritto a gabellare per illogico chi perviene col ragionamento a conclusioni sbagliate.

Alla veduta sintetica delle conoscenze, che conviene al senso comune mirante allo scopo di esse, si oppone di frequente la veduta analitica della Scienza, la quale, decomponendo l’insieme nelle sue parti, ne giudica come fossero isolate. Il resultato scientifico non appare veramente paradossale se non in quanto è frammentario.

Colui che approfitta di una soneria elettrica, per uso domestico, vuole che il campanello suoni; se non suona la soneria è guasta; deve esserci rottura o contatto di fili, cause che altre volte hanno paralizzato la funzione del campanello. Viene il tecnico, esamina i fili che già aveva accuratamente isolati, e constata non esservi rottura nè contatto. Che importa? il campanello non suona.

Ma manca l’acqua nella pila; il tecnico non ha che da versarne quanto è necessario, il campanello torna a suonare. Al tecnico importava per ciò di distinguere la causa del guasto, cui voleva porre riparo.

La metafora è assai trasparente. Il processo di acquisto della conoscenza, tendente a stabilire il vero, è un’operazione complessa: il ragionamento non è che una parte del processo; non basta dunque ragionar bene per trovare il vero, ma bisogna adempiere ad un tempo altre condizioni. La scienza gnoseologica ha il compito di analizzare codeste condizioni; prima di pervenire ad una veduta sintetica le occorre di considerarle, per quanto è possibile, isolate l’una dall’altra.

Si può isolare il ragionamento dal suo contenuto?

Tocchiamo qui ad una questione fondamentale, dibattuta tra i filosofi. «La Logica concerne soltanto la forma o anche la materia del ragionamento?»; e quindi «ha essa un valore reale o puramente formale?».

Per intendere tutta l’importanza della questione, nel suo aspetto pratico, basta riflettere al posto che la Logica ha occupato nella filosofia scolastica: mentre il suo studio era limitato alle regole formali della deduzione (o dell’induzione completa) si considerava come un’arte volta alla ricerca del vero.

Quest’errore fondamentale di cui taluno volle ricercare il germe nello stesso concetto di Aristotele, riattaccandone la causa alle fonti onde questi trasse «l’arte del discorso», tende ad essere corretto per due vie, nelle quali ha proceduto il pensiero moderno.

Per una parte, tenuto fermo lo scopo, si è inteso ad allargare il dominio della Logica, comprendendo nel ragionamento anche l’interpretazione dei dati empirici, e cercando di fissare i canoni generali di quelle associazioni che costituiscono i processi induttivi. Coloro che si sono spinti innanzi su questa via, da Bacone a Stuart Mill, hanno veduto la necessità di tener presente il contenuto reale del ragionamento, e si sono così allontanati dalle antiche formule, nelle quali il falso si lascia adagiare altrettanto bene come il vero.

Se la nuova Logica induttiva, pur possedendo principii generali, è lungi dal porgere la medesima fissità ed esattezza di criterii che apparteneva all’antica, essa integra molto più adeguatamente il concetto di un’arte volta a stabilire la verità.

Da un altro lato tenuto fermo, come oggetto della Logica, il ragionamento nella sua forma rigorosa, si è inteso (da Kant, Herbart, ecc.), a mettere nella sua propria luce il carattere puramente analitico di codesto rigore formale, attribuendo al ragionamento suddetto il valore di un istrumento di trasformazione, che non alteri i dati concettuali della conoscenza, ma li lasci veri o falsi, secondo è da provare con altri mezzi, stabilendo soltanto un legame per cui la verità o la falsità degli uni porti la verità o la falsità degli altri.

Perchè il ragionamento così inteso riesca perfettamente indipendente dalla prova reale empirica, e perchè riesca rigoroso, importa che le sue leggi vengano riconosciute come puramente formali, applicabili cioè ogni qualvolta si riscontrino talune condizioni di coerenza del pensiero, senza badare al contenuto.

Infatti vi è nei dati dell’osservazione e dell’esperienza qualcosa di non bene definito che sparisce nel concetto a cui essi vengono subordinati; ed, a causa di ciò, il controllo che si eserciti sul ragionamento, in vista della realtà a cui si riferisce, non può pretendere alla medesima esattezza, che spetta al giudizio sulla sua coerenza formale.

Il movimento di pensiero proseguitosi, come si è detto, in due sensi opposti, porta, in ultima analisi, a distinguire, una Logica reale induttiva, ed una Logica formale (considerata spesso come) deduttiva, che rispondono ad un unico scopo conoscitivo.

Importa però determinare il valore di questa distinzione, in ordine al criterio classico della deduzione e dell’induzione.

Ciò che caratterizza la Logica formale rigorosa, non è la deduzione dal generale al particolare, poichè i procedimenti d’induzione completa ne formano parte integrante. Se dunque si vuol parlare di una Logica formale, come «deduttiva», occorre tener presente che si accorda, con ciò, alla «deduzione» un significato più esteso, di quello tradizionale, conformemente all’uso della parola fra i matematici.

Il rapporto fra la deduzione e l’induzione, così intese, risulta bene chiarito relativamente al processo conoscitivo, se ci si riferisce allo schema logico di Jevons (cap. II § 21). L’ufficio del ragionamento deduttivo in codesto processo è di «trasformare l’ipotesi inaccessibile all’esperienza, in altre equivalenti, che possano essere sperimentalmente verificate o negate».

E emerge da ciò, più lucidamente, quale importanza spetti ad un istrumento rigoroso, il cui valore possa essere controllato indipendentemente dalle esperienze verificatrici, e dalla verità o falsità delle ipotesi, quindi anche dal loro contenuto di fatto, cioè dal significato reale del ragionamento.

Nel seguito, fisseremo di ritenere il nome di «Logica», nel senso formale, che corrisponde a codesto istrumento rigoroso di trasformazione; ed avremo poi occasione di riconoscere gl’inconvenienti che derivano dall’estendere la parola a designare lo studio dell’induzione scientifica, nel suo più largo significato. Ad evitare confusioni, contrapporremo tale studio alla Logica pura, designandolo come applicazione della Logica. E, trattando di questa, investigheremo il valore reale delle leggi formali del ragionamento e condizioni sotto cui esse divengono criterio di prova in relazione ai fatti.

§ 2. Schemi verbali e segni.

Ma veramente noi abbiamo riconosciuto soltanto l’utilità di una Logica formale che detti le leggi del ragionamento, indipendentemente dal suo contenuto. Resta a vedere se ed in qual senso codesta indipendenza possa effettivamente raggiungersi, in modo rigoroso. E l’esame è tanto più necessario, in quanto che tale possibilità viene contestata anche da taluni fra i più illustri seguaci della filosofia critica.

Volendo dimostrare la possibilità di una Logica puramente formale si possono tenere due vie.

La via che può considerarsi come classica, consiste nello stabilire gli schemi verbali, corrispondenti alle forme ideali del pensiero esatto.

Se si riesce a dare a questi schemi una rigorosa ed astratta generalità l’assunto resta dimostrato. Ma, nel caso d’insuccesso, non è lecito di trarne la conclusione opposta, giacchè il difetto dello schema può essere cagionato da un insufficiente adattamento del linguaggio, che non risponde sempre adeguatamente ai processi del pensiero esatto.

Si considerino ad es. le regole aristoteliche della conversione delle proposizioni; alle quali si riferiscono talune acute osservazioni del nostro Tocco.

La proposizione universale affermativa si converte per accidens (secondo la locuzione di Boezio) nella particolare affermazione; così, p. es., dalla proposizione «tutti i quadrati sono parallelogrammi» si deduce l’altra «alcuni parallelogrammi sono quadrati». Orbene si presenta come una lacuna di questa regola il caso in cui il predicato sia essenziale al soggetto. Ad es. la proposizione «tutti i triangoli sono poligoni in cui la somma degli angoli vale due retti» si convertirebbe nell’altra «alcuni poligoni in cui la somma degli angoli vale due retti, sono triangoli», che lascia credere erroneamente alla esistenza di poligoni aventi più di tre lati, in cui la somma degli angoli sia due retti.

Ma che cosa prova questa lacuna? Questo soltanto, che la parola «alcuni » ha un significato ambiguo. Ogni matematico la prenderà sempre nel senso (affermativo) che non esclude la totalità, ammettendo dunque che la proposizione «tutti gli A sono B» rientri come caso particolare nell’altra «alcuni A sono B»; ma secondo l’uso comune della Grammatica, si aggiunge alla parola suddetta un significato negativo per cui l’idea di «alcuni» esclude l’idea di «tutti», e quindi le due proposizioni sopra scritte appaiono contraddirsi.

In conclusione, la regola formale di conversione a cui ci siamo riferiti come ad esempio, sussiste rigorosamente se si fissa, con una convenzione opportuna, il significato della parola «alcuni», allontanandosi dal comune uso grammaticale, secondo i criterii universalmente adottati dai matematici, in tutti i casi analoghi.

All’esempio addotto di sopra, altri numerosi se ne possono aggiungere, ove la regola logica verbalmente espressa, cade in difetto, o dà luogo ad applicazioni errate, per analoghe cagioni attinenti all’uso del linguaggio. In particolare, la duplicità di senso delle parole costituisce da sola la fonte comune dei più noti sofismi, di quelli, p. es., ove il termine medio è preso con diversa estensione nelle due premesse di un sillogismo.

È noto quanto i logici si siano occupati di cotali fallacie del ragionamento, e come essi abbiano approfondito lo studio di codesta parte grammaticale della Logica, che intende per così dire ad una correzione del linguaggio. La lingua infatti, è sempre tanto lontana dall’ideale dei logici!

Balzando fuori dal bisogno della rappresentazione delle cose, evolvendosi sotto l’impulso delle associazioni e delle analogie suggerite dalla realtà, la parola fissa in un suono quasi invariabile un contenuto che si allarga e si trasforma e si sfigura nel tempo, sicchè ad ogni istante vi sono in generale più immagini, solo in parte ricoprentisi, che corrispondono al medesimo suono. E questa è, d’altronde, una condizione essenziale del progresso.

Dinnanzi alla precedente constatazione, la Logica grammaticale si arresta, costretta a riconoscere che gli schemi verbali del ragionamento non porgono una sicura garanzia della sua esattezza, e non soddisfano insomma alle più raffinate esigenze del rigore formale. Quindi l’impulso ad un indirizzo nuovo, in cui la ricerca degli schemi verbali viene rimpiazzata da quella di segni convenzionali. Sorge così la costruzione di una Logica simbolica, ispiratasi all’algoritmo algebrico, cui vien dato il nome di Logica, Pasigrafia o Ideografia matematica.

I primi fondamenti di codesta costruzione risalgono al Leibniz (verso il 1700), ed un perfezionamento vi recò il Lambert intorno al 1750. Ma tali sviluppi rimasero interrotti quasi un secolo, e furono ripresi in parte indipendentemente, dalla scuola geometrica inglese (Peacock, De Morgan, Boole), e da H. Grassmann e W. R. Hamilton, il quale ultimo non deve essere confuso coll’autore della quantificazione del predicato (dottrina che procede assai meno avanti nel senso della Logica simbolica).

Peirce e Schröder (1877), Peano (1888-89) e Frege (1891), hanno esteso e compiuto l’algoritmo logico, fino a renderlo atto all’espressione di intiere teorie matematiche¹.

Qualunque possa essere il valore del sistema come istrumento di critica matematica, (e noi già avemmo occasione di accennare al difetto dei criterii puramente formali che taluni ricercatori sembrano attingere negli studi sui principii della Geometria) devesi pur riconoscere come esso costituisca, sotto varii aspetti, un grande progresso sopra la Logica scolastica, e porga una risposta più adeguata al problema di assegnare gli schemi del ragionamento esatto.

Per raggiungere questo scopo, la Logica matematica abbandona l’uso delle consuete forme verbali, e crea ex novo un dizionario di segni, ogni segno facendosi corrispondere, senza ambiguità, ad un oggetto. Ma astraendo dal significato concreto degli oggetti, si propone di rappresentarne i rapporti logici, che un’analisi approfondita riesce a fissare e a ridurre a pochi tipi generali, anch’essi simbolicamente rappresentati; il ragionamento trova pertanto la sua espressione in una specie di calcolo logico, analogo, come abbiamo accennato, al calcolo algebrico.

Soprattutto i logici matematici della scuola di Peano hanno spinto innanzi queste analogie, proseguendo la deduzione dei teoremi di Logica, che riassumono le combinazioni di pochi principii fondamentali del ragionamento.

Pertanto la Logica simbolica, costruita come una teoria deduttiva sul modello dell’Aritmetica o della Geometria, viene a costituire un istrumento che porge compiuti, abbrevia o controlla certi sviluppi, di cui può occorrere più di frequente l’uso nelle varie scienze.

§ 3. Logica simbolica e logica psicologica.

La seconda via, che vale a stabilire la possibilità di una Logica formale è lo studio del processo del pensiero, ricostruito direttamente attraverso i suoi prodotti scientifici, all’infuori di ogni particolare espressione mediante parole o segni. E precisamente conviene di ritornare a quegli sviluppi recenti delle Matematiche, da cui la stessa logica algoritmica (detta appunto per ciò matematica) ha tratto alimento.

Or dunque al concetto tradizionale della Logica grammaticale, o più generalmente simbolica, contrapponiamo quello di una Logica psicologica, la quale negli schemi e nei segni riguarda non tanto le formule scritte, quanto le convenzioni e le norme non dichiarate sul foglio (ed inintelligibili all’infuori della riflessione psicologica) che ne reggono i modi di combinazione.

La Logica così intesa, non costituisce più una teoria deduttiva sussidiaria agli sviluppi scientifici, ma una scienza di osservazione e di confronto avente come oggetto proprio la critica dei procedimenti elementari del pensiero, che si rispecchiano nei principii fondamentali del ragionamento; i quali procedimenti essa vuole spiegare come una realtà psicologica.

Occorre per altro respingere anticipatamente una comune obiezione contro il concetto sopra esposto della Logica, determinando i rapporti fra Logica e Psicologia.

A distinguere l’una dall’altra, si osserva generalmente che la prima ha carattere normativo per riguardo al vero, mentre la seconda è una pura descrizione di procedimenti mentali, giusti od errati.

Secondo il nostro punto di vista (rigorosamente formale), importa anzitutto correggere l’opinione che le norme logiche abbiano un valore a priori, rispetto al vero; ma per una discussione intorno a ciò, rimandiamo alla seconda parte di questo capitolo.

Riconosciamo, ad ogni modo che la Logica può riguardarsi come un insieme di norme, le quali debbono osservarsi, se si vuole la coerenza del pensiero. Ma ciò può anche essere espresso dicendo, che: fra i varii procedimenti mentali, se ne distinguono alcuni, in cui vengono volontariamente soddisfatte certe condizioni di coerenza, i quali si denominano appunto procedimenti logici.

In questo senso la Logica può riguardarsi come una parte della Psicologia.

§ 4. Possibilità della Logica formale desunta dallo sviluppo delle Matematiche.

Esaminiamo da questo punto di vista psicologico, gli sviluppi recenti delle Matematiche, cui accennavamo testè. Verremo così a:

1) riconoscere a posteriori la possibilità di una Logica formale;

2) definire propriamente «ciò che è logico», in contrapposto a procedimenti del pensiero ove lo sviluppo logico non è reso indipendente dalla rappresentazione delle immagini in esso elaborate.

La possibilità di una Logica formale risulta anzitutto da questo. Il medesimo rigore, la stessa inflessibile coerenza, regge gli sviluppi del pensiero nei campi diversi delle Matematiche, così in quelli più vicini ad una fisica applicazione, come nei più lontani ed astratti, ad es. nella Geometria degli spazii a più dimensioni o non-euclidci o non-archimedei, ecc.; e queste astratte teorie hanno per loro stesse un’esistenza analitica (come edifizii logici), se pure non esiste un oggetto reale a cui si riferiscono.

Ma vi è di più. Seguendo Pluecker si è introdotta nella Geometria una veduta estremamente feconda, che porge un principio di trasformazione delle teorie, basato appunto sul loro valore formale.

Si consideri una teoria geometrica come un sistema di rapporti logici, intercedenti fra certi concetti designati dalle parole «punto» «linea», ecc. Si può lasciare alle parole un significato astratto indeterminato, riguardandole dunque come simboli di concetti ignoti, ma soddisfacenti formalmente alle proposizioni fondamentali che esprimono i rapporti geometrici. Allora è lecito di fissare a piacere, con una convenzione, il significato dei simboli, in guisa però da soddisfare alle anzidette condizioni normali; si ottengono così infinite possibili interpretazioni concrete della teoria geometrica astratta.

Non è qui il luogo per accennare alle conseguenze matematiche di questo fecondo principio; diremo soltanto che esso ha sviluppato negli spiriti critici il sentimento della Logica formale e ha fornito la più concludente dimostrazione a posteriori della sua possibilità.

Tale sentimento si ritrova, nettamente esplicato, nelle più recenti sistemazioni rigorose dei principii della Geometria (Pasch, Peano, Veronese, Enriques, Hilbert....), di cui M. Pasch sembra avere porto il primo modello nelle sue «Vorlesungen ueber neuere Geometrie (1882)»².

Ma dalla critica geometrica sopra accennata, ed in particolare dal confronto delle trattazioni suddette, risulta non soltanto dimostrata la possibilità di una Logica formale, bensì anche definito precisamente il senso in cui l’aspetto formale della Logica deve essere inteso.

Si tratta perciò di riconoscere (e ciò può farsi anche all’infuori di ogni particolare espressione grammaticale o simbolica) i requisiti che da esse si osservano nella forma delle definizioni e dei postulati, ed in qual modo venga inteso un assetto rigorosamente logico di una teoria, o per contrapposto quali modi di trattazione vengano tenuti come non rigorosi.

§ 5. Critica della definizione.

L’idea di desumere lo studio della Logica dallo sviluppo delle Matematiche, ed in ispecie della Geometria, è tutt’altro che moderna.

Infatti già Aristotele prese come base della sua costruzione la Geometria e la Retorica.

Ora i progressi critici, accennati testè, vengono non soltanto a completare le regole aristoteliche della deduzione, ma soprattutto ad istituire una nuova dottrina della definizione, la quale può considerarsi come un acquisto affatto recente, a cui diversi pensatori sono giunti, in modi diversi ed in parte indipendentemente gli uni dagli altri, negli ultimi vent’anni.

Per penetrare nell’analisi del processo logico del pensiero, conviene appunto prender le mosse da codesta critica della definizione.

Nel concetto comune si attribuiscono alla definizione due significati contraddittori. Per una parte si considera come un processo di riduzione che, essendo dati certi concetti, permette di stabilirne dei nuovi. Per l’altra parte si pretende, se pure non lo si affermi esplicitamente, che essa possa stabilire il significato reale di un concetto qualsiasi. In pratica si riconducono le nozioni più complesse alle più semplici, riguardo alle quali ogni dilucidazione sembra inutile. Ma se si domanda di definire quest’ultime, non ci si fa riguardo dallo spiegarle mediante le prime.

Così ci si aggira chiaramente in un circolo vizioso; riesce facile comprenderlo a chi si proponga di redigere il dizionario di una lingua qualsiasi.

Non si può eliminare la contraddizione se non si conceda esservi una differenza netta fra definizioni e definizioni, secondo si tratta di un vero processo logico riduttore, o dello stabilimento di quei concetti primi e più semplici, per mezzo dei quali i più complessi vengono generati.

Questa differenza si mostra luminosamente a chi si proponga di esaminare, sotto l’aspetto critico, un trattato di Geometria.

Nei trattati per le scuole elementari si spiega che cosa sieno le figure fondamentali, mostrandone un modello conveniente per mezzo di un disegno. Si dà così una definizione concreta dei primi termini del linguaggio geometrico.

Ma questo procedimento non piace più al maestro che deve spiegare le medesime cose ad alunni più maturi. Per lui la definizione concreta delle figure ideali della Geometria è soltanto un mezzo suggestivo di svegliare certe idee nella mente del discepolo; ha insomma un carattere psicologico, di cui non è soddisfatto. E nella piena coscienza che esista una differenza netta fra la Geometria razionale e la empirica, guardando a quest’ultima con un profondo disprezzo, pretende che nella sua trattazione tutto venga definito in un modo puramente logico.

Prendiamo come esempio la definizione, che ancora taluni trattati danno, della linea retta, secondo Legendre: «la retta è la linea più corta fra quelle che uniscono due punti».

È interessante di arrestarsi un momento ad esaminare quello che questa definizione c’insegna, e quello che non c’insegna.

Si pretende, per ipotesi, trattarsi di una definizione logica. In questo senso essa dice che il concetto della retta si riconduce a due altri più generali, cioè al concetto di una linea e a quello della sua lunghezza. Se si volesse determinare rigorosamente il significato reale di questi, ci si troverebbe molto imbarazzati; ma riesce più comodo di non fermarsi sulla domanda. Non insistiamo su questo punto, e procediamo oltre nel nostro esame.

Si avrebbe diritto di chiedere, almeno, che dalla definizione vengano dedotte logicamente le proprietà della retta, facendo appello a qualche proprietà generale delle linee e della loro lunghezza. Ma già la più semplice proprietà, secondo la quale due rette non possono avere più di un punto comune, costituisce una proposizione, che si può ritenere impossibile a stabilire per questa via³, e che perciò ci si trova costretti ad aggiungere alla definizione, come un postulato.

Nei successivi sviluppi, concernenti figure più complesse, vi è luogo a richiamare codesto postulato o altri analoghi, i quali mettono in luce le più semplici proprietà della linea retta; mai si ricorre alla proprietà che ne costituisce la pretesa definizione.

Allora, se non si vuole cambiare il senso ordinario della parola, bisogna convenire che la pretesa definizione di Legendre, non è una definizione sotto l’aspetto logico, o almeno che non ne occupa il posto nell’accennato organamento logico della Geometria elementare.

Ma se la ricordata definizione non ci apprende le proprietà elementari della retta, a cui si ha ricorso nello sviluppo logico della Geometria, non si potrebbe negare che essa ci apprenda tuttavia qualche cosa. Difatti gli allievi la trovano perfettamente chiara, e ammettono volentieri che essa porga loro un’idea precisa della linea retta.

In qual modo viene raggiunto questo resultato incontrastabile?

È facile comprenderlo. Poichè il concetto generale della linea richiama alla mente l’immagine di un filo, parlando della linea più corta fra due punti, si fa sorgere avanti agli occhi l’immagine di un filo teso, che è una buona rappresentazione sensibile della retta.

Ma allora, la pretesa definizione della retta non vale a determinarla meglio di un qualunque altro procedimento analogo di spiegazione per mezzo di un modello concreto; onde s’inganna l’insegnante che vi ricorre colla pretesa di fare qualcosa di essenzialmente diverso.

Abbiamo scelto come esempio la definizione della retta data da Legendre, della quale a dir vero la critica ha fatto giustizia da lungo tempo, ma che pure è ancora diffusa in alcuni ordini delle nostre scuole. Si potrebbero sviluppare simili riflessioni per riguardo alle definizioni date dai geometri antichi e moderni, da Euclide fino ai nostri giorni (esclusi soltanto i più recenti autori critici). Bisogna diffidare delle definizioni che si trovano in testa ad un trattato di Geometria; non sono definizioni nel senso logico della parola, ma semplici descrizioni o definizioni in senso psicologico.

Del resto è facile riconoscere la differenza che le separa dalle definizioni propriamente dette, che s’incontrano nel medesimo trattato dopo le prime pagine. Quest’ultime possono, quando si voglia, venir soppresse, rimpiazzando il termine definito con una circonlocuzione; ma si provi a fare lo stesso per riguardo alle prime! Il proposito medesimo si palesa subito assurdo. Ed invero, come sarebbe possibile di sviluppare una Geometria qualunque, dopochè si sieno eliminate dal linguaggio, l’una dopo l’altra, tutte le parole connotanti delle idee geometriche?

In qualunque modo si cerchi di girare la difficoltà non si sfugge alla conclusione fondamentale, che discende dalle osservazioni precedenti:

Vi è in Geometria una differenza netta fra definizioni e definizioni, secondo si tratta dei concetti primi o di quelli a cui si dà origine nello sviluppo della scienza. Le ultime definizioni soltanto sono perfette, in modo che è lecito di rimpiazzare il termine definito coi termini impiegati per definirlo, cioè hanno un significato relativo rigorosamente determinante.

Sono dunque solamente le definizioni di codesto genere, che debbono riguardarsi come vere definizioni logiche. Al contrario le consuete definizioni dei primi concetti geometrici non possono ritenersi vere definizioni, se non in un senso esteso della parola; ed in questo senso sono a dirsi definizioni psicologiche; col qual nome si mette in evidenza il loro ufficio di richiamare certe immagini, e di suggerire la visione dei loro rapporti.

§ 6. Definizioni reali e definizioni nominali.

Le riflessioni sviluppate prendendo argomento dalla Geometria, si estendono naturalmente ad una scienza o ad una teoria deduttiva qualunque.

Così è facile di scorgere in un Codice la netta differenza che separa le definizioni dei concetti giuridici fondamentali, ad es., della proprietà, del contratto, ecc., da quelle di particolari oggetti possibili di proprietà, come, p. es., un tesoro, o di speciali contratti, come, p. es., il pegno o l’anticresi.

Le prime hanno così poco il valore di definizioni, perfette e rigorose, che non si possono intendere senza tener presente l’insieme delle successive disposizioni dello stesso codice; ad esse bene si può riferire la prudente massima del Digesto (leg. 202, 50, 17) «Omnis definitio in jure civili periculosa est; parum est enim ut non subverti possit».

Si trovano generalmente, in ogni teoria deduttiva, due specie di definizioni: quelle che servono a stabilire i concetti fondamentali sono considerate come reali, quelle che s’introducono strada facendo sono dette definizioni nominali.

Ora le definizioni reali non hanno altro ufficio che di richiamare, in una formula concisa, alcune delle proprietà, note o supposte, dei concetti, alle quali bisogna aggiungere il più spesso altre ipotesi o affermazioni esplicite; ed in questo senso non si può disconoscere la loro importanza. Ma quando, in luogo di attribuir loro il valore di semplici descrizioni, si denominano col titolo di definizioni, nasce il pericolo di fissare l’attenzione sopra un legame formale delle idee riguardate in un aspetto particolare, anzichè sul loro significato reale, e di mantenere l’illusione che una spiegazione di parole possa sostituire un insieme di osservazioni e di esperienze, aventi come scopo di determinare codesto significato.

Diremo dunque che la definizione reale non è una definizione logica, ma soltanto una definizione psicologica, cioè un modo di far sorgere un certo concetto nella mente altrui, per mezzo di immagini opportunamente rievocate ed associate.

Pertanto la più precisa e tipica definizione reale è la definizione concreta che si dà del nome di un oggetto, mostrando l’oggetto stesso e pronunziando insieme la parola che lo denota. Quando si tratti di definire un termine un po’ generale, riferentesi sempre ad oggetti concreti, si può mostrare un certo numero di questi e fissare l’attenzione sui loro caratteri comuni.

Sebbene questi casi siano più semplici di quelli che spesso occorre considerare, il fondamento della definizione concreta consiste sempre nello stabilire un’associazione fra una parola ed una certa serie di sensazioni.

La definizione, riguardata sotto tale aspetto, appartiene piuttosto al campo dell’osservazione e dell’esperienza che a quello della Logica. Così, ad es., spetta all’osservazione anatomica e fisiologica, cadente nel dominio della Zoologia, di stabilire precisamente i caratteri degli animali che voglionsi attribuire ad una certa specie.

Tuttavia la definizione concreta non serve a stabilire le idee un po’ astratte ed i concetti elaborati per un più lungo lavoro di associazione e di astrazione del pensiero. In questi casi la percezione di qualche oggetto non basta sempre a far compiere nello spirito altrui il medesimo lavoro che si è prodotto nel nostro. Ed appunto qui si ricorre generalmente ad una descrizione, la quale dando la spinta ad un siffatto lavoro, adempie l’ufficio di definizione psicologica.

Se possiamo esser sicuri che la costruzione del concetto si è compiuta nello stesso modo nello spirito altrui come nel nostro, il significato iniziale della parola colla quale lo rappresentiamo riesce stabilito. Così appunto accade nella Geometria elementare, ove la vista di un grossolano modello, o una qualsiasi semplice descrizione, basta a richiamare il processo già compiutosi nella mente di ciascuno, e a risvegliare quindi la chiara idea dell’ente (punto, linea, superficie....) che si vuol definire.

Ma generalmente vi è, sotto tale riguardo, un’incertezza, la quale si riflette sul significato delle parole, connotanti oggetti generali od astratti. La descrizione non ci dà allora più un’esatta determinazione, ma chiarisce il senso reale dei concetti, soltanto in un modo incompleto e non rigoroso.

§ 7. Definizione implicita.

La difficoltà che qui si presenta è eccezionalmente grave, poichè ogni indeterminazione nel significato iniziale dei concetti primi, si riflette in una indeterminazione della teoria deduttiva che li concerne; e tanto più cresce il danno quanto più la teoria venga proseguita, lontano dal punto di partenza.

Una deduzione movente da dati non rigorosamente stabiliti, nella migliore ipotesi può acquistare soltanto un valore subiettivo; e ciò dovrebbe stare sempre davanti agli occhi dei filosofi.... Nella Scienza, abbia pure carattere ipotetico ed analitico, questa mancanza di determinazione dei dati fondamentali non può essere tollerata, o almeno non può esserlo al di là di un certo segno, che dà la misura del rigore pratico, da fissarsi, con cauto giudizio, in relazione agli errori dell’osservazione e dell’esperienza.

Ma, logicamente parlando, una teoria deduttiva non potrà dirsi soddisfacente, se ogni indeterminazione dei dati non sia rigorosamente eliminata.

Questa perfezione è, almeno teoricamente, raggiungibile sotto l’aspetto formale, ove, lasciando non definiti esplicitamente i primi concetti, se ne porga una definizione logica implicita, mediante un sistema di postulati. Ed è appunto questa la via che i geometri hanno percorso, onde dare alla Geometria un assetto logico.

Pertanto, l’enunciazione di una teoria deduttiva, comprenderà dei simboli A, B, C.... rappresentanti i concetti fondamentali non definiti, ed un certo numero di rapporti logici fra questi, assunti come postulati o proposizioni primitive, da cui tutte le altre proposizioni verranno dedotte come teoremi. I postulati si riguarderanno costituire nel loro insieme la definizione implicita dei concetti dati, per quanto occorre alla teoria fondata su di essi.

Quando si dice che «i postulati designano rapporti logici dei concetti fondamentali A, B, C....» s’intende che essi rivestono una forma generale o astratta, per modo da riuscire intelligibili allorchè si prescinda da ogni visione immaginativa di questi, ritenendo soltanto che A, B, C.... sono ottenuti, p. es., dalla riunione di certi elementi (non definiti), ecc.

Non tutti i rapporti intuibili fra A, B, C.... possono ridursi a codesta forma logica, quando non si ammetta di aggiungere ai dati nuovi concetti non definiti.

L’analisi del processo del pensiero ci condurrà più tardi a spiegare psicologicamente i rapporti logici come espressioni di supposte associazioni e dissociazioni di oggetti. Diamo intanto alcuni esempii atti a chiarire le distinzioni precedenti.

I postulati:

1) due punti appartengono ad una retta e ad una sola,

2) una retta ed un punto fuori di essa appartengono ad un piano ben determinato,

3) un piano contiene la retta cui appartengono due qualunque dei suoi punti,

esprimono rapporti logici fra i punti, e le rette e i piani concepiti come «classi di punti».

Invece le proposizioni dove si parla di movimento delle figure (costituite da punti, rette e piani) o della loro congruenza (uguaglianza), non esprimono rapporti logici fra i nominati concetti, perchè la loro intelligibilità è subordinata all’intuizione delle figure stesse; dalla quale si può fare astrazione soltanto dopochè si sia aggiunto agli oggetti non definiti un nuovo concetto che risulta dall’analisi delle esperienze immaginative sul movimento, sia, per es., quello di un certo gruppo di corrispondenze fra punti, ecc.⁴.

Importa comprendere chiaramente quale sia il valore conoscitivo della definizione implicita. Quando, p. es., in una trattazione geometrica, si definiscono, mediante postulati, il punto, la retta, ecc., si ha quel che occorre per decidere se certi rapporti logici di quei concetti sussistano oppur no; ma, se l’oggetto designato col nome «punto» sia qualcosa che si avvicina al corpuscolo fisico, o piuttosto un altro oggetto qualsiasi (p. es., un cerchio pensato come elemento del sistema dei cerchi di un piano), ecco una questione che i postulati non ci abilitano in alcun modo a risolvere, poichè oggetti diversi, in quanto formino una classe dotata di certe proprietà astratte, possono cadere ugualmente sotto la medesima trattazione geometrica.

In altre parole la definizione implicita non funge in una teoria come definizione reale che determini i concetti fondamentali o i simboli primitivi, ma come un surrogato di questa relativamente al giudizio formale che concerne le deduzioni della teoria stessa; insomma essa lascia possibili infinite determinazioni diverse pel significato reale di codesti simboli, vincolati, come si è detto, a verificare formalmente le proporzioni fondamentali postulate.

Pertanto, negli sviluppi effettivi della Scienza, occorre completare sotto l’aspetto reale la definizione implicita con una interpretazione concreta, fissando, mediante opportune osservazioni ed esperienze, il significato dei termini non definiti, coi quali si vogliono rappresentare oggetti concreti o rapporti fra oggetti, e fissare quindi quali fatti (o supposizioni di fatto) s’intendano espressi dai postulati, per modo che il contenuto reale dei rimanenti concetti non definiti risulti così determinato dalle relazioni poste.

Avvertiamo che l’essere incompleta sotto l’aspetto reale, non costituisce un difetto della definizione logica implicita, dato l’ufficio scientifico della teoria deduttiva, di cui essa è il fondamento. Si tratta invero di sottomettere un certo sistema di ipotesi ad un giudizio sperimentale, per mezzo di una razionale trasformazione di esse, e perciò importa che queste ipotesi vengano prese nel loro insieme isolatamente da ogni altra ipotesi che i fatti potrebbero suggerire; evidentemente un tale scopo si raggiunge nel modo più rigoroso, se si usa di un processo di trasformazione che pone momentaneamente in oblio i fatti medesimi.

§ 8. Esempii: concetti fisicamente dati.

A dilucidare le cose dette innanzi, vogliamo accennare su qualche esempio il procedimento critico che deve porsi in opera per ottenere la definizione implicita di un concetto o di un sistema di concetti.

Anzitutto occorre distinguere due modi diversi secondo cui il concetto si presume dato:

1) o si tratta di concetti che si vogliono determinati in guisa da rappresentare una certa realtà fisica;

2) o si tratta di concetti, comunque acquisiti, che si considerano nella loro realtà psicologica, indipendentemente dalla rispondenza o meno di essi a qualche oggetto esteriore che da essi si ritenga rappresentato.

Si presenta il primo caso nelle teorie fisico-matematiche, i cui concetti risultano implicitamente definiti quando si siano determinate delle equazioni fra quantità, fornite da opportuni processi di misura; le quantità suddette sono qui gli oggetti non definiti, e le equazioni sono i postulati che ne esprimono i rapporti logici; la misura è il mezzo di interpretazione concreta, che serve ad attribuire alla teoria deduttiva il suo proprio significato fisico.

Ora lo sviluppo di questa teoria al cimento dell’esperienza, viene a modificare le equazioni suddette e quindi a correggere progressivamente la definizione implicita, la quale perciò esprime, in ogni momento del progresso della teoria, la più alta sintesi degli acquisti ottenuti.

Lo sviluppo di una teoria, il confronto delle misure che forniscono le quantità fondamentali, riescono talvolta a modificare indirettamente le equazioni, modificando l’interpretazione concreta delle quantità legate da esse.

Un esempio semplice di questa circostanza, vien porto dalla evoluzione del concetto di temperatura, che può schematicamente disegnarsi come una successione di tre definizioni, relative a conoscenze sperimentali di precisione crescente:

1) Riconoscimento che le sensazioni di calore sono connesse alle dilatazioni dei corpi, e conseguente definizione dell’aumento di temperatura come proporzionale a quello di volume.

2) Riconoscimento che le dilatazioni dei corpi fra temperature uguali non sono sempre proporzionali, quindi relatività della misura della temperatura al termometro; delimitazione dei termometri a gas, sensibilmente accordantisi per definire «la temperatura».

3) Riconoscimento del disaccordo dei termometri a gas, in un ordine di valutazione più precisa, e costruzione di un criterio ideale di misura che risponda all’insieme dei termometri, cioè temperatura assoluta (cfr. cap. VI).

§ 9. Concetti psicologicamente dati.

L’analisi di un concetto, che vale a porgerne una definizione implicita, si presenta sotto una luce diversa, quando si tratta di determinare o di ricostruire concetti, generati in qualunque modo nello sviluppo del pensiero, i quali vengono riguardati appunto come oggetti di questo. Siamo allora nel campo della critica psicologica e storica.

Entra, almeno per una parte, in codesto genere di critica, l’analisi volta a determinare il contenuto di un concetto giuridico, in un sistema di diritto positivo.

Se, p. es., si ponga il problema di spiegare, in questo senso, il concetto della proprietà, secondo il nostro diritto vigente, si potrà assegnare alla critica due scopi diversi:

1) o domandare la semplice interpretazione della volontà espressa dal legislatore,

2) o chiedere quale concetto dell’istituto giuridico risulti dal complesso di tutte le condizioni di fatto, che contengono implicitamente un diritto.

Nel primo caso si tratta proprio di definire un concetto psicologicamente dato; nel secondo il problema partecipa dei due aspetti dell’indagine psicologica e della critica realistica, in quanto certi rapporti sociali di fatto, vengono messi a confronto colla rappresentazione, che ce ne vien porta dalla legge e dalla giurisprudenza.

Se ci arrestiamo un momento a meditare intorno al problema sovraccennato, sia pur preso nel suo senso più ristretto, subito appare la difficoltà propria di un tale ordine di questioni.

Anzitutto è chiaro che l’art. 436 del Codice civile⁵, non può considerarsi in alcun modo come una definizione della proprietà, sia perchè ne riduce il concetto a quello generale di «diritto», sia perchè, mirando ad una condizione di proprietà perfetta (non modificata), riesce insufficiente a stabilire i limiti e le menomazioni, che il diritto subisce nei varii casi.

D’altronde per quanto già abbiamo avvertito, una vera definizione logica della proprietà non può neppure essere richiesta, dovendo essa necessariamente fondarsi sopra concetti equivalenti a quello che si vuole spiegare; piuttosto è da domandarsi di determinare, con opportuni enunciati, «i modi volontarii di agire sulla cosa, che la legge garantisce al proprietario».

I quali appunto dovrebbero essere determinati, tenendo conto:

1) della natura fisica della cosa, cui la proprietà si riferisce, (cose mobili ed immobili, cose immateriali come crediti, diritti di autore, brevetti, ecc.);

2) delle condizioni giuridiche della cosa stessa, cioè dei diritti reali che vi sono connessi;

3) del rapporto tra il proprietario e la cosa (se questi ne abbia il possesso, ecc.).

§ 10. Il processo logico: posizione di problemi.

Negli sviluppi precedenti, dopo avere caratterizzato la Logica formale, in un senso psicologico, ne abbiamo desunto la possibilità dallo sviluppo delle Matematiche. Ancora da questo siamo stati indotti ad istituire una critica della definizione, ed in ispecie a riconoscere come logicamente primitiva la definizione implicita dei concetti; talune questioni relative al modo di stabilirla, ci hanno fermato nei due ultimi paragrafi, il cui contenuto esce dal campo della Logica pura.

Comunque la critica scientifica sia pervenuta a definire implicitamente i concetti di una teoria deduttiva, lo sviluppo logico di questa ritiene soltanto che si suppongono dati:

1) degli oggetti,

2) dei rapporti logici fra di essi,

subordinatamente a talune condizioni, che dovremo poi sottoporre ad esame.

E lo sviluppo consta di:

1) definizioni (nominali) costruttrici di nuovi oggetti,

2) deduzioni (nel senso largo della parola) che aggiungono ai primitivi nuovi rapporti logici, fra gli oggetti dati e costruiti.

Tutti ammettono l’importanza della deduzione; ma non ugualmente viene riconosciuto l’ufficio della definizione logica (esplicita); la stessa designazione di «nominale», fa pensare alla semplice introduzione di un nome, e quindi ad una economia di parole pei trattatisti. Giova pertanto rilevare che il nome o la locuzione abbreviata, suggellano un processo costruttivo compiuto dal pensiero, nel quale consiste il valore proprio della definizione.

Così, p. es., in un trattato di Geometria, le parole «poligono», «poliedro», «cerchio», «sfera», potrebbero essere rimpiazzate da una locuzione più lunga, ove si parli soltanto degli elementi primitivi, punto, segmento, piano, distanza, che entrano nella definizione delle nominate figure; ma si dovrebbero ancora tener fissi taluni gruppi di parole o di segni, corrispondenti a certi modi di associazione degli elementi; e l’espresso proposito di considerare questi gruppi, formati nello sviluppo della scienza, equivale alla definizione di cui si tratta.

Simili esempii possono trarsi dalla Fisica, dove taluni concetti, come quello di «funzione potenziale» per quanto nominalmente definibili per mezzo di altri dati, segnano un acquisto della più alta importanza.

Le definizioni e deduzioni, che costituiscono lo sviluppo di ogni teoria, sono da riguardare, secondo il nostro punto di vista, come operazioni psicologiche; l’insieme di queste verrà designato col nome di «processo logico».

Sorge quindi il problema di spiegare psicologicamente il processo logico.

A tal fine esamineremo anzitutto le operazioni logiche fondamentali, che corrispondono alle definizioni, arrestandoci un momento a mostrare come esse permettano di generare dei concetti puramente logici, e come la loro classificazione si rispecchi in un’analisi dei tipi elementari della definizione. Dalle operazioni suddette, vedremo poi venir costruiti non soltanto dei concetti, ma certi rapporti logici fra questi, e saremo condotti così alla domanda se quelli che consideriamo come rapporti logici dati (p. es., i postulati di una teoria) possano ritenersi costruiti da un analogo processo operativo: la qual domanda ammetterà una risposta affermativa, purchè si allarghi convenientemente il significato di codesto processo, in relazione alla supposizione di oggetti del pensiero.

Finalmente esamineremo le condizioni di possibilità del processo anzidetto, trattando dei principii logici, sia per rispetto agli oggetti presi come elementi o individui del pensiero, sia per rispetto ai concetti, e discuteremo le questioni di compatibilità dei postulati, che vi si riattaccano.

§ 11. Operazioni logiche.

Supponiamo dati degli oggetti del pensiero, che riteniamo come elementi o individui, capaci di entrare in certe associazioni, soddisfacendo tuttavia a certe condizioni d’invarianza, che vedremo poi espresse dai principii logici.

Le associazioni e dissociazioni psicologiche, che cadono nel dominio della coscienza chiara e della volontà, costituiscono le operazioni logiche fondamentali, e permettono di generare nuovi oggetti del pensiero, a partire dai dati.

Si possono associare più oggetti pensandoli come rappresentazioni successive o simultanee, e si riesce così ad

ordinarli in una serie (gruppo ordinato),

oppure a

riunirli (o congiungerli) in una classe (gruppo, insieme, ecc.).

Sotto certe condizioni si possono ordinare più serie in una serie composta (serie di serie).

E si possono sempre congiungere più classi qualunque in una classe composta (classe di classi).

Dall’ordinare due classi o dal congiungere due serie, sotto certe condizioni, si riesce a riferire gli elementi di una classe a quelli di un’altra, secondo una corrispondenza, ecc.

Oltre all’inversione dell’ordine di una serie o di una corrispondenza, si possono considerare, come contrapposti ai precedenti, dei processi propriamente dissociativi, o di disgiunzione, i quali conducono ad

interferire le classi componenti in una classe composta, cioè a determinare, ove esista, l’insieme dei loro elementi comuni (interferenza),

oppure ad

astrarre dalla distinzione degli elementi di una classe, cioè a costruire un oggetto, «il concetto astratto dell’elemento della classe», il quale può essere rappresentato da un qualsiasi elemento di questa, che venga pensato come sostituibile (uguale) a ciascuno degli altri.

§ 12. Concetti puramente logici.

Le operazioni logiche hanno per effetto di costruire nuovi oggetti del pensiero, a partire dai dati.

Richiamiamo alla mente tutte le riunioni compiute, e associamo le classi così ottenute: con un’astrazione successiva ci solleviamo al concetto generale di classe o insieme.

In un modo simile si possono generare i concetti astratti di serie, corrispondenza, interferenza di classi, ecc.; i quali venendo costruiti col puro esercizio dell’attività logica, quando ci si riferisca agli oggetti effettivamente pensati, possono ricevere il nome di concetti puramente logici.

Si noti espressamente che le operazioni costruttrici di codesti concetti non involgono nessun procedimento trascendente, ove ci si riferisca agli oggetti effettivamente pensati (il cui numero è finito). Soltanto in rapporto alla supposizione, si avrà luogo di estendere più tardi il significato dei concetti suddetti.

§ 13. Tipi elementari della definizione.

Fermiamoci un momento a vedere come la classificazione delle operazioni logiche si rispecchi in una distinzione dei tipi elementari della definizione, subordinati ai concetti puramente logici.

Prenderemo a considerare, in modo speciale, tre tipi fondamentali: le definizioni per riunione, per interferenza e per astrazione.

La definizione del primo tipo è quella in cui s’introduce un oggetto come l’insieme di più elementi dati, o come la serie costituita da più oggetti ordinati.

Esempii: il contorno di un poligono è «l’insieme dei suoi lati»; una folla è «l’insieme degli uomini, che si trovano riuniti in un certo luogo», ecc. Una fila di alberi, una successione di avvenimenti sono serie composte di elementi, presi in un certo ordine.

La definizione per interferenza è in sostanza quella scolastica, della quale si dice «definito fit per genus proximum et differentiam specificam». Essa consiste nel determinare una classe di oggetti come comune a due (o più) classi date.

Togliamo ad esempio dal Fiorentino la definizione dell’eredità, che Cicerone dà nella Topica: l’eredità è un patrimonio ottenuto per la morte di alcuno, in virtù di un diritto.

Qui si considerano come date due classi di patrimonii, quelli avuti per diritto in qualsiasi modo, e quelli comunque ottenuti per la morte di alcuno; le eredità sono gli individui logici comuni alle due classi.

Altri esempii:

in Zoologia, le definizioni delle varie specie animali consistono nel determinare ciascuna di esse come interferenza di classi più ampie (esistenti o pensabili), dotate di certi caratteri:

in Geometria, la superficie d’un triangolo si definisce come l’interferenza dei semipiani limitati dai lati e contenenti i vertici opposti, ecc.

Più importante e meno nota è la definizione per astrazione, il cui ufficio fu messo in luce da Grassmann, Helmholtz, Mach, Maxwell, e, presso di noi, dal Peano e dal Vailati. Eccone il fondamento:

Essendo data una classe di oggetti, i quali (sotto il particolare aspetto per cui trovansi associati) si assumano come uguali, resta senz’altro definito il concetto astratto dell’individuo della classe.

Questo è in sostanza il processo implicito, secondo cui vengono definiti nel linguaggio tutti i termini astratti.

La definizione che Euclide dà del rapporto di due grandezze, è il più antico esempio a noi noto di una definizione di questo tipo. Essa consiste appunto nel dichiarare quand’è che due coppie di grandezze debbonsi riguardare aventi rapporti uguali, cioè come proporzionali. Dunque si può dire: «Il rapporto di due grandezze (omogenee) è il concetto astratto della loro coppia, in quanto si consideri uguale ad ogni altra coppia di grandezze proporzionali ».

Data una classe di rette parallele, riguardando queste come uguali, cioè sostituibili (rispetto alla direzione), resta definito il concetto astratto della loro direzione. Così si può dire: direzione è il concetto astratto della retta in quanto si pensi come sostituibile da una sua parallela.

Nella economia, il concetto del valore si introduce con un processo analogo. Data una classe di merci permutabili, in un certo mercato, le quali vengono riguardate come uguali, resta definito per astrazione il loro valore; dunque il valore di una merce (in un mercato) è il concetto astratto di essa, in quanto si pensi come uguale a tutte le merci che con essa vengono scambiate.

Conviene aggiungere che la definizione per astrazione suppone dei fatti, come è facile riconoscere nell’ultimo esempio; invero se il valore d’una merce deve essere determinato bisogna riferirsi ad un mercato dove, entro un certo intervallo di tempo, le merci conservino tra loro rapporti di scambio invariabili.

Terminiamo queste considerazioni avvertendo la differenza che passa fra definizioni esprimenti operazioni sempre possibili, come la riunione e l’astrazione, e definizioni (come quella per interferenza) la cui possibilità è subordinata alla condizione che le classi interferite abbiano degli elementi comuni.

§ 14. Rapporti logici costruiti e assiomi.

Allorchè più oggetti dati vengono, in varii modi, riuniti in classi, o ordinati in serie, ecc., noi pensiamo fra gli oggetti stessi, le classi o le serie costruite, certi rapporti logici, che esprimono le operazioni compiute. P. es., se si hanno tre oggetti a, b, c e costruiamo la classe

D = (a b c),

diciamo che

a appartiene a D

o che

a è in D ecc.

ed il rapporto così espresso significa che D è una classe formata riunendo a con altri elementi.

Parimente fra le classi

$\mathrm {A} \equiv (bcd)$     $\mathrm {B} \equiv (acd)$,

concepiamo un rapporto espresso dicendo che: le classi A e B hanno qualche elemento comune.

In un modo generale possiamo dire: Le operazioni logiche compiute trovano la loro espressione attuale in certi rapporti che concepiamo fra gli oggetti dati e costruiti.

Allorchè si ripensano insieme gli elementi e le classi (serie, ecc.) composte con essi, i loro rapporti logici si ripresentano sempre colle medesime caratteristiche d’invarianza, che già notammo appartenere agli oggetti del pensiero. A questo titolo i suddetti rapporti possono venire combinati mediante le operazioni fondamentali; in ispecie la riunione di più rapporti in un sistema, e l’interferenza di più sistemi di rapporti, vengono alla lor volta concepiti come nuovi rapporti fra gli oggetti dati e costruiti.

Ora vi è luogo a definire l’equivalenza (uguaglianza) di due rapporti o sistemi di rapporti; sono equivalenti due sistemi che esprimono le medesime condizioni del processo operativo; così, p. es., i due sistemi

a appartiene a D,      b appartiene a D

e

la classe (ab) appartiene a D,

i quali dicono ugualmente che la classe D è stata composta riunendo a, b ad altri (eventuali) oggetti.

Operare sui sistemi di rapporti logici, riunendoli, interferendoli e sostituendoli con sistemi equivalenti, significa dedurre.

Il giudizio sulla equivalenza dei rapporti logici, e quindi le regole della deduzione, riposano sopra il riconoscimento di certe leggi delle operazioni fondamentali, le quali si traducono in certi rapporti dei concetti puramente logici (§ 12), cui si dà il nome di assiomi.

Esempi:

1) La proprietà associativa delle classi esprime la legge fondamentale della riunione: una classe composta si ottiene medesimamente riunendo insieme i componenti.

2) La proprietà transitiva dell’eguaglianza (secondo la denominazione dei logici matematici) esprime la legge fondamentale dell’astrarre cioè la «sostituibilità di un elemento ad un altro di una classe, rispetto al concetto astratto di questa».

Importa avvertire che questo assioma, enunciato generalmente dicendo «due cose uguali ad una terza sono uguali fra loro», non è da confondere col principio d’identità (§ 17).

3) La proprietà commutativa del riunire, esprime una legge fondamentale di confronto fra la riunione, l’ordinamento e l’astrazione, cioè «se più oggetti vengono ordinati in serie, nei diversi modi possibili, il concetto astratto della classe composta con codeste serie è l’insieme degli oggetti dati», ecc.

§ 15. Proposizioni.

La forma più comune dei rapporti logici, che la Logica grammaticale considera come tipica, è la proposizione. Perciò vale la pena di fermarsi un momento a riconoscere il processo operativo che così viene espresso.

Con una proposizione singolare

«a è b»,

dove il soggetto a denota un individuo determinato, si può esprimere che b è il concetto astratto di una classe ottenuta riunendo a con altri individui. Ad es., «Dante è poeta», significa che poeta è il nome astratto degli individui di una classe che contiene Dante.

In un modo analogo è chiaro come la riunione degli elementi di una classe (a) con altri elementi, in una più ampia classe (b), da cui nasce il concetto astratto b, possa significarsi colla proposizione universale

«ogni a è b».

Invece mercè la proposizione particolare

«qualche a è b»,

il cui soggetto non è determinato, si riesce ad esprimere che due classi (a) (b) hanno degli elementi comuni; p. es., la proposizione «qualche mammifero è bipede» significa l’interferirsi della classe dei mammiferi con quella dei bipedi.

§ 16. Rapporti logici dati.

Cerchiamo di riassumere i resultati della critica precedente.

Se si considerano degli oggetti del pensiero, p. es., a, b, c, d, e su questi si opera (riunendoli, ecc.), il processo operativo trova la sua espressione in un sistema di rapporti, intercedenti fra le classi, serie, ecc., diciamo in generale fra gli oggetti o i concetti, da esso costruiti; e codesti rapporti si traducono ordinariamente mediante proposizioni. Il sistema anzidetto, preso nella sua integrità, permette di riconoscere le operazioni compiute; ma se si prendono da esso soltanto alcuni rapporti, questi esprimono in parte le condizioni del processo operativo.

Ora, accanto ai rapporti logici costruiti, noi pensiamo dei rapporti logici dati (come ipotesi o come trasformazione di queste), i quali rivestono una forma affatto analoga, p. es., la forma di proposizioni. Sorge quindi la questione inversa di quella trattata innanzi, cioè, «se, in ogni caso, i rapporti logici dati fra oggetti del pensiero (sia, p. es., fra concetti), possano interpretarsi come condizioni di un processo associativo, col quale, partendo da elementi opportunamente determinati, si generino quegli oggetti».

Esaminando più da vicino la cosa, ci s’imbatte tosto in una difficoltà fondamentale: se, per ogni sistema di concetti, si cerca d’interpretare i rapporti logici come condizioni di un processo associativo a partire da elementi dati, accade talvolta che il numero di questi debba supporsi infinito.

Un semplice esempio vien porto dal considerare i primi postulati della «retta» e del «piano», coi quali s’intende di definire questi enti come «classi di punti», costruite in guisa da soddisfare a certe condizioni⁶.

Ora come possiamo ammettere infiniti oggetti dati al pensiero?

Finchè il senso che si accorda ad un oggetto dato, è quello di essere stato effettivamente pensato, è chiaro che un’infinità di oggetti non potrebbe ammettersi data, senza un processo mentale trascendente.

La cosa si presenta in un aspetto diverso quando, accanto agli oggetti pensati, si considerino gli oggetti pensabili, non più propriamente riconosciuti come dati, ma supposti.

Si abbia un certo sistema di concetti, tra cui intercedano alcuni rapporti logici; supponendo che i concetti stessi possano venir costruiti con operazioni logiche, a partire da certi elementi, essi si presentano come serie, classi, corrispondenze, ecc.

Se gli elementi dei nostri concetti sono stati una volta inizialmente pensati, i rapporti logici dei concetti medesimi, ci apprendono, come si è detto, a ricostruire in parte il processo con cui furono generati. Ma se si lascia cadere l’ipotesi di uno stato iniziale della mente in cui codesti elementi sieno stati pensati, il processo associativo supposto dai concetti ha ancora un significato: le serie o le classi (che ora possono contenere anche infiniti elementi) assumono il valore di modi di determinare a priori l’ordine o la riunione degli oggetti dei pensiero supposti, tostochè questi vengano effettivamente pensati. Così, p. es., il concetto di una linea (orientata) L come serie di punti, ci dà un modo di ordinare i punti che sieno pensati sopra di essa; onde se si considerano su L tre punti A, B, C, resta determinato un modo di ordinarli in serie, che ci fa scegliere una delle sei permutazioni possibili ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA, come quella in cui i tre elementi si succedono entro la supposta serie L.

§ 17. Condizioni di possibilità dei concetti: principii logici.

Ciò che abbiam detto intorno alla interpretazione dei rapporti logici dei concetti e alla supposizione di oggetti del pensiero mediante questi, vale sotto certe condizioni di possibilità dei concetti, implicitamente ammesse nelle considerazioni precedenti.

Importa di chiarire, sotto tale riguardo, il significato della supposizione psicologica. Ed a tal fine cominciamo dal richiamare l’osservazione che gli oggetti presi come elementi del processo logico, sono degli invarianti rispetto al movimento del pensiero, ed in ispecie rispetto alle operazioni associative e dissociative.

Le condizioni d’invarianza vengono espresse dai principii logici, relativi alle tre intuizioni fondamentali di prima e poi (ordine temporale), identico, distinto, che si ritrovano in fondo ad ogni pensiero.

Si hanno, come è noto, i tre principii seguenti:

1) il principio d’identità,

2) il principio di contraddizione,

3) il principio del terzo escluso.

Il primo principio dice che l’oggetto può essere riconosciuto come qualcosa d’identico, attraverso rappresentazioni successive. Il secondo principio esclude che due oggetti, distinti in una data rappresentazione, sieno pensati come identici in una successiva. E finalmente il terzo principio afferma che fra due oggetti, contemporaneamente pensati, ha luogo sempre il giudizio d’identità o di distinzione.

Nel loro insieme i principii conferiscono agli oggetti del pensiero una realtà psicologica, indipendente dal tempo, e sono quindi il presupposto di una Logica simbolica, la quale miri a rappresentare, come insieme di rapporti attuali, il processo genetico delle operazioni logiche.

Perciò manca la possibilità di rappresentare simbolicamente codesti principii, i quali non esprimono proposizioni fondamentali, di cui il ragionatore tenga conto aggiungendole ai postulati delle singole teorie, ma, come si è detto, i requisiti degli oggetti elaborati nel processo logico. La scrittura a = a non designa in alcun modo il principio d’identità, bensì un giudizio tautologico insignificante!

Le condizioni d’invarianza, espresse dai principii logici, vengono volontariamente fissate per ogni oggetto, che sia pensato come tale; «pensare un oggetto» significa appunto determinarlo e distinguerlo come riconoscibile, cioè inibire il corso delle associazioni inconscie, che tenderebbero a modificare la rappresentazione.

Il fatto che gli oggetti una volta identificati dal pensiero, si mantengono invarianti rispetto alle operazioni logiche, è implicato dalle leggi di queste, espresse negli assiomi. I rapporti logici costruiti significano, in ultima analisi, che: determinate operazioni conducono a riconoscere certe identità o certe distinzioni.

Si può esprimere il fatto sopra indicato dicendo che «i rapporti logici costruiti a partire da oggetti pensati sono a priori compatibili», o che «le operazioni costruttrici sono possibili, senza mai condurre ad una contraddizione».

Ora, se si tratta di oggetti, non effettivamente pensati, ma supposti come elementi di un concetto, la volontà che pone questo come dato, subordina e limita, in diversi modi, le determinazioni ulteriori che vengono a identificare e distinguere quegli oggetti, non ancora apparsi sulla scena del pensiero. E la compatibilità delle limitazioni, espresse dai rapporti logici definienti il concetto, ossia la compatibilità di questi rapporti, costituisce una condizione per la possibilità del processo generativo dei rapporti medesimi.

Il significato della supposizione è dunque questo, che «lo sviluppo deduttivo dei rapporti dati non conduca mai ad una contraddizione», la quale mostrerebbe la non invarianza di qualche oggetto supposto, relativamente al processo associativo postulato, e quindi l’impossibilità di pensare quello come elemento di questo.

Pertanto:

I principii logici esprimono, non solamente i requisiti primitivi d’invarianza degli oggetti pensati, il rispetto alle operazioni associative, ma anche le condizioni di possibilità dei concetti, cioè la possibilità di rappresentarsi i rapporti logici dati fra questi, come costruiti a partire da elementi supposti.

§ 18. Compatibilità dei postulati di una teoria.

In qual modo si potrà accertarsi che dati rapporti logici, definienti un concetto o un sistema di concetti, sono compatibili?

Questo è il problema che si affaccia all’inizio di ogni teoria deduttiva, fondata sopra un sistema di postulati. E la difficoltà è propria essenzialmente del caso in cui non si possa rappresentarsi i concetti come generati mediante un numero finito di elementi.

Si può cercare un fondamento al giudizio richiesto:

1) nell’esperienza

a) fisica

b) o psicologica;

2) nella intuizione o visione immaginativa dei concetti;

3) in una dimostrazione logica.

Esaminiamo il significato e il valore di questi tre ordini di prove.

1) a) Benchè un concetto possibile non debba necessariamente rappresentare qualcosa di reale, si ammette all’opposto che «il concetto di ciò che è reale sia possibile»; si dice appunto in questo senso che «il reale non può essere contraddittorio». In base al principio suddetto si cerca di giustificare la compatibilità di un sistema di rapporti (ipotetici) mostrando coll’esperienza che questi corrispondono ad una realtà, per una qualche interpretazione convenzionale arbitraria data ai concetti.

Il valore della prova risiederebbe in questo, che gli invarianti reali (cap. II) possono venire rappresentati come oggetti del pensiero.

Ma vi sono da fare alcune riflessioni.

Anzitutto l’invarianza delle cose reali è soltanto approssimativa, e quindi non bene determinata la costruzione degli oggetti del pensiero corrispondenti, sicchè bisognerebbe almeno distinguere fra esperienze qualitative e quantitative (cfr. la seconda parte di questo capitolo).

Inoltre le esperienze effettivamente praticabili, in numero finito, non valgono da sole come prova di realtà; occorre, come vedremo, una interpretazione di esse, e questa è subordinata ad una rappresentazione mediante concetti. Sotto questo riguardo, il cercare una prova sperimentale (fisica) della compatibilità logica di un sistema d’ipotesi può apparire un circolo vizioso, poichè la compatibilità è generalmente una condizione premessa alla verifica; tuttavia resta sempre che il mancare a codesta condizione impedirà il successo delle verifiche sufficientemente proseguite. Inoltre il tentativo di una dimostrazione fisica della compatibilità di certi rapporti, conduce ad uno sviluppo deduttivo di questi, e quindi ad esperire la prova 1) b).

1) b) Appunto questa prova consiste nel riconoscere che uno sviluppo deduttivo sufficientemente proseguito, in sensi diversi, non ha condotto a contraddizioni.

Nonostante gli errori a cui l’applicazione del criterio va soggetta, questo ha un valore altamente probabile quando sia adoperato con una larga critica comparativa, tenendo conto degli insegnamenti che emergono dalla storia della Scienza.

2) L’appello alla visione immaginativa, se pure urti in difficoltà d’interpretazione che inducono in errore spiriti poco critici, garantisce la possibilità dei concetti, in quanto implica tutto un processo formativo di associazioni ed astrazioni, che tendono ad eliminare la contraddizione dalle ipotesi elaborate. L’intuizione rappresenta in questo senso una larga esperienza psicologica.

3) La dimostrazione logica costituisce il solo mezzo di prova rigorosamente certa, ma ha un valore soltanto relativo. Si tratta di riconoscere che, essendo dati come possibili certi concetti, se ne possono logicamente costruire altri, onde dalla supposta compatibilità dei rapporti che definiscono i primi segua la compatibilità dei rapporti definienti i secondi.

Mettiamo a riscontro queste vedute collo sviluppo storico dei problemi che le hanno suggerite, e degli apprezzamenti che vi si riferiscono.

La questione della compatibilità di un sistema di postulati si è affacciata in Geometria, in seguito alla costruzione delle teorie non-euclidee (cfr. cap. IV). I fondatori di queste trassero prima di tutto la convinzione della compatibilità logica delle loro ipotesi, dalla circostanza di non incontrare contraddizioni in uno sviluppo relativamente avanzato.

Ma la questione fu definitivamente chiusa solo quando si pervenne a dimostrare che la compatibilità logica delle ipotesi non-euclidee è una conseguenza di quella delle proprietà fondamentali dei numeri interi, supposte dalle operazioni aritmetiche, o di quella dei postulati della Geometria euclidea.

Negli sviluppi critici più recenti intorno ai principi della Geometria, si è ricorso ugualmente ai punti di vista suddetti; sopratutto la scuola tedesca, da Riemann in poi, si è riattaccata all’Aritmetica, mentre la scuola geometrica italiana, dopo il «Saggio» di Beltrami ha trattato le questioni di compatibilità dei postulati ricorrendo a varie interpretazioni concrete, ed in ispecie a quelle che vengono suggerite dalla intuizione dell’ordinario spazio di Euclide.

È chiaro che l’esperienza psicologica (consciamente eseguita o contenuta nella visione immaginativa dei concetti) garantisce ugualmente che l’Aritmetica e la Geometria euclidea sono esenti da contraddizioni; inoltre la possibilità logica dell’una si riduce a quella dell’altra mediante l’introduzione delle coordinate; sicchè sotto questo aspetto le prove fornite appariscono equivalenti. Invece sotto l’aspetto fisico le esperienze che verificano i rapporti contenuti nell’Aritmetica hanno su quelle geometriche il vantaggio di essere qualitative, cioè di riferirsi a rapporti che possono variare soltanto in modo discreto.

Ma vi è un altro punto di vista, da cui la supposizione della compatibilità dell’Aritmetica appare come il postulato più ristretto, fra quelli che possono assumersi per stabilire la possibilità dei concetti.

§ 19. Fondamenti dell’Aritmetica.

Ci proponiamo appunto, di discutere qui brevemente, le questioni che riguardano i fondamenti dell’Aritmetica e la possibilità della supposizione che questa richiede. Terremo presenti all’uopo le critiche di Dedekind, Peano, ecc., ed in ispecie quelle del Peano, che ci sembrano le più perfette sotto l’aspetto logico ed algoritmico, ma che fanno volutamente astrazione dai problemi di ordine psicologico o filosofico.

La numerazione si può basare sopra un presupposto fisico. Si prendano come date più serie di oggetti

a, b, c ....

m, n, p ....

........

delle quali si denotino i termini generali risp. con A, M,...

Suppongasi per ciascuna serie che:

1) ogni oggetto abbia un successivo determinato;

2) ogni oggetto, all’infuori di uno (il primo), che non succede ad altri, abbia un determinato precedente;

3) valga la proprietà seguente (principio d’induzione matematica)⁷: se una classe di oggetti è tale che insieme ad ogni A contenga il suo successivo, e se contiene a, essa conterrà tutti gli elementi della serie a, b, c,... (analogamente per le altre serie).

Possiamo formare le serie seguenti:

(a)	(ab)	(abc)	....
(m)	(mn)	(mnp)	....
....	....	....	....

Riunendo in una classe (composta) gli oggetti (classi) che si trovano in una medesima colonna del quadro precedente, definiamo, per astrazione, successivamente i numeri

1, 2, 3,....

Lo sviluppo delle operazioni aritmetiche si lascia quindi fondare sopra gli assiomi logici e sui postulati 1) 2) 3).

L’ufficio di questi postulati e segnatamente del terzo, che per la prima volta Peano ha considerato come una condizione definitrice del sistema dei numeri, consiste nel ritenere a priori possibili senza contraddizione, le deduzioni ottenute a partire dagli infiniti elementi e rapporti che vengono supposti nel concetto generale di numero (intero).

Ora è specialmente importante per lo scopo nostro avvertire, che una serie come la a, b, c, ...., può essere supposta all’infuori dell’esperienza fisica per mezzo di certe determinazioni generali che involgono una successione di atti del pensiero illimitatamente proseguibile. P. es., si suppongano dati due oggetti a, α, e si costruisca il nuovo oggetto

$b\equiv (a\alpha ),$

ottenuto dalla loro riunione; si costruiscano analogamente

$c\equiv (b\alpha )$, $d\equiv (c\alpha )$....

La serie

a, b, c...

così psicologicamente definita, soddisfa alle condizioni 1), 2), 3).

Anche in base alla proprietà riflessiva del pensiero si riesce a costruire una serie analoga:

a, b $\equiv$ pensiero di a, c $\equiv$ pensiero di b, ecc.

Notisi che la prima di queste costruzioni convenzionali conduce ad un sistema diadico di numerazione, dove tuttavia la scrittura ordinata delle cifre esige un presupposto fisico (geometrico).

Dalle cose dette si desume che la supposizione fondamentale dell’Aritmetica può essere appoggiata, anzichè ad una realtà fisica, ad una realtà psicologica, cioè al fatto che si possono illimitatamente ripetere certi atti del pensiero subordinandoli a determinazioni generali, per modo da costruire delle serie che soddisfino alle condizioni 1), 2), 3).

Pertanto l’Aritmetica, richiedendo solo un postulato psicologico da aggiungersi alle leggi associative (assiomi) si può in un certo senso considerare come una parte della Logica pura, o come un prolungamento di questa, dove si completino gli assiomi col principio d’induzione matematica, inteso come una proprietà fondamentale delle serie psicologicamente costruite⁸.

B - L’applicazione della Logica.

§ 20. Problemi fondamentali.

Dopo avere esaminato i problemi che si riferiscono all’aspetto logico del procedimento conoscitivo, nella sua espressione subiettiva più perfetta, ci volgiamo a considerare il medesimo procedimento nei rapporti colla realtà. Dallo studio della Logica pura passiamo dunque alla sua applicazione.

Già accennammo all’ufficio che il ragionamento deduttivo ha nell’acquisto delle conoscenze, come istrumento di trasformazione delle ipotesi. Ora conviene esaminare più da vicino questa trasformazione e dilucidare due problemi, l’un l’altro subordinati, che concernono la valutazione delle teorie scientifiche.

1) Allorchè alcune ipotesi, poste in un ordine di fatti, vengono trasformate col ragionamento, si assume come evidente che la realtà o meno delle premesse porti quella delle conseguenze; allo stesso titolo si assume la supposizione inversa, se si tratti di deduzioni invertibili, cioè se le ipotesi date e le trasformate sieno logicamente equivalenti.

Una tale supposizione, ove si adotti senza restrizioni, attribuisce alla deduzione un valore reale, ed implica che il suo impiego sia incondizionatamente legittimo in ogni ramo della Scienza. Ma è il caso di investigare quanto questo giudizio sia giusto.

A tale scopo ci proponiamo il problema generale «come sia possibile che il processo logico porga una rappresentazione del reale», cioè sotto quali condizioni ed in qual modo avvenga che la trasformazione dei concetti (determinata secondo leggi subiettive) si rispecchi in una trasformazione dei rapporti reali, implicante un legame di coesistenza di questi.

2) Il secondo problema, subordinato al primo, concerne il modo di verificare un dato sistema di ipotesi, concatenate in una teoria; si tratta dunque di rispondere alla domanda «se, ed entro quali limiti, una data teoria deduttiva sia atta a rappresentare un certo ordine di rapporti reali».

§ 21. Rappresentazione logica e postulato della conoscenza.

Diciamo anzitutto del primo problema.

La possibilità di rappresentare logicamente la realtà deve essere intesa in questo senso, che: agli invarianti dell’esperienza, che costituiscono le cose reali (oggetti e rapporti), possonsi far corrispondere gl’invarianti (oggetti) del pensiero, per modo che alle coesistenze e successioni invariabili di quelle corrispondano classi e serie di questi.

Il postulato della conoscenza enunciato nel cap. II afferma già in via approssimata codesta generica possibilità; ma è chiaro che se si assume la rappresentazione logica del reale come illimitatamente proseguibile, si viene a prendere il postulato suddetto in un senso rigoroso, che oltrepassa quanto è richiesto come fondamento delle conoscenze necessarie alla vita.

Supponiamo, per un istante, che codesto senso rigoroso sia ricevibile, cioè che possa ammettersi una esperienza logicamente disposta, condotta ad un grado assoluto di perfezione, e domandiamoci quindi quali condizioni vengano in tal modo supposte. Siamo tratti allora, con Kant, a prendere le intuizioni fondamentali di sostanza e di causa come rapporti necessari ed universali, contenenti appunto le condizioni a priori per la possibilità dell’esperienza. Alle quali si collegano dei giudizii sintetici, parimenti a priori, cui verrebbe conferita realtà obiettiva dal fatto di codesta possibilità.

Ma le conclusioni di siffatta critica ci sembrano contestabili per i motivi seguenti: le rappresentazioni di sostanza e di causa, prese in un senso assoluto, non costituiscono condizioni a priori per la possibilità dell’esperienza, come essa è, nelle sue forme imperfette e non rigorose, bensì soltanto per un’esperienza tipica, dotata di un valore probativo rigoroso, la cui possibilità non sussiste.

La possibilità di una rappresentazione logica del reale, siccome essa si manifesta progressivamente nella Scienza, non implica una forma di conoscenza in alcuna sua parte compiuta, dimodochè le conoscenze a priori che a quella si volessero collegare non ne risulteranno provate. Il dilemma che Kant pone fra la loro accettazione e lo scetticismo è irricevibile, appunto perchè contrappone una Scienza assolutamente razionale ad una assoluta ignoranza, laddove i varii gradi del sapere non giungono mai ad un assetto rigoroso. Essere l’esperienza possibile in genere, subordinatamente a criteri logici, non significa nulla di preciso finchè non si determini quali modi d’esperienza sieno resi possibili dal verificarsi di certe condizioni o di certi fatti.

E questo giudizio è evidentemente a posteriori.

Il postulato della conoscenza, inteso nel suo vero senso positivo, implica soltanto una invarianza relativa e non rigorosa di certi oggetti dell’esperienza, denotati come cose reali; la rappresentazione logica della realtà suppone un grado d’invarianza (teoricamente rigoroso) che, in ogni singolo caso, dipende dall’estensione dello sviluppo deduttivo. Di qui un’antinomia che si risolve in un limite all’applicazione della Logica.

A rendere più precise le affermazioni precedenti, e ad approfondire la questione, conviene cominciare da una critica delle rappresentazioni di sostanza e di causa.

§ 22. Sostanza: materia ed energia.

L’idea che ci formiamo della sostanza o di un sostrato invariabile dei fenomeni, esprime la nostra credenza che «vi siano nella realtà certe coesistenze fenomeniche, per cui taluni caratteri sensibili si ritrovano in aggruppamenti uguali, a costituire degli oggetti», e quindi che «talune somiglianze di caratteri ne implichino altre». Appunto questa credenza trovasi a fondamento della rappresentazione delle cose reali a mezzo di concetti, costruiti per astrazione da classi di elementi.

Ora l’idea generale di sostanza si concreta nel riconoscimento di alcuni invarianti, che nell’ordine delle idee kantiane dovrebbero prendersi in un senso rigoroso a priori.

Questi invarianti sono, per la Fisica moderna, la materia e l’energia.

Anzi Kant stesso dà come esempio di giudizio sintetico a priori, il principio che «in ogni cambiamento del mondo corporeo la qualità di materia resta invariabile».

Che cosa significa questo principio?

Se si vuol riconoscere in esso una effettiva conoscenza sintetica, bisogna che la «quantità di materia» sia anzitutto positivamente definita. E dove ciò venga fatto, p. es. sulla base del «peso», l’invarianza della materia esprime soltanto il resultato delle esperienze di Lavoisier; se si adotta invece la definizione dinamica della quantità di materia (cfr. cap. V), il suddetto enunciato viene ad esprimere un rapporto più astratto, quale risulta dal confronto di esperienze estese, in ispecie di quelle chimiche sopra citate e delle esperienze sul pendolo di Bessel (proporzionalità della massa al peso in ogni luogo della superficie terrestre).

Ma tutte queste esperienze sono soltanto approssimative, ed il principio, nella sua forma esatta, vi aggiunge la supposizione di una verifica più precisa, tostochè sieno eliminate o corrette talune cause d’errore. Con qual diritto si pretenderà che codesta supposizione debba necessariamente verificarsi? Una siffatta pretesa è tanto lontana da apparire universalmente giustificata che alcune delicate esperienze eseguite recentemente da Landolt, e ripetute da Heydweiller, tendono anzi a mettere in dubbio l’invariabilità del peso nelle reazioni chimiche; in una soluzione di solfato nell’acqua si crede aver osservato una perdita sensibile, benchè inferiore a 0,000.001⁹.

Nulla osta che queste conclusioni divengano così luminosamente provate da imporsi come fatto accertato. Che cosa si dirà allora della invarianza della materia?

Si può salvare il principio (come accenna lord Raleigh) rigettando il dubbio sulle esperienze di Bessel; è un’ipotesi plausibile che tuttavia andrà soggetta pur essa al controllo dell’esperienza.

Ci sono anche altre risorse possibili. Si può, p. es., con Heydweiller, ricorrere all’ipotesi di una diversa radioattività della materia; la materia non sarebbe più rigorosamente invariante nelle reazioni chimiche, se non si aggiunge al resultato dei consueti processi di misura qualcos’altro, che si riferisce ai corpi partecipanti al fenomeno, ma si manifesta fuori ed anche lontano da questi. Ma con ciò in primo luogo si cambia il significato del principio di Lavoisier, in secondo luogo si viene anche a palesare l’impossibilità di assegnargli un significato rigoroso, poichè non si potrebbe limitare le radiazioni di un corpo ad una regione dello spazio accessibile all’esperienza.

Se si riconoscono ad ogni modo le ultime conclusioni come evidenti, il carattere a priori del principio della materia non può più essere sostenuto se non da chi scorga in esso una semplice condizione definitrice della quantità di materia; ed in questo senso il principio serberà ancora un valore sintetico a priori, ove venga preso come la supposizione che esista un oggetto, soddisfacente rigorosamente al requisito d’invarianza postulato.

Ma appunto codesta supposizione trascendentale si rivela priva di significato, per le ragioni tante volte ripetute; a che cosa si riduce dunque una condizione definitrice, cui non corrisponde alcun oggetto fisicamente possibile?

Di siffatto modo di considerare le cose resta questo, che: nel momento in cui l’esperienza sembri infirmare l’esattezza del principio, il resultato già acquisito come conoscenza parziale diventa il punto di partenza di nuove ipotesi correttrici, tendenti a cogliere una invariabilità più rigorosa. E codesto tentativo si effettua cercando di conservare formalmente l’espressione del rapporto, palesatosi inesatto, in accordo a quel principio di permanenza formale, dove Peano ravvisa una economia delle espressioni scientifiche.

Sotto questo aspetto soltanto ci sembra giusta la veduta di H. Poincarè che considera certi principii come pure convenzioni. Mentre il vero valore conoscitivo ed euristico dei principii stessi risiede per noi in quel variabile contenuto di supposizioni reali, che tendono a fissarne il significato fisico, determinandosi ad ogni momento della elaborazione scientifica.

Pertanto nella idea generale della sostanza incontriamo soltanto quella fiducia generica che ci spinge a complicare un rapporto poco variabile, con qualche elemento attinente alla variazione, ricercando qualcosa di più fisso.

La stessa conclusione emerge chiaramente dall’esame del principio della conservazione dell’energia.

Mayer ha scoperto che vi è un equivalente dinamico del calore, sicchè si è condotti a ritenere costante, per ogni sistema isolato, la somma dell’energia cinetica e di posizione colla quantità di calore.

Ma la legge così espressa non si verifica ove intervengano fenomeni di altra natura; elettrici, magnetici, fotici, ecc. Siamo quindi indotti a modificarla, ricercando in questi fenomeni un qualche elemento che, nelle trasformazioni termiche o dinamiche, abbia un rappresentante quantitativo invariabile. Il principio dell’energetica adempie così in una seconda fase del suo sviluppo un ufficio paragonabile a quello di una condizione definitrice. Ma esso acquista effettivamente un senso soltanto in una terza fase, quando sia fissato che cosa si deve intendere per energia elettrica, magnetica, fotica, chimica, ecc., e si riesca quindi ad esprimere un rapporto fisico più complesso ed integro.

Non si può pretendere che questo rapporto assuma mai un valore rigoroso. E basta notare come nell’energia totale di un sistema entri l’energia di posizione per vedere che non esistono sistemi perfettamente isolati. La ricerca di un tale sistema ci condurrebbe a considerare l’intiero universo nella sua infinità. Ma quale senso avrebbe mai l’affermare che l’energia dell’universo è costante, se essa è, come appare presumibile, infinita?

Ricapitolando, il significato e il valore di quei principii, che si riattaccano all’idea di qualcosa di sostanziale, sembra essere questo:

1) il riconoscimento relativo ed approssimato di un rapporto reale invariabile o, se si vuol essere esatti, poco variabile;

2) una fiducia generica che dietro il rapporto suddetto, e come integrazione di esso, possa scoprirsi qualcosa di più fisso;

3) la supposizione concreta che nei varii casi codesta correzione possa ottenersi tenendo conto di tali e tali altri dati sensibili, e verificarsi eliminando, per via di medie, ecc., certe cause d’errore.

Il primo aspetto risponde alla veduta dommatica della Scienza acquisita, nella quale si espone il resultato delle esperienze fatte; nel secondo e nel terzo aspetto c’è l’espressione di una volontà, che anticipa l’esperienza con una supposizione sempre più determinata e significativa rispetto a nuove esperienze possibili.

§ 23. Causa.

Anche dal rapporto di causa, positivamente inteso, esula ogni idea di rigorosa invariabilità.

Quando si dice che causa ed effetto sono fenomeni succedentisi invariabilmente, si sottintendono sempre certe condizioni. E se può essere opportuno di complicare la causa tenendo conto delle condizioni notevoli, in cui si riscontra il rapporto di successione, è chiaro che vi è in ciò una scelta relativa alla frequenza o all’interesse che certe condizioni presentano in confronto ad altre. Se si pretendesse di spingere la complicazione alle sue ultime conseguenze, il rapporto di causa perderebbe ogni significato, perchè nella sua forma assoluta ci direbbe che «ogni fenomeno è l’effetto dello stato precedente dell’universo» e quindi che «per assistere alla ripetizione esatta del fenomeno occorre riprodurre il suddetto stato»!

È assai difficile precisare i criterii di scelta, che tendono a determinare in ogni ordine di fatti il concetto della causa. Mentre, sotto l’aspetto logico astratto, si può ravvisare in codesta scelta una libera convenzione (conformemente alla veduta affacciatasi nella recente filosofia francese), quando si riguardi l’aspetto più essenziale della questione, si sarà tratti a distinguere:

1) Le implicite supposizioni, per le quali si assume che la variazione di certi elementi non importi una sensibile variazione del fenomeno di cui si discute; così, p. es., quando nello studio dei fenomeni fisici sulla terra si prendono come condizioni immanenti i rapporti astronomici del nostro globo (il che in taluni ordini di fatti può risultare smentito dal confronto delle esperienze ed esigere una conseguente correzione).

2) Le condizioni che volontariamente circoscrivono il fatto entro i limiti di certe variazioni interessanti, p. es. di quelle che cadono entro il dominio della volontà, ecc.

Nella Fisiologia, la vita e l’integrità degli organi costituisce l’insieme delle condizioni che prendiamo come fisse, quando studiamo il determinismo di certe funzioni; per modo che l’esperienza fisiologica urta in una grave difficoltà, ove tali condizioni vengano da essa modificate. Per questo motivo appunto le esperienze di estirpazione diretta dei lobi cerebrali riescono difficili ad interpretarsi, in rapporto al problema della localizzazione, dovendosi tener conto dello choc nervoso che sussegue all’atto operativo, e delle funzioni vicarie sopravvenienti.

Nelle scienze giuridiche, si tende a limitare il concetto della causa a ciò che si riattacca all’attività umana, appunto perchè su di essa interessa di agire.

La teoria della responsabilità che si può considerare come classica, fa direttamente appello al carattere volontario delle azioni, sia che tratti di dolo o di colpa (negligenza). Questa veduta sembra oggidì sorpassata nella dottrina. Quando, p. es., si collega una responsabilità ai danni cagionati dall’esercizio di una vasta attività economica, non si può propriamente parlare di colpa se non a titolo di finzione giuridica, onde sembra più adeguata la veduta che, tenendo conto dei resultati statistici, riguarda, in simili casi, un danno (non specificato) come conseguenza diretta dell’esercizio suddetto. Ad ogni modo non si esce qui dalla considerazione del fattore volontario, su cui la legge viene ad agire in senso economico.

In altri casi però non è ugualmente certo che convenga di restare entro questi limiti; e d’altra parte, accanto alle cause volontarie delle azioni, sembra anche giusto il tener conto degli elementi obiettivi capaci di agire come determinanti (come, per es., l’aumento della probabilità del danno in seguito ad una data azione). Il problema della responsabilità è complesso e le speculazioni del nostro Venezian, e quelle dei filosofi tedeschi (Sigwart, Kries, ecc.), tendono a metterne in luce varii aspetti. Noi non intendiamo di procedere più innanzi in siffatte questioni; basti avere accennato alla veduta che si tratta di scegliere fra le cause, in vista di un interesse sociale.

Alle osservazioni precedenti altre se ne aggiungono a mostrare come sia difficile definire precisamente il concetto della causa.

A prescindere dall’aspetto psicologico della rappresentazione, che più tardi avremo luogo di prendere in esame, qualche esempio vale ad indicarci che il rapporto causale implica, nel comune intendimento, qualcosa di più di una successione costante. Infatti la successione delle notti ai giorni non viene concepita come un nesso di causa, ritenendosi, in base alle conoscenze astronomiche, la possibilità di un giorno (realizzato sopra un altro pianeta) che permanga eterno, senza essere seguito dalla notte.

L’esempio sopra addotto si trova interpretato talvolta in questo senso: si ritiene che il rapporto causale debba consistere in una successione invariabile non invertibile¹⁰; in mancanza di questo requisito avremmo casi di causazione impropria. Ma il criterio molto semplice non ci sembra adeguato alla distinzione che si ha in vista, poichè, ad es., fra l’uovo e la gallina, nonostante il reciproco avvicendarsi, si può porre (nell’uno e nell’altro senso) un rapporto di dipendenza causale.

Sembra piuttosto il caso di dire che la successione delle notti ai giorni, costante sulla terra, non è pensata come invariabile, rispetto alla varietà delle condizioni richieste da un tale ordine di fenomeni.

In conclusione il postulato della causa può essere presso a poco determinato come segue:

Per ogni classe di fenomeni che, delimitati in modo opportuno, possano ritenersi astrattamente uguali, si ammette di poter riconoscere in generale diversi gruppi di antecedenti riproducibili (cause), a cui i fenomeni suddetti susseguano invariabilmente quando

1) si osservi la riproduzione delle cause;

2) o si realizzino queste volontariamente;

e ciò con un grado di approssimazione, che dipende dai limiti a cui si estendono le osservazioni o in cui si assume come arbitraria la produzione delle cause; approssimazione che può rendersi sempre più grande relativamente ai limiti suddetti, quanto più si complichino le cause, tenendo conto di antecedenti notevoli dei fenomeni dati.

§ 24. Ricapitolazione.

Colle considerazioni precedenti abbiamo chiarito il significato relativo e non rigoroso degli invarianti reali. La rappresentazione logica della realtà è dunque da intendere nel medesimo senso; alla approssimata invariabilità fisica delle coesistenze e successioni reali si fa corrispondere l’invarianza logica (rigorosa) degli oggetti del pensiero, e della loro riunione o del loro ordinamento come elementi dei concetti.

Così la rappresentazione concettuale appare, rispetto alla realtà, un’astrazione, per cui un insieme di oggetti viene isolato col pensiero da tutte le condizioni complicatrici, o fattori di variazione. E questa astrazione implica un atto volontario di supposizione, in cui già abbiamo ravvisato come la premessa al riconoscimento del fatto scientifico, che si compie colla verificazione.

È in nostro arbitrio di costruire i concetti rappresentativi di un gruppo di fatti, astraendo da quelle qualsiasi condizioni complicatrici che nelle prime osservazioni appaiono trascurabili, e di procedere deduttivamente su questa base; ma i rapporti così dedotti hanno soltanto una realtà ipotetica, essi si troveranno veri soltanto entro i limiti in cui gli elementi trascurati non importano una variazione sensibile.

L’ipotesi che l’invarianza dei rapporti sostanziali e causali apparterrebbe rigorosamente ai fatti concepiti, se non si fossero isolati dalle condizioni concomitanti, significa soltanto che gli errori inerenti alla rappresentazione concettuale si correggono, i limiti della rappresentazione si estendono nei riguardi della verità delle conseguenze dedotte, quanti più elementi reali si facciano entrare nei concetti rappresentativi. L’universalità delle rappresentazioni di sostanza e di causa, non ha alcun senso fuori di questa interpretazione.

§ 25. Il valore reale dei principii logici.

Le precedenti considerazioni ci avviano a discutere il problema che concerne il significato reale dei principii logici.

Si tratta di un’antica questione già dibattuta nella filosofia greca tra gli Eleati e gli Eraclitei, ed in altra veste rinnovata ai nostri tempi fra Hegel e Herbart.

Quando consideriamo i principii d’identità e di contraddizione come riferentisi ad oggetti fisici, noi veniamo ad affermarne l’immanenza, almeno sotto il punto di vista secondo cui essi vengono concepiti. Ragionare su di una cosa qualunque è supporre che essa rimanga invariabile.

Tale è il pensiero della scuola d’Elea. La quale viene naturalmente condotta a proclamare l’immanenza del mondo, conforme alla permanenza dei concetti nel nostro spirito, e, per bocca di Parmenide e di Zenone, giunge a negare con artificiosi sofismi il cambiamento ed il moto.

Tuttavia alla sottile dialettica, nella quale si compiaceva il fine spirito greco, contrastavano i fatti; nè vi era bisogno di una scienza sperimentale molto sviluppata per smentire tali conclusioni. La scuola di Eraclito venne dunque ad impugnare la fissità dell’universo proclamando il cambiamento; πάντα ῥεῖ.

Ora il nodo della questione sembra consistere in questo: i requisiti formali della rappresentazione logica esprimono soltanto qualcosa di psicologico, che non è a priori applicabile al mondo fenomenico rappresentato. Perciò i principii logici non possono attestare alcun fatto contrario al cambiamento, anzi essi non sono in verun modo da interpretare come l’enunciato di un fatto, ma esprimono le condizioni sotto cui un oggetto o un rapporto, del mondo fenomenico, può venire logicamente rappresentato come elemento di un concetto, che il pensiero conviene di mantenere fisso nelle sue deduzioni.

Nella realtà vi sono oggetti (coesistenze e successioni fenomeniche) che variano rapidamente, altri in modo così lento da potersi ritenere, almeno provvisoriamente, come invarianti; ebbene i primi non possono essere presi come individui del pensiero logico, i secondi si accordano invece con codesta rappresentazione, tanto meglio quanto più lenta è la variazione.

Il «sor Panèra», che poco sa maneggiare la spada, tira dritto dei colpi all’avversario, ma questi li scarta con semplici parate. «Se non sta fermo è inutile», esclama il pover’uomo nel suo dialetto lombardo.

Un tale rammarico ci fa sorridere, perchè concepiamo un obbligazione propria dello schermitore di cogliere il momento in cui il bersaglio resta fermo e scoperto ai rapidi colpi.

In una condizione analoga si trova il pensiero che intende a cogliere fra gli elementi variabili della realtà il soggetto invariante di un ragionamento logico. E sta proprio a lui di cercare questo, se non voglia rinnovare colle sue ingenue pretese le facezie del sor Panèra.

§ 26. Il valore degli assiomi: realtà obiettiva della Logica.

Poniamo che in un dato ordine di fatti si sieno scorti gli elementi quasi invariabili, per modo che le condizioni rappresentative espresse dai principii logici, si trovino relativamente soddisfatte. Perchè la rappresentazione riesca adeguata, bisognerà che gli assiomi, esprimenti le leggi delle associazioni logiche, trovino riscontro nella realtà.

Ma ciò avviene di fatto, entro certi limiti dipendenti dal modo come sono realizzate le premesse; invero gli assiomi trovano riscontro nelle proprietà effettive degli insiemi di cose; p. es., alle proprietà formali delle operazioni aritmetiche rispondono in questo campo le previsioni concrete.

Siamo condotti così a riconoscere che l’applicazione della Logica suppone il realizzarsi di un fatto generale:

Sotto la condizione d’invarianza espressa dai principii logici, gl’insiemi di cose soddisfano alle proprietà espresse dagli assiomi.

Si può parlare in questo senso di una realtà obiettiva della Logica, la quale implica un rapporto invariabile e condizionato fra le leggi del pensiero ed il mondo fenomenico. E questo rapporto è veramente significativo. Se è lecito fingere un essere pensante in cui le associazioni degli oggetti sensibilmente fissi avvengano secondo leggi diverse da quelle espresse dai nostri assiomi, bisogna ammettere che questi non possa vedere alcuna rispondenza fra il processo logico della sua mente e la realtà.

Gli uomini poco logici rassomigliano ad un tale tipo per questo, che: nell’associare le immagini degli oggetti sensibili, non riescono ad inibire l’effetto modificatore delle idee o dei sentimenti, provocati dalla rappresentazione dell’oggetto composto.

Ma fino a che punto ed in qual modo il fatto affermato colla realtà obiettiva della Logica può ritenersi verificato?

La verifica più diretta e famigliare delle proprietà degli insiemi, viene superata da una supposizione che la Scienza adotta e indirettamente va confermando col suo progresso:

Se in una classe di oggetti, sensibilmente fissi, non sono verificate le proprietà espresse dagli assiomi, mezzi perfezionati di osservazione ci avvertiranno della variabilità di codesti oggetti.

Questa formula vaga acquista, nei singoli casi, un significato determinato, ove si riesca ad apprezzare quantitativamente un limite inferiore della variazione supposta. Ed in questo senso il principio cade sotto il controllo dell’esperienza, che non ha mai mancato di confermarlo, per quanto è stato possibile.

Ma nei riguardi della costruzione scientifica, dove l’esperienza viene logicamente disposta, la fiducia illimitata che gli accordiamo costituisce una condizione del progresso. Il quale esige così un postulato, completante e precisante il postulato della conoscenza, che abbiamo diritto di tener fermo fino a quando non si mostri un arresto necessario di quel progresso, ben lungi da imporsi a noi sotto verun aspetto, e di cui anzi non sappiamo nemmeno immaginare la possibilità.

§ 27. Limiti di applicazione della Logica.

Insistiamo maggiormente su ciò, che le proprietà degli insiemi di cose esigono una certa invarianza di queste, giacchè tale osservazione segna il limite di applicazione della Logica.

Riprendiamo l’esempio dell’Aritmetica concreta, riguardata come un ramo della Logica applicata. Si pretende che essa sia un’opinione, ma i cassieri sono d’avviso contrario. Contano le loro monete, separandole a gruppi, tirano le somme e controllano i calcoli in più modi diversi; sempre le medesime sensazioni previste si producono nelle condizioni volontariamente disposte: di guisa che ci sono proprio dei fatti aritmetici di cui constatano la sussistenza. Se sono state prese da un mucchio 12 monete, queste si lasciano ugualmente disporre in due gruppi di 7 e di 5 o di 6 e 6; ecco il significato reale della formula 7 + 5 = 6 + 6.

Tuttavia codesti fatti aritmetici, subordinati alle proprietà generali degli insiemi, suppongono condizioni che ordinariamente si presumono implicite, ma che non sono meno necessarie.

Se un bravo cassiere, amante dell’igiene e della pulizia, avesse l’abitudine d’immergere le monete nell’acqua durante i suoi calcoli, l’esperienza ne confermerebbe ancora le previsioni aritmetiche; ma guai a lui se un collega d’ufficio si avvisasse di fargli uno scherzo mettendo al posto dell’acqua un acido che attaccasse il metallo. In tal caso i conti non tornerebbero più, perchè qualche moneta sparirebbe disciolta nel liquido, mentre il pover uomo sta intento alle sue logiche deduzioni.

Ma a più alte riflessioni ci avvia l’osservazione che «le proprietà generali degli insiemi suppongono una certa invarianza delle cose associate», quando in essa si ravvisino i limiti della applicazione del processo logico alla conoscenza del reale.

Noi siamo indotti a scorgere quali difficoltà si oppongano alla rappresentazione dei vari ordini di fatti con teorie deduttive; o, in altri termini, a riconoscere fino a che punto il processo logico deduttivo possa essere applicabile nelle varie scienze.

Cercando di mezzo al cambiamento dei fenomeni, gli aggruppamenti invariabili di questi, la nostra ricerca mira a determinare le cose reali che possono assumersi come oggetti del pensiero, o rappresentarsi mediante i rapporti di questi in un sistema di concetti. Ma l’invarianza del reale essendo soltanto relativa, la previsione logica delle proprietà appartenenti ai loro insiemi riesce confermata soltanto fino ad un certo punto, cioè nelle prime associazioni; quando il processo deduttivo si prolunga al di là, le variazioni si accumulano e quindi la previsione riesce smentita.

La piccola variazione di lunghezza che il pendolo di orologio subisce per la temperatura è affatto trascurabile, finchè si tratta di contare un certo numero di secondi, ma per un tempo più lungo produce delle differenze fra orologio e orologio, sicchè si giunge a trovare somme di un ugual numero di termini uguali, che sono disuguali fra loro!

Ogni scienza, porgendo la verifica delle sue deduzioni, riesce a segnare a posteriori, siccome diremo trattando della verifica delle ipotesi implicite, i limiti entro cui i suoi oggetti possono venire rappresentati logicamente.

Questi limiti possono essere più larghi o più ristretti, secondo la relativa fissità dei rapporti fenomenici presi come oggetti della rappresentazione logica.

Da che dipende la possibilità di un impiego più ampio del metodo deduttivo?

Dalla circostanza che i dati fenomenici presentino gradi di variazione molto diversi, sicchè si possa salire per astrazione a rapporti più fissi, relativamente invarianti; dal grado d’invarianza di questi in ordine alle previsioni che si hanno in vista.

Tali circostanze sono realizzate nel modo più favorevole per i fenomeni fisici e particolarmente per quelli abbracciati dalle teorie più progredite. In questo campo il processo di derivazione delle funzioni ha risposto appunto all’esigenza anzidetta di isolare qualcosa di più fisso da elementi variabili; così, p. es., nel passaggio dalla teoria kepleriana alla newtoniana (cap. II). Perciò le teorie fisiche tendono ad esprimere la parte più costante dei rapporti fenomenici quantitativi mediante le equazioni differenziali.

Nella Chimica la ricerca degli invarianti da prendere come oggetto di trattazione logica, si manifesta nello sforzo rivolto ad isolare dai rimanenti gli elementi indecomposti, e poi nella separazione di certi composti o nuclei fissi in un certo ordine di reazioni. Il simbolismo atomico, colle formule di struttura, ricopre appunto la gerarchia degli invarianti.

Invece nella Fisiologia la più rapida mutabilità dei dati, o se si vuole la maggiore complicazione delle cause, rende più limitato l’ufficio del metodo deduttivo. Mentre l’Astronomia può isolare il sistema planetario dall’universo, durante il breve tempo di cui la storia umana deve tener conto, la Fisiologia non può prescindere dall’azione generale dell’intero organismo sopra ogni organo, appena voglia spingere le sue previsioni al di là di pochi istanti.

I minuti nella vita animale contano come i milioni di anni nella vita dei mondi!

Aggiungasi che la maggiore o minore variabilità dei dati che costituiscono l’oggetto di una scienza è da intendere non soltanto per riguardo al tempo, ma anche rispetto alle associazioni di cose prese come simultanee. Nella Fisica molti caratteri (p. es., le masse) si sommano quasi rigorosamente colla riunione dei corpi; nella Fisiologia, nelle scienze sociali, la riunione altera sempre di più i componenti che cadono sotto le nostre osservazioni.

E ben inteso che tutto ciò vale in un senso relativo; la possibilità di estendere le deduzioni sussiste per ogni scienza, subordinatamente alla scelta di dati più invarianti, cioè alla verifica delle ipotesi (implicite) che affermano codesta invarianza.

§ 28. Il problema della verificazione.

Ci proponiamo ora di discutere il secondo problema fondamentale della Logica applicata, concernente la verificazione delle teorie.

Ed anzitutto riteniamo da quanto si è detto che la rappresentazione del reale mediante un sistema di concetti si traduce in due ordini d’ipotesi:

1) le ipotesi implicite per cui si prendono come uguali certi aggruppamenti fenomenici (invarianti) rappresentati astrattamente come elementi dei concetti;

2) le ipotesi esplicite (postulati di teoria) che, per mezzo dei rapporti d’associazione definienti i concetti stessi, esprimono dei rapporti reali fra gli invarianti nominati.

È chiaro che la formulazione di una teoria pone in vista soltanto le ipotesi della seconda specie, mentre le prime si ritengono accettate in precedenza come qualcosa di acquisito.

Così, p. es., nelle teorie fisiche vediamo talune quantità (la temperatura, la pressione, ecc.) legate da certe equazioni; le equazioni esprimono le ipotesi esplicite, ma la supposizione che le quantità suddette sieno definite in rapporto ad un certo stato dei corpi ecc., sta a rappresentare un insieme d’ipotesi implicite; delle quali verrà fatto di apprezzare tutta l’estensione, ove si rifletta alla varietà dei procedimenti sperimentali con cui esse possono venire determinate.

§ 29. Verifica delle ipotesi esplicite.

Ora il problema della verificazione conduce a valutare separatamente i criteri di accertamento, determinazione o correzione delle ipotesi esplicite e delle implicite.

Nel procedere alla verifica di quelle, queste ci porgono anticipatamente delle conoscenze che delimitano il campo delle esperienze, e ne rendono possibile l’interpretazione.

Ci troviamo dunque dinanzi ad un mondo fenomenico, i cui oggetti supponiamo già associati entro certe classi (serie ecc.), subordinatamente a certi concetti rappresentativi.

Le ipotesi da verificare essendo previamente trasformate col ragionamento deduttivo, abbiamo da sottoporre al controllo sperimentale certe proposizioni generali (teoremi) della teoria, le quali possono concernere:

1) dei caratteri di classe, cioè caratteri rispetto a cui gli oggetti dell’esperienza sono anticipatamente ritenuti uguali;

2) o dei caratteri suscettibili di variare come funzioni dell’oggetto, entro la classe stessa.

1) È chiaro in qual modo l’esperimento particolare c’istruisca nel primo caso, dove le ipotesi implicite contengono la possibilità della generalizzazione. Così è p. es., quando si tratta di determinare i caratteri anatomici di una specie di animali, questi essendo ritenuti uguali rispetto a quelli.

Tuttavia il valore delle esperienze verificatrici è diverso, secondochè si tratti di caratteri (quantitativi) suscettibili di variare per gradi insensibili, in modo continuo, o di caratteri (qualitativi) che concepiamo soltanto come elementi di una classe discreta di oggetti possibili; giacchè i primi caratteri vengono determinati soltanto con approssimazione, i secondi con esattezza.

Nell’esempio precedente (caratteri anatomici di specie) si tratta di caratteri qualitativi, e la risposta dell’esperienza è esatta. Un altro esempio analogo si ha nella determinazione del tipo cui appartengono i cristalli di un minerale, ecc.

Invece la determinazione della temperatura di fusione del ferro, o del rame, ecc. offre esempio di un carattere quantitativo di classe, che l’esperienza può fornire soltanto in via approssimativa. La conoscenza approssimata si converte in una conoscenza esatta se si parli di un intervallo limitato in cui è compreso il valore della quantità sperimentalmente definita.

2) La verifica che un certo carattere dipende (come funzione) dagli oggetti di una classe, si riconduce di solito ad un tipo di domanda di forma più particolare «riconoscere se un certo elemento, dipendente dagli oggetti di una classe, sia costante per essi, cioè possa assumersi come carattere di classe».

Spieghiamo questa riduzione sopra un esempio.

Se una forza f agente sopra un punto mobile, nelle sue varie posizioni successive, è inversamente proporzionale al quadrato della sua distanza r da un centro fisso, il prodotto $fr^{2}$ ha valore costante per le posizioni suddette; verificare questa costanza ($fr^{2}=k$) equivale a verificare la dipendenza

$f={\frac {k}{r^{2}}}.$

Ora la questione di riconoscere sperimentalmente se un certo carattere è costante per gli oggetti di una classe, conduce a considerazioni in parte diverse, secondochè si tratti di classi discrete o continue. Il carattere suddetto, potrà esso stesso essere concepito come variabile in modo discreto o continuo (caratteri qualitativi e quantitativi), e sotto questo aspetto sono da ripetere le riflessioni precedenti circa l’esattezza o meno dell’esperimento particolare. Ma la difficoltà essenziale, che qui dobbiamo esaminare, concerne la generalizzazione dell’esperimento, e si riattacca alla prima distinzione fra esperienze nel discreto ed esperienze nel continuo.

§ 30. Esperienze nel discreto.

Fra le classi discrete si trovano in primo luogo quelle composte di un numero finito di oggetti; se il numero non è troppo grande e si tratta di oggetti accessibili, si può avere in questo caso una verifica completa delle ipotesi, istituendo tanti esperimenti quanti sono gli oggetti. È il caso più ovvio, ma praticamente di poco interesse.

Supponiamo invece una classe discreta composta di un numero molto grande (od anche infinito) di oggetti; soltanto un certo numero di esperienze è effettivamente praticabile. Queste esperienze possono condurre a due risultati:

1) Che una certa proprietà, di cui si domanda se sia un carattere di classe, non appartiene ugualmente agli oggetti sperimentati; la risposta dell’esperienza è allora certa e negativa.

2) Che la proprietà di cui si tratta appartiene ugualmente agli oggetti sperimentati. Con qual fondamento si potrà argomentare che essa appartiene a tutti? cioè quando è lecito interpretare l’esperienza nel senso di una verifica positiva dell’ipotesi?

Esaminiamo questo problema fondamentale.

Figuriamo perciò di presentarci ad una di quelle tombole a premi ove si pescano tanti foglietti chiusi, da un’urna; i fogli che portano un numero corrispondono ai premi; non è escluso del resto che si tratti di tombola a premio certo.

Si tirano su dall’urna venti o trenta foglietti; tutti portano un numero. Si conclude allora come probabile che, appunto, il premio sia certo. Se invece si fossero tirati su altrettanti foglietti bianchi, si riterrebbe soltanto che vi sono pochi premi. Perchè questa diversa interpretazione?

Perchè abbiamo motivo di supporre (in base ad osservazioni su altre tombole analoghe) che se furono mescolati foglietti portanti premio e foglietti bianchi, il numero di questi possa essere grande in proporzione al numero di quelli, ma non viceversa; e perchè infine il caso di frode, in cui i premi manchino affatto, deve apparire improbabilissimo di fronte al caso in cui si sia voluto il premio certo.

Ecco dunque che l’interpretazione dell’esperienza, e la sua generalizzazione, appare subordinata a talune conoscenze supposte; soltanto dopo che queste vengano precisate in un coefficiente, diventa possibile di misurare la probabilità del resultato, cioè di determinare un numero che esprima in quanti casi la previsione ottenuta generalizzando sarà giusta, ed in quanti errata, sopra un gran numero di casi.

In mancanza di alcuna presunzione, si potrebbero ritenere i varii casi come ugualmente probabili; questa ipotesi fornirebbe allora un primo criterio interpretativo dell’esperienza, grossolanamente approssimato, da correggersi col progresso delle conoscenze. Ed è opportuno avvertire che se si sia costretti ad adottare codesto criterio, il valore della generalizzazione risulta molto piccolo, appena che si tratti di classi di oggetti numerose rispetto alle esperienze fatte. Che dire del caso in cui si abbiano classi con infiniti oggetti?

§ 31. Esperienze nel continuo.

Le precedenti osservazioni ci fanno comprendere che il valore delle esperienze verificatrici diventa sempre più necessariamente subordinato ai concetti rappresentativi, quando si tratta di esperienze nel continuo. Qui per altro possiamo riconoscere un criterio interpretativo generale, da determinarsi in ordine ai concetti nominati, cioè una supposizione di continuità che costituisce il fondamento del metodo sperimentale.

Quando si tratta di esperienze qualitative, il carattere dipendente dagli elementi di una classe continua non potendo variare per continuità, si ammette a priori costante, almeno per una parte della classe, contenuta entro certi limiti che la separano da una classe contigua (ad es., per un corpo liquido fra le temperature di ebullizione e di solidificazione).

Esaminiamo invece il caso di esperienze quantitative. Si tratti, p. es., di verificare un’equazione del tipo a = b per gli oggetti di una classe continua, cioè (dato il carattere approssimativo di una tale esperienza) si tratti di riconoscere se sussiste per essi una diseguaglianza

a — b < ε,

dove ε rappresenta l’errore d’osservazione.

La verifica si compie per interpolazione, cioè (riferendosi ad una classe unidimensionale) si esperimenta su alcuni oggetti e si estende il resultato agli altri oggetti, compresi fra quelli. In base alla presunzione che la relazione fra a e b dipenda in modo continuo dagli elementi della classe, si argomenta che essa sia costantemente a = b, se questo resultato corrisponde agli oggetti sperimentati.

Il principio che vale a porgere una misura del criterio interpretativo (in quanti casi la generalizzazione porti a previsioni giuste) è ancora il principio di probabilità, dove si accetti la così detta legge dei grandi numeri. Ma la probabilità matematica a cui (secondo codesta legge) è proporzionale il numero dei casi favorevoli o contrarii ad una ipotesi, non è definita se non sia prima rappresentata la varietà dei casi possibili, subordinatamente a certi concetti.

Spieghiamo come il criterio di probabilità possa permettere di apprezzare il valore probativo dell’esperienza, riferendoci ad un semplice esempio.

Per ciò proponiamo di misurare la quantità di calore che può essere sviluppata da un lavoro meccanico di a chilogrammetri. Ammettiamo che la suddetta quantità dipenda soltanto dalla variabile a, e sia funzione continua f (a) di questa.

Se una prima esperienza fornisce:

f (a) = a: 427

uno sperimentatore non prevenuto nulla può trarne.

Ma supponiamo che una seconda esperienza conduca allo stesso numero, oppure che il resultato della prima esperienza sia stato precedentemente annunziato.

Ognuno accorda in tal caso all’esperienza questo valore, che, almeno entro certi limiti, il rapporto a : f (a) ha il valore costante 427. Quale fondamento si può dare a questa fiducia? Ove si neghi la tesi, la funzione f (a) potrà venire rappresentata da un diagramma come il seguente:

Allora se si prende a caso sull’asse delle x un punto A (OA = a) quale probabilità c’è che l’ordinata AP = f (a) abbia il valore assegnato a : 427?

Evidentemente questa probabilità è infinitesima, ossia praticamente nulla. Pertanto se si ritiene l’esperienza come esatta, ci sono infinite probabilità, ossia c’è la certezza pratica che la curva continua y = f (x) coincida colla retta di coefficiente angolare 1 : 427, o abbia comune con questa un tratto finito.

Ma teniamo conto della circostanza che il valore 427, ottenuto sperimentalmente, è soltanto approssimativo; riguardiamo perciò l’esperienza come affetta da un certo errore < ε. Allora il calcolo precedente deve essere modificato in questo senso: quale probabilità c’è perchè un punto preso a caso sulla curva y = f (x) disti dalla retta y = x : 427 meno di ε?

Sembra a prima vista che di qui si tragga senz’altro una conclusione analoga alla precedente, cioè che, prendendo come prova una probabilità non più infinita ma grande, possa ritenersi provata dall’esperienza la coincidenza approssimativa della curva y = f (x), o di un tratto di essa, colla retta y = x : 427.

Un matematico ammaestrato nello studio delle funzioni più singolari, sarà d’avviso contrario; egli penerà poco a costruire una curva continua y = f (x), la quale in ogni piccolo intervallo si approssimi e si allontani di quanto si vuole dalla retta nominata.

Ma ciò prova soltanto che la probabilità non può essere matematicamente valutata, se si lasci alla funzione continua f una arbitrarietà illimitata. Occorre invece determinare il problema limitando codesta arbitrarietà in base alla rappresentazione concettuale del fenomeno.

Nel nostro caso p. es., è da ammettere che la funzione f (x) sia crescente, e ciò esclude già certe oscillazioni della curva.

Non vogliamo qui spingere l’analisi fino alla determinazione concreta di codesta probabilità. Basta accennare come il criterio accennato possa permettere, almeno nei casi più semplici, di apprezzare quantitativamente il valore probabile delle verifiche sperimentali in rapporto ad una rappresentazione concettuale sufficientemente determinata.

Naturalmente col numero delle verifiche avvicinantisi fra loro, cresce rapidamente il valore della prova raggiunta per interpolazione; mentre la estrapolazione, allontanandosi dal dominio della esperienza, perde sempre più il valore di prova, riducendosi semplicemente a suggeritrice di nuove ipotesi.

§ 32. Conclusioni sull’interpretazione delle esperienze.

Riassumiamo i resultati della critica precedente nelle seguenti conclusioni;

1) Il valore della verifica sperimentale, cioè l’interpretazione delle esperienze, deve subordinarsi ai concetti rappresentativi ed in ispecie alle ipotesi implicite che essi contengono.

2) Se si tratti di proprietà preventivamente accettate come proprietà di classe, l’esperienza ha valore certo: esatto od approssimato secondochè si considerino esperienze qualitative o quantitative.

3) Le esperienze qualitative nel continuo concernono sempre (entro certi limiti) proprietà di classe, se si accetti la supposizione generica di continuità.

4) Le esperienze nel discreto, e le esperienze quantitative nel continuo, dove si debba riconoscere «se una proprietà sia comune agli oggetti di una classe», hanno valore certo quando porgono negative delle ipotesi; le esperienze positive hanno soltanto un valore probabile, che può essere misurato, se si accetti la legge dei grandi numeri, in base ad una rappresentazione concettuale adeguata ai varii campi dell’esperienza (ipotesi implicite).

Pertanto i criterii di verificazione delle ipotesi esplicite si basano sulle ipotesi implicite, e su due principii generali: la legge dei grandi numeri (probabilità) e il postulato di continuità.

Se si domandi di giustificare questi principii non si può fare appello che alla grande massa delle esperienze fatte.

Bisogna dunque ammettere la supposizione generica che la esperienza abbia un valore probabile di generalizzazione, e riguardare quindi i criterii di misura di codesta probabilità, ed il postulato di continuità a cui essi si collegano, come un acquisto enormemente probabile in forza del grandissimo numero delle esperienze che lo verificano in modo diretto e indiretto: il progresso della Scienza, cui codesti principii soccorrono, vale ogni giorno più a confermarli e a renderli determinati.

§ 33. Il postulato di continuità e la rappresentazione psicologica delle cause: come e perchè.

Ora è importante notare come il principio di continuità risponda all’aspetto psicologico delle rappresentazioni di sostanza e di causa.

Ci riferiremo in ispecie a quest’ultima, riprendendo dunque in esame il nesso fra un antecedente ed un conseguente riguardati come causa ed effetto, sotto il punto di vista psicologico.

Tale questione, in cui si concentrano tanti sforzi delle speculazioni metafisiche, sembra invece negletta dai positivisti, in parte a cagione del senso trascendentale che si è preteso attribuirle, colla domanda di una causa prima o assoluta o incondizionata o efficiente.

Il suo significato ed il suo interesse risultano chiari nel progresso scientifico, dove si osservi che:

1) Nella Scienza non tutte le spiegazioni causali vengono tenute come di ugual valore; in talune si ravvisa soltanto una risposta alla domanda «come il fenomeno possa prodursi», in altre si scorge di più (ben inteso relativamente) un «perchè» del fenomeno stesso.

2) Il valore diverso di codeste spiegazioni causali può essere positivamente apprezzato, nei riguardi dello scopo conoscitivo, dalle più ampie previsioni contenute nella conoscenza del «perchè», soprattutto in rapporto alle possibili variazioni degli elementi che entrano a costituire la causa.

Ecco un semplice esempio:

Si batta una placca di rame con un martello; il rame si riscalda. Con ciò si è detto come il rame possa venire riscaldato.

Ma perchè si riscalda? viene chiesto ad un fisico aderente alla teoria meccanica del calore.

Egli risponde: Il calore è uno stato di vibrazione delle particelle di un corpo, il movimento del martello subitamente arrestato dal rame si trasmette per l’urto alle particelle di questo, le quali cominciano quindi a vibrare.

Una tale spiegazione non pretende certo di assegnare un ultimo perchè delle cose; essa riduce la domanda posta ad un’altra, che rimane senza risposta: «perchè il movimento si trasmette nell’urto?» Ma appunto nella riduzione ottenuta consiste il motivo della soddisfazione intellettuale che vi si connette; ed a questa fa riscontro una più estesa conoscenza dei modi di riscaldamento del corpo con mezzi meccanici.

La Scienza che non esige mai una risposta definitiva alle sue domande, si appaga provvisoriamente di simili «perchè», salvo a proseguirne la serie illimitata, e vi trova sempre un analogo vantaggio.

Citiamo ancora come esempio la spiegazione del diverso processo chimico con cui si formano il solfato di zinco e il solfato di rame, dove ci si riduce in ultima analisi all’attrazione elettrica elementare fra particelle di materie vicine, senza pretendere tuttavia di spiegare ulteriormente codesta azione.

Ora se si vuol penetrare più addentro nell’esame delle differenze fra le spiegazioni causali, si può fare l’osservazione generale seguente:

Quando si assegna come avviene un fatto, si enuncia un semplice rapporto di successione fra un antecedente ed un conseguente isolatamente presi. Quando se ne dice il perchè, vi si associa la rappresentazione di una serie continua di fenomeni intermedii (reali o fittizi).

Questa spiegazione riduce dunque il rapporto causale dato ad una serie di cause immediate o elementari subordinate l’una all’altra, dove si pensa la causa elementare come un antecedente molto vicino al suo effetto.

Risulta di qui che: la ricerca del perchè implica una rappresentazione delle cause, che contiene come supposto implicito la coniinuità della corrispondenza causale.

Questo postulato di continuità è ciò che rimane delle cause elementari, dove si lascino cadere gl’intermediarii fìttizii fra gli antecedenti ed i conseguenti reali.

Abbiamo già detto come esso possa giustificarsi in fatto sulla base di una larga esperienza, e come fornisca a sua volta i più importanti criterii d’interpretazione della verifica sperimentale.

Emerge quindi l’ufficio della tendenza psicologica a rappresentare le cause elementari; la quale, mentre appare in una certa misura condizione del progresso scientifico, si vede ottenere con questo un successo crescente.

Fino a che punto codesta tendenza riesce effettivamente ad esplicarsi relativamente alla realtà?

Sulla nostra terra si producono fenomeni luminosi in connessione colla luce emanata da stelle lontane; la causa e l’effetto sono fenomeni separati da milioni di milioni di chilometri e da centinaia di anni.

A distanze meno grandi, ma sempre enormi, l’attrazione dei corpi celesti si fa sentire entro al sistema planetario, in un modo che alcuna ragione positiva ci porta a ritenere non istantaneo.

Ebbene le rappresentazioni concettuali, ognora rinascenti, lasciano scorgere un lavoro assiduo di costruzione ipotetica, per riattaccare codesti fenomeni mediante una serie causale continua d’intermediarii fittizii.

Alla luce, poichè essa impiega un tempo di propagazione, si dà un supporto materiale, l’etere, che viene riguardato come un mezzo attraverso a cui il fenomeno si trasmette per continuità. Alla gravitazione si sta cercando qualcosa di analogo, convinti che una ricerca meglio condotta debba rivelarci come essa non si propaghi istantaneamente.

Un siffatto modo di argomentare potrebbe porgere facile argomento di riso; quale mancanza di rispetto verso l’esperienza per parte di chi non lascia passare un giorno senza renderle omaggio!

Eppure la giustificazione di codesta tendenza risiede in un confronto più largo di altre esperienze che progressivamente sono venute confermando i corollarii di analoghe presunzioni, ed anche nella veduta che la rappresentazione delle cause elementari estende il campo delle esperienze possibili e conferisce a queste un valore probativo che spesso verrebbe meno all’infuori delle ipotesi in essa contenute.

§ 34. Accertamento e verifica delle ipotesi implicite.

Le difficoltà inerenti alla verifica delle ipotesi esplicite, nelle singole teorie, è stata in parte ricondotta all’accettazione di ipotesi implicite. Emerge dunque la necessità di discutere i criteri di accertamento, di verifica e di correzione di queste.

Diciamo anzitutto del loro accertamento preventivo.

Nella costruzione di una teoria sono da assumere possibilmente come ipotesi implicite le conclusioni verificate nel modo più preciso di altre teorie. Se anche queste non hanno ricevuto dalla esperienza intera conferma, avviene generalmente che trovinsi verificate in parte; e che le conclusioni parziali messe a confronto con un ordine più largo di conoscenze acquistino un valore altamente probabile, ed abbastanza esatto, in guisa da poter servire come fondamento ad una costruzione nuova più solida.

Tuttavia le ipotesi più implicite così assunte, per deduzione, possono spesso venire integrate per mezzo di altre associazioni di dati empirici, cioè per induzione. Anzi questo processo propriamente induttivo ha un ufficio tanto più largo quando si tratti delle prime fasi della costruzione scientifica.

Relativamente ai criterii da seguire nelle induzioni anzidette è il caso di ricordare i canoni di Stuart Mill, fondati sui principii di sostanza e di causa (il filosofo inglese si riferisce sempre alla causa). Ma dopo le osservazioni dei §§ 22, 23 è inutile aggiungere che codesti canoni hanno soltanto un significato schematico ed un valore limitato.

Così, p. es., quando si parla del metodo induttivo di concordanza «prendere come causa la sola circostanza comune a varii casi di un fenomeno», si sottintende sempre un’astrazione da infinite circostanze comuni, pensate come indifferenti. E l’esempio che da taluno si adduce, dove s’argomenta che «lo stato fisico dei corpi è causato dal calore», ci mostra appunto il valore limitato del metodo, poichè fra gli elementi trascurati si trova qui la «pressione» di cui deve tenersi conto nella liquefazione dei cosidetti gas permanenti, ecc.

Emerge dalle osservazioni precedenti che, comunque le ipotesi implicite di una teoria siano state preventivamente accertate con criterio prudente, e soprattutto nei primi momenti di una costruzione scientifica, permane un dubbio sul valore di codeste ipotesi e sui limiti di approssimazione in cui esse possono tenersi vere. Quindi la necessità di verificare a posteriori se e quanto esse sieno valide, e, dove sia il caso, di correggerle.

La verifica delle ipotesi scientifiche è data ancora dall’esperienza, ma piuttosto in senso negativo che positivo.

Se un rapporto fenomenico preso implicitamente come invariante non può più considerarsi tale in un certo ordine di considerazioni, la sua non invarianza si manifesta con una contraddizione delle esperienze.

I principii logici, che esprimono, come si è detto, le condizioni di applicabilità del metodo deduttivo, porgono così a posteriori il mezzo di riconoscere l’errore delle ipotesi implicite, relativamente ad un certo sistema di deduzioni. Si deve ritenere invece che l’accordo delle esperienze, istituite a verificare teoremi logicamente dipendenti di una teoria, porga una conferma sempre più probabile delle sue ipotesi implicite.

Quanto alla correzione delle ipotesi implicite riconosciute erronee, non si può indicare altra via che di ritornare ai criterii dell’accertamento induttivo, tenendo conto degli acquisti parziali probabili che (nonostante l’errore suddetto) si troveranno forniti dalla teoria sviluppata. La sola regola generale, che qui sia da darsi, è di allargare, quanto è possibile, le associazioni ed i confronti: confrontare e valutare l’ipotesi in rapporto all’insieme della Scienza, ritenuta provvisoriamente come acquisita, è il solo modo di giudicare di ognuno dei principii, che trovansi in un dato momento alla base dell’edifizio scientifico!

Si aggiunga che non soltanto colla semplice moltiplicazione dei controlli, il progresso scientifico riesce a stringere più da vicino la verificazione delle ipotesi implicite di una teoria.

Mentre la deduzione moltiplica i teoremi verificabili, la definizione costruisce concetti nuovi a rappresentare nuovi rapporti reali possibili, che debbono essere presi come invarianti. Ora una piccola variabilità di fatto nei rapporti presi inizialmente come oggetti del pensiero si traduce in una apprezzabile variazione dei rapporti associativamente definiti, e cade così sotto il controllo di una verifica più precisa, diretta o indiretta.

La definizione appare quindi come un processo moltiplicatore degli errori d’osservazione, atto a porre i teoremi della teoria in una veste opportuna per porgere una verifica delle premesse, nella quale le contraddizioni che derivano dalle ipotesi implicite si rendano più evidenti.

§ 35. Esempii.

Ad illustrare le cose dette, possonsi citare alcuni esempii.

La contraddizione delle esperienze è il criterio che avverte talvolta il chimico come un corpo da lui ritenuto implicitamente un’unica sostanza semplice conosciuta, contenga invece qualche altro elemento; così avvenne in fatto la scoperta di alcuni fra i nuovi corpi semplici.

Nella Meccanica, il postulato della invarianza della massa rispetto al movimento, costituisce un’ipotesi implicita che nessuna sensibile contraddizione di esperienze è venuta ad infirmare. Tuttavia se codesta invarianza solleva oggi qualche discussione, ciò avviene perchè accanto ai movimenti effettivi si sono definiti dei movimenti possibili con velocità enormi, e messi a confronto questi con altri ordini di fenomeni (cap. VI).

È dunque l’estendersi di certi concetti rappresentativi del reale, mediante definizioni, che porge qui un eventuale criterio di correzione delle ipotesi implicite.

§ 36. La crisi dell’Economia politica contemporanea.

È interessante di riattaccare alle precedenti considerazioni l’odierna crisi dell’economia politica, dove si riguardi, come oggetto del dissidio sul metodo di tale scienza, una diversa valutazione delle ipotesi implicite assunte dalla scuola classica.

È noto come questa abbia creato con Adamo Smith il tipo dell’homo oeconomicus, col quale si vengono a fissare in modo invariante i motivi agenti sulla volontà dell’uomo individuo, considerato nei rapporti di scambio della ricchezza e del lavoro.

Questo tipo, sebbene faccia astrazione dai diversi moventi etici che modificano e complicano le azioni umane, risponde assai bene alla rappresentazione di queste, quando si abbiano di mira i suddetti rapporti economici, ai quali le accennate complicazioni riescono estranee, almeno nella media.

A definire il concetto dell’homo oeconomicus, l’Economia classica ha assunte talune semplici e quasi evidenti ipotesi esplicite, dalle quali ha dedotto previsioni concrete e generali in diversi ordini di fatti.

Riscontriamo queste ipotesi nella teoria di Ricardo della rendita differenziale.

Riferendosi, p. es., al mercato del grano, per cui la legge ricardiana fu appunto inizialmente stabilita, si supponga che il costo di produzione di esso, in una serie di campi, possa valutarsi, tenendo conto del lavoro e del capitale occorrente per la coltivazione, e se occorre del trasporto in un dato mercato. Siano α, β, γ.... i prezzi unitarii di costo del grano nei campi suddetti.

Ammettendo che questi grani si contrattino simultaneamente in un medesimo mercato, e chiamando a, b, c.... i relativi prezzi unitarii di vendita, avremo:

1) Nessun compratore è disposto a pagare il grano più di quello che domandi il venditore meno esigente;

2) e nessun venditore è disposto a rilasciare il suo grano ad un prezzo inferiore di quello offerto dal miglior compratore;

per conseguenza tutti i contratti di vendita tendono a livellarsi, e si può accettare come molto prossima al vero l’ipotesi

a = b = c = ....

3) D’altra parte nessuno è disposto a coltivare un campo in pura perdita, sicchè è da ritenere che se qualcuna delle differenze a —  α, b —  β, c —  γ.... fosse (durevolmente) negativa la coltivazione a grano del relativo campo dovrebbe cessare.

Supponendo l’invariabilità dei prezzi a, b, c..., α, β, ...., cioè riferendosi ad un supposto equilibrio economico, si avrà dunque

a — α ≥ 0,     b — β ≥ 0,     c — γ ≥ 0....

Pertanto si deduce che ogni coltivatore profitta di una rendita uguale o superiore alla differenza fra il costo di produzione del grano nel proprio campo e il costo di produzione nel campo meno rimunerativo.

Supposto invero

α > β > γ > δ ...,

si ricava

b — β ≥ α — β,      c — γ ≥ α — γ....

Questa deduzione relativa alla rendita differenziale (nel campo dell’agricoltura e più generalmente di una qualsiasi industria) si completa per via di una deduzione ulteriore fondata su analoghe ipotesi.

Si supponga che:

4) Esista una serie di campi ancora incolti, relativamente ai quali il costo di produzione del grano vada crescendo in modo quasi continuo a partire dal minimo α che appartiene al meno rimunerativo fra i campi coltivati.

Allora deve presumersi che: se il prezzo del grano supera α cioè se a —  α ≥ 0 (e non a —  α = 0), si troverà chi voglia coltivare a grano qualcuno dei campi suddetti.

Così per un lato verrà ad aumentare il costo di produzione del grano nel campo meno rimunerativo (poichè si coltivano campi sempre meno rimunerativi), per un altro lato verrà a diminuire il prezzo del grano riversandosi sul mercato una maggiore quantità di esso. Pertanto si giunge alla conclusione che «in uno stato di equilibrio economico, il prezzo del grano tende a ragguagliarsi al suo costo di produzione nel campo meno rimunerativo».

Questo enunciato esprime la legge della rendita differenziale nella sua forma più precisa, integrata colla legge che commisura il valore della merce al costo di produzione dell’ultimo prodotto. Ed è chiaro che l’enunciato si può riferire analogamente ad altre merci industrialmente prodotte in condizioni diverse.

Ora la legge sopra stabilita ha ammesso ed ammette tuttora numerose verifiche sufficientemente approssimate, ove si tenga conto che il supposto equilibrio economico è uno stato limite non mai raggiunto dalla società.

Ma per contro altre osservazioni si trovano con queste verifiche in diretta contraddizione, e si può aggiungere che i casi in cui la regola non è confermata vanno ai giorni nostri crescendo.

Si manifesta così che l’invarianza attribuita all’homo oeconomicus non è sufficientemente rigorosa rispetto a certe deduzioni e alle previsioni che vi si appoggiano.

In ispecie la variabilità di questo tipo si manifesta nel fenomeno grandioso dell’associazione. La riunione di molti uomini, che dovrebbe fungere come una semplice somma, si allontana dal previsto giungendo a svolgere un’attività che riesce a scontare anticipatamente e ad impedire gli effetti della libera concorrenza.

I recenti trust internazionali ne porgono una testimonianza visibile.

Ecco come l’associazione giunge fino ad un certo punto ad invertire i motivi agenti sui produttori. Mentre il singolo produttore non può aumentare il suo profitto se non aumentando la quantità del prodotto, la società che abbia accaparrato una parte dei mezzi di produzione può ottenere più utilmente il suo scopo diminuendo il prodotto in guisa da diminuire l’offerta della merce sul mercato, poichè essa ha interesse a mettere in opera soltanto i mezzi meno costosi, se riesce in compenso ad innalzare il profitto della rendita differenziale che da questi ricava; inoltre la società può farsi arbitra del mercato impedendo la produzione di merce per opera di estranei, colla minaccia di offrire i suoi prodotti ad un prezzo minore, in guisa da cagionare la rovina dei suoi avversarii, e ciò sia pure a costo di sacrifizii temporanei.

Soprattutto in quest’ultima circostanza psicologica si ravvisa un elemento nuovo che distingue l’associazione da una «somma di uomini», di guisa che i fenomeni anzidetti non appariscono spiegabili ove si mantenga il concetto individualistico dell’homo oeconomicus, pur modificando qualcuna delle ipotesi esplicite sopra enunciate.

Vediamo nell’esempio precedente messi in opera i due criterii di verifica delle ipotesi implicite: la contraddizione delle osservazioni manifesta per un lato la non rigorosa invarianza dell’homo oeconomicus, agli effetti delle previsioni richieste; e, d’altra parte, codesta non invarianza risulta direttamente per riguardo alle associazioni economiche, che nella teoria sarebbero definite come semplici riunioni di uomini.

Non è il caso per noi di trarre dalle precedenti considerazioni una conclusione che pretenda a dirimere il conflitto delle scuole economiche. Ci basta di avere illuminato codesto conflitto (facendo astrazione da ciò che vi è in esso di non scientifico) come inerente alla valutazione delle ipotesi implicite della scienza.

Sotto questo aspetto la scuola che assumendo il metodo storico respinge l’impiego del metodo deduttivo, e la scuola matematica che all’opposto svolge e perfeziona questo metodo, passando da una Economia statica ad una Economia dinamica, possono venire riguardate dal filosofo come collaboranti alla creazione di una fase nuova della scienza. Forse questa fase si disegna già negli ultimi sviluppi della scuola matematica di Losanna e in particolare negli ultimi lavori di W. Pareto¹¹. La conclusione fondamentale che sembra scaturire da tali studii può essere formulata come segue:

Si possono costruire diverse teorie economiche, prendendo come base i «gusti» degli uomini e gli «ostacoli» di differente natura, che si oppongono al loro soddisfacimento. Si ottengono così tante rappresentazioni possibili dei fenomeni economici, rispetto a cui la teoria classica esprime una prima approssimazione.

Ora una teoria economica potrà essere stabilita in guisa da collegare i fatti in un determinismo rigoroso, appena che si sieno ammessi certi rapporti fondamentali, i postulati della teoria, varianti col luogo e col tempo secondo le condizioni storiche e psicologiche dell’ambiente.

Così il metodo deduttivo, divenuto rigoroso mercè l’applicazione delle Matematiche, rivendica tutti i suoi diritti entro confini ben segnati, mentre si rimanda alla storia e alla psicologia il tentativo di spiegare le variazioni dell’ambiente sociale, conducenti dal campo di una teoria a quello di un’altra. Per tal modo crediamo almeno d’interpretare gli ultimi sviluppi della scienza economica.

§ 37. Conclusioni: il circolo vizioso della Scienza.

Riguardiamo nel loro insieme i criterii di verifica delle ipotesi, esplicite o implicite, delle teorie.

Appare tosto emergere dalle cose dette una conclusione paradossale, che può essere designata col nome di circolo vizioso della Scienza.

La verifica delle ipotesi esplicite esige un’interpretazione delle esperienze, subordinata alle ipotesi implicite; alla lor volta queste vengono verificate in gran parte sulla base di altre teorie ed ipotesi esplicite, e corrette, ove occorra, con un più largo confronto delle conoscenze acquisite. Il progresso della Scienza si appoggia dunque sulla Scienza stessa, è un’estensione non una creazione.

Appunto per sfuggire a questo circolo vizioso Kant è stato condotto alla sua dottrina dell’a priori. E per la medesima ragione questa dottrina rinasce trasformata nella filosofia francese contemporanea, che riguarda i principii, canoni interpretativi dell’esperienza, quasi pure convenzioni.

Gli scienziati farebbero dunque come i legislatori che conferiscono all’oro l’ufficio di merce liberatrice dei pagamenti, e l’assumono quindi ad unità di misura dei valori; anzi, se si vuol mantenere il paragone, la Scienza sarebbe uno stato a regime plurimetallico, giacchè non si tratta di un principio solo!

Ma l’assunzione dell’oro come moneta è basata sul fatto che questo ha già un valore di scambio, che si commisura a quello delle merci; e quanto ai regimi bimetallici, il rapporto legale ha per effetto di sostituire la peggior moneta alla buona.

Anche per i principii scientifici s’impone dunque l’obbligo di considerarli come espressioni di esperienze fatte, e di misurarli e rivederli di continuo in rapporto alle successive esperienze; ed è questo un punto che non è sfuggito al Poincarè. Onde se si vogliano riguardare le cose piuttosto in un aspetto reale che formale, sembra giusto (e ciò già accennammo) di disegnare codesti principii come supposizioni determinantisi progressivamente, anzichè come convenzioni.

Ad ogni modo la difficoltà resta intera per chi non sia disposto a riconoscere in alcun principio qualcosa che preceda ad ogni esperienza. Non si sfugge alla conclusione che il ragionamento sperimentale estende la Scienza, ma non la crea.

Questa conclusione dobbiamo accettare come un fatto positivo, e vogliamo mostrare che questo, rettamente interpretato al lume della critica, non involge quel circolo vizioso, che ci siamo piaciuti di mettere innanzi come un paradosso.

Infatti ad ogni momento della costruzione scientifica precede sempre un certo insieme di conoscenze, più o meno probabili e precise, che riteniamo acquisite. E similmente in ogni investigazione sperimentale, in ogni formazione di concetti nuovi, possiamo appoggiarci sopra concetti già formati.

Così l’approssimativa invarianza dei corpi è una conoscenza che precede le ricerche dei fisici sulla costanza della massa. Così ancora, certi concetti e certe intuizioni, p. es., geometriche, meccaniche, fisiche, si trovano già possedute almeno in germe dalla nostra mente nell’atto di iniziare la ricerca scientifica, come qualcosa di acquisito da anteriori esperienze abituali.

Il circolo vizioso della Scienza si risolve nella constatazione che lo sviluppo di questa non ha un principio, ma si estende indefinitamente all’indietro come in avanti; che l’acquisto delle conoscenze non cade per intiero nel dominio della coscienza chiara e della volontà, ma si prolunga nelle associazioni inconscie ed istintive.

È sufficiente di ritenere che queste trovinsi in qualche modo adattate alla vita, per dare un certo valore approssimato e probabile alle prime conoscenze che si prendano come acquisite.

Il progresso della Scienza è procedimento di approssimazioni successive, dove dalle deduzioni parzialmente verificate e dalle contraddizioni eliminanti l’errore delle ipotesi implicite, sorgono nuove induzioni più precise, più probabili, più estese.

In questo procedimento taluni concetti primi e generali, come i geometrici ed i meccanici, porgono i principii direttivi meno variabili, se pure non assolutamente fissi. Ad essi perciò dovrà rivolgersi la nostra critica collo scopo di spiegarne il valore reale e la genesi psicologica.

Ma, rimandando tale esame ai capitoli seguenti, vogliamo svolgere prima alcune brevi considerazioni sui problemi fisiologici che si connettono alla Logica, e scaturiscono dal confronto dei suoi due aspetti, subiettivo ed obiettivo.

C - L’aspetto fisiologico della Logica.

§ 38. Posizione del problema.

Il duplice modo di riguardare la Logica, come sistema delle leggi che reggono un processo psicologico, e come sistema di condizioni e di ipotesi per cui questo processo ha un valore nell’applicazione scientifica, ci pone dinanzi a problemi di alta importanza.

In qual modo si lascierà spiegare il rapporto fra certe leggi del pensiero ed il mondo fenomenico, che è implicato nella realtà obiettiva della Logica?

La parola «spiegare» assume qui un senso determinato se il processo psicologico vien riguardato nel suo aspetto fisiologico, ammettendosi dunque che i fenomeni del pensiero, le operazioni associative, e le leggi da cui esse sono governate, trovino riscontro in un ordine parallelo di fenomeni fisiologici, in operazioni fisiologiche e nelle condizioni secondo cui queste si effettuano.

In una siffatta interpretazione, la tesi empirica, che considera le leggi logiche come nozioni di fatti generali acquisite per esperienza, si trasforma in una veduta epigenetica dello sviluppo delle funzioni fisiologiche; la tesi critica, che riconosce nelle leggi suddette condizioni a priori della psiche, si converte in una veduta preformistica della struttura nervosa, e particolarmente cerebrale, in rapporto ad elementari condizioni meccaniche, fisiche ecc. dell’organo.

Ora la prima tesi, per quanto concerne l’individuo, è stata superata il giorno in cui si è riconosciuto tutto ciò che la struttura del vivente deve alla eredità, spostando in tal modo l’oggetto della ricerca dall’individuo alla specie. La seconda tesi rimane come una veduta generica in quest’ordine di problemi, troppo vaga per essere considerata come una spiegazione della difficoltà che abbiamo in vista.

Mettiamo in disparte le ulteriori questioni biologiche, nelle quali si esplica il contrasto fra l’indirizzo epigenetico ed il preformistico. Per noi è chiaro questo, che: la struttura fisiologica degli organi del pensiero, come esso è nella psiche formata dell’uomo soddisfa a condizioni per cui il processo logico trova riscontro in certi fatti generali; codeste condizioni non si riducono alla pura nozione dei fatti accennati, ma esprimono il modo d’operare dell’organo.

Ora, comunque l’organo stesso abbia acquisito tale «modo d’operare», si domanda se sia possibile formarsi di questo una rappresentazione, che metta in luce l’anzidetto riscontro.

§ 39. Ipotesi fondamentali.

Formarsi una rappresentazione del processo fisiologico del pensiero, è tal problema che l’enunciarlo soltanto sembrerà temerario! Che cosa sappiamo noi dei fenomeni più elementari che hanno sede nel cervello? Appena talune funzioni furono localizzate con qualche certezza in base al metodo anatomico della degenerazione o a quello embriologico fondato sulla mielinizzazione delle fibre nervose.

D’altra parte le nostre conoscenze relative agli elementi del sistema nervoso, non vanno al di là di qualche resultato istologico che fu recentemente accertato con mezzi tecnici perfezionati; e non sembra veramente probabile che, pur avanzando in questa via, si riesca ad acquistare una più chiara veduta delle funzioni fisiologiche delle cellule e delle fibre nervose, ove non ci si voglia appagare di ipotesi arbitrarie.

Gli stessi cambiamenti frequenti nelle idee che corrono intorno alle questioni più semplici, attestano lo stato arretrato di quest’ordine di studii.

Per citare un solo esempio, sono trascorsi pochi anni da che la teoria del neurone sembrava sicuramente stabilita, e già gli studi di Apaty sono venuti a distruggerne il fondamento anatomico, mentre l’esperienza di Bethe sul Carcinus Menas sembra rovesciarne le asserzioni fisiologiche.

Ma non si tratta qui di rappresentarsi gli elementari processi fisiologici che si traducono nel pensiero, bensì soltanto taluni rapporti generalissimi di questi; e ciò può essere richiesto in un senso analogo a quello di alcune teorie fisiche, nelle quali si riesce ad una rappresentazione dei fenomeni appoggiandosi sopra un ipotetico sostrato meccanico, che non viene per nulla determinato.

Ci sia concesso, per chiarezza, di fissare dapprima alcune ipotesi da cui ci renderemo poi indipendenti in una certa misura.

La prima ipotesi è che l’ideazione si lasci rappresentare fisiologicamente come un insieme di correnti nervose, in qualche modo analoghe a quelle che si possono constatare nel caso delle funzioni cerebrali più basse.

Che cosa sia il fenomeno elementare così designato; se vi sia in un certo gruppo di cellule o di fibre una scarica elettrica o una serie di fenomeni di metabolismo; se si tratti di fenomeni osmotici o di un altro ordine qualsivoglia di fenomeni fisici, chimici o fisiologici; queste sono ipotesi che possiamo lasciare affatto da parte.

Il nostro schema ci raffigura dunque un intreccio complicatissimo di fenomeni che, sotto il nome di correnti, consideriamo come leganti centri o gruppi di cellule cerebrali, secondo azioni e reazioni attraverso certe vie associative.

La seconda ipotesi (che enunciamo qui nella sua forma più restrittiva) è che, nei processi corrispondenti allo sviluppo logico, le correnti possano ritenersi come nettamente localizzate, secondo vie che restino fisse, entro certi gruppi di cellule e di fibre, durante il corso del processo.

Questa ipotesi si può, in un certo senso, giustificare sulla base di due considerazioni.

La prima è il principio che «la corrente nervosa tende a ripetersi secondo le vie già percorse».

Questo principio, che non implica alcuna intima conoscenza della corrente nervosa, costituisce un’ipotesi generalmente accolta dai neurologisti, qualunque sieno del resto le loro particolari vedute intorno alla costituzione istologica dei tessuti costituenti la sede dei fenomeni.

Invero l’ipotesi suddetta:

1) sta a fondamento della ordinaria spiegazione genetica dei riflessi;

2) porge il filo conduttore delle ricerche sulle localizzazioni cerebrali, il cui concetto, comunque debba essere allargato e complicato colla veduta dell’integrità dell’organo, resta sempre confermato da un piccolo numero di resultati sperimentali, concordanti coll’osservazione di alcuni casi clinici;

3) spiega bene lo svilupparsi delle funzioni vicarie, in seguito all’estirpazione di qualche parte della corteccia cerebrale.

Ora la disposizione fisiologica delle vie nervose a divenire più permeabili alle correnti da cui furono ripetutamente percorse, tende a produrre la fissità delle vie associative, porgendo così il fondamento più naturale della legge psicologica di associazione per abitudine, siccome è stato notato fino da Descartes e da Locke¹².

Ma all’incontro della suddetta tendenza agiscono i molteplici stimoli esterni, e le mutue reazioni delle stesse correnti cerebrali, le une sulle altre.

Perciò in un modello che abbracci generalmente tutta la serie dei processi cerebrali, rappresentati come un sistema di correnti, le vie associative non potrebbero ritenersi nettamente localizzate.

Ma riferiamoci ora ad una seconda considerazione, cioè al fatto generale della inibizione esercitata dai centri superiori sugli inferiori.

Se in un dato processo intervenga un atto inibitorio ad isolare, per dir così, le correnti dalle azioni perturbatrici delle correnti vicine, apparirà naturale di supporre che queste risultino, fino a che duri l’inibizione, localizzate entro vie fisse.

La nostra seconda ipotesi fondamentale si può dunque ritenere giustificata, se si ammette che «all’affermazione di un oggetto del pensiero logico, o alla supposizione di un concetto, corrisponda un atto inibitorio che agisce sui processi fisiologici corrispondenti, nel modo anzidetto».

L’ipotesi della localizzazione del pensiero nei processi logici, può essere intesa del resto in largo senso. Il modo di esporla più chiaramente consiste nel riferire gli oggetti pensati a parti istologicamente determinate dei tessuti cerebrali, come esse si mostrano all’esame microscopico, cioè a gruppi di cellule o di fibre. Ma non è veramente necessario di dare alla teoria questo preciso significato anatomico; ciò che in ultima analisi giuoca nelle spiegazioni seguenti è una certa invarianza dei processi cerebrali che si compongono in un processo più complesso durante l’associazione logica, ed una tale invarianza potrebbe anche venire intesa in sensi diversi.

§ 40. Spiegazione degli assiomi.

Vediamo in qual modo le ipotesi adottate sul meccanismo del processo logico permettano di spiegare il rapporto fra le leggi del pensiero ed i fatti implicati dalla realtà obiettiva della Logica.

Il rapporto fondamentale è che «le proprietà reali degli insiemi di oggetti, sotto certe condizioni d’invarianza di questi, vengono espresse dagli assiomi, i quali esprimono d’altra parte le leggi operative dell’associazione logica».

Questo rapporto risulta spiegato in quanto che l’associazione logica corrisponde, nel nostro schema, all’avvenimento simultaneo di correnti che decorrono secondo vie costanti, e quindi, nello aspetto fisiologico del pensiero, associare equivale a comporre processi cerebrali invariabili.

Secondo la spiegazione precedente, il verificarsi degli assiomi nel raziocinio, potrebbe essere constatato sperimentalmente da un osservatore capace di seguire i processi cerebrali corrispondenti e di riconoscere che essi non vengono modificati (fino ad un certo punto almeno) per la circostanza di svolgersi simultaneamente. La illogicità del raziocinio risulterebbe da un indebolimento dei poteri inibitori per cui i suddetti processi reagirebbero gli uni sugli altri, in modo da modificare le vie percorse dalle correnti, il che potrebbe essere constatato dal nostro supposto osservatore. Questa ipotesi trova riscontro nelle condizioni psicologiche (già notate nel § 26) degli uomini poco logici, i quali sono incapaci di fare astrazione sistematica dai sentimenti che accompagnano certe associazioni e tendono a modificare il prodotto.

§ 41. Sulla rappresentazione di causa.

Le stesse ipotesi fisiologiche permettono di render conto delle principali circostanze attinenti all’aspetto rappresentativo della causa.

Lo stato psicologico dell’attesa, che esprimiamo ammettendo invariabile un rapporto invariato tra sensazioni, si lascia interpretare fisiologicamente come un eccitamento dei centri cerebrali che sono la sede di certe immagini sensoriali. Quest’eccitamento si può produrre, in virtù di associazioni stabilite, quando si risveglino le immagini sensoriali connesse.

Così appunto dobbiamo figurarci, dal punto di vista fisiologico, la rappresentazione di causa ed effetto.

Ora dunque, perchè una successione costante di sensazioni venga rappresentata come una dipendenza causale, occorre che fra le immagini dell’antecedente e del conseguente si stabilisca una associazione psicologica.

Nella rappresentazione causale che designamo colla parola «come», si legano due immagini nettamente distinte; in quella che risponde alla parola «perchè» si ha invece una serie di immagini associate per contiguità. In quest’ultimo caso dunque, a differenza del primo, la rappresentazione del rapporto di causa si presenta come un processo cerebrale nettamente definito nella sua continuità, cioè come una corrente o una serie di correnti, che stabilisce un nesso fra l’immagine della causa e quella dell’effetto.

Secondo il principio che le correnti nervose determino col loro passaggio le vie associative, abbiamo dunque qui non solo l’associazione fra due immagini, ma la condizione fisiologica del loro associarsi. E ciò spiega il sentimento di necessità che si accompagna a codesta associazione.

Le osservazioni precedenti ci palesano la differenza fisiologica tra i due ordini di rappresentazioni causali, in cui l’antecedente e il conseguente sono i fenomeni estremi di una serie continua, oppure restano invece nettamente distinti. Nel caso delle così dette spiegazioni metafisiche, la serie continua dei fenomeni che lega la causa all’effetto non è realmente data, ma semplicemente supposta.

Il valore psicologico di una tale supposizione si lascia agevolmente comprendere: essa costituisce un termine medio tra l’antecedente ed il conseguente che voglionsi legare in un rapporto causale; questo termine medio è una serie di associazioni per contiguità già bene stabilite, cui i suddetti antecedente e conseguente vengono riattaccati come estremi.

Pertanto, nella tendenza alle spiegazioni metafisiche, considerata sotto l’aspetto fisiologico, ravvisiamo l’espressione di una legge di minimo sforzo, per cui le nuove associazioni rappresentanti rapporti causali tendono ad effettuarsi attraverso le vie associative, già segnate da altri processi abituali.

Tali sono le conclusioni induttive di un’analisi che, esposta con tutte le riserve sembraci non dovere essere giudicata ricerca temeraria ed inane, neppure da chi sia meno disposto a scorgere in essa un passo qualsiasi verso la soluzione di un alto problema.

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Note

1. Vedasi il «Formulaire de Mathématiques» che si pubblica a Torino sotto la direzione di G. Peano, ed a cui collaborano Padoa, Pieri, Vacca, Vailati, ecc.
2. Vedasi l’articolo di F. Enriques: «Prinzipien der Geometrie» nella «Enciclopedie der mathematische Wissenschaft», edita da Teubner, Lipsia.
3. Si prova matematicamente l’impossibilità della dimostrazione, appena sieno precisati con opportuni postulati, rispondenti all’ordinaria intuizione, i concetti di «linea» e di «lunghezza di una linea».
4. Cfr. i collectanea di F. Enriques: «Questioni riguardanti la Geometria elementare», Bologna, Zanichelli 1900; passim ed in ispecie l’art. monografico di A. Guarducci.
5. «La proprietà è il diritto di godere e disporre delle cose nella maniera più assoluta, purchè non se ne faccia un uso vietato dalle leggi e dai regolamenti».
6. Cfr. Enriques-Fano: «Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. IX (1894)».
7. Non si deve confondere l’induzione matematica, per cui si argomenta da n ad n + 1..., coll’induzione completa aristotelica, cui si è accennato nel § 1, e per la quale si argomenta del concetto astratto di una classe ciò che si suppone noto per ciascuno degli oggetti che la compongono. L’induzione matematica è stata scoperta molto più tardi; secondochè il Vailati mi comunica, essa risale a Maurolico (1550).
8. La questione della compatibilità dei postulati dell’Aritmetica è stata messa all’ordine del giorno dalle comunicazioni di D. Hilbert ai recenti congressi di matematiche (Parigi, 1900; Heidelberg, 1904). Hilbert ricerca una dimostrazione logica; ma noi non comprendiamo bene in qual senso sia da intendere la veduta dell’illustre geometra.
   Alle comunicazioni anzidette si collega uno scritto polemico di A. Padoa, che sostiene (senza distinzione delle esperienze) il punto di vista empirico; alle opinioni di questo autore si contrappongono in parte le osservazioni del nostro precedente paragrafo.
9. La recente comunicazione di Landolt all’Accademia di Berlino (1908) riferisce invece l’ultima conclusione dei suoi studii, che il principio di Lavoisier è bene verificato nell’ordine degli errori di osservazione non eliminabili. Tuttavia la discussione sollevata dalle precedenti ricerche conserva il suo interesse filosofico. (Aggiunta alla 2ª edizione).
10. Così appunto il Fiorentino spiega l’attributo di «incondizionato» che Stuart Mill dà all’antecedente causale.
11. Manuale di Economia politica — Milano, 1906.
12. W. James: «Principii di Psicologia», trad. it., pag. 403, dice che la scienza moderna non ha trovato da perfezionare questa antica spiegazione.