Problemi della scienza/Capitolo IV

by Federigo Enriques

Capitolo IV - La Geometria

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Federigo Enriques - Problemi della scienza (1906)

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capitolo iv.

LA GEOMETRIA

A - Il significato reale della Geometria.

§ 1. Introduzione.

Alla Geometria sembra doversi concedere un posto d’onore nel campo degli studii filosofici!

In Grecia essa fu mezzo possente di educazione intellettuale, e unitamente alla Rettorica, contribuì ad edificare la scienza del ragionamento; alla quale la nuova critica geometrica reca oggi ancora, come si è visto, una vivida luce. D’altra parte il movimento del pensiero che accompagna il sorgere della nostra civiltà europea, s’inizia con una scuola di filosofi geometri. Discende infatti da Des Cartes, e riceve poi nuovo impulso dal Leibniz, quella filosofìa razionalista che, nella controversia coll’empirismo, educò gli spiriti, facendosi istrumento del progresso onde uscirono le moderne vedute. Anche i due pensatori che hanno esercitato la massima influenza sulla speculazione del secolo decimonono Emanuele Kant e Augusto Comte, attinsero in gran parte la loro forza ad una educazione geometrica. Ma soprattutto il progresso della Geometria in questo secolo è venuto ad agire direttamente sopra lo sviluppo del razionalismo, che allontanatosi dal suo paese di origine si librava in più alti e arditi voli, mediante un resultato veramente meraviglioso: la costruzione delle Geometrie non euclidee. Per la quale si rese manifesto che le nostre nozioni geometriche, in quanto si riferiscono alla realtà sensibile, non possono in alcun modo pretendere a quella rigorosa certezza, che fu tenuta come uno degli argomenti più forti in favore del loro carattere a priori.

Nuove idee e più arditi sviluppi della filosofia geometrica nascono da codesta veduta, e per più vie tendono ad illuminare il problema fisico della struttura dello spazio; dalle ricerche di Gauss, Lobatschewsky, Bolyai, Riemann, Helmholtz, fino alle più recenti, che abbiamo esposte nel nostro articolo sui «Principii della Geometria» citato a pag. 117, ed alle quali accenniamo in parte nei seguenti paragrafi.

§ 2. Realismo e nominalismo.

Contro gli accennati sviluppi, o almeno contro l’interpretazione loro, accolta generalmente dai matematici, si solleva ancora dai filosofi della scuola kantiana la tesi pregiudiziale: non potersi parlare della Geometria come di una scienza fisica, perchè lo spazio non risponde ad alcun oggetto reale, ma esprime soltanto una forma subiettiva della sensibilità.

E questa tesi nominalistica si rinnova, sotto altra veste, in più recenti sviluppi critici.

La controversia fra il realismo e il nominalismo geometrico, è una delle più delicate ed importanti per riguardo alla filosofia in generale. E si tratta non tanto di decidere fra due opinioni contraddittorie nettamente poste, ma, come spesso accade, di determinare il senso in cui le due tesi possono tenersi valide, senza contraddizione.

Da un tale esame risulterà dunque chiarito come il resultato negativo, a cui conducono certe posizioni del problema dello spazio, non tolga la possibilità di un modo legittimo di considerare il realismo geometrico, cui si collega il resultato positivo di mettere in luce i fatti contenuti nella Geometria.

Così alla tesi di Kant che nega l’esistenza di un oggetto reale rispondente alla parola «spazio», si oppone con Herbart il riconoscimento della realtà dei «rapporti spaziali»; e al nominalismo, recentemente sostenuto da Poincarè, che mette in luce come codesti rapporti non abbiano un significato reale indipendente in modo assoluto dai corpi, si contrappone una più precisa valutazione della Geometria, intesa come parte della Fisica.

§ 3. Spazio e spaziale.

Proponiamoci la domanda «che cosa sia lo spazio», e cerchiamo di rispondervi con una critica adeguata.

Consideriamo un corpo qualunque; sia p. es. un pezzo di rame, o di ferro ecc., il quale si trovi immerso nell’aria, o nell’acqua, o in un altro ambiente qualsivoglia. La nozione di codesto corpo ci permette di distinguere certe sensazioni che si riferiscono alla materia dentro o fuori di esso.

Innumerevoli casi, diversi per la costituzione materiale del corpo o del mezzo che lo contiene, presentano tuttavia qualcosa di comune, per cui astraendo dalle particolarità sensibili che riattacchiamo al rame o al ferro, all’aria o all’acqua ecc., acquistiamo la nozione di un «modo speciale di separare la materia dalla materia», che è il contenuto obiettivo dei concetti di solido e di superficie.

Ora si abbia p. es. una palla sferica, capace di divenire sempre più grande. Si dice che quando essa sia divenuta infinita, avrà riempito tutto lo spazio.

Non fa meraviglia che codesto procedimento trascendente, conduca ad attribuire alla parola «spazio» un senso affatto illusorio! Invero, poichè la nozione di una sfera implica un modo di distinguere le sensazioni riferentisi al di dentro e al di fuori di essa, una sfera infinita, non corrispondendo ad alcuna separazione di tal genere, non ha più alcun significato reale. Ed ecco come lo spazio, definito in tal modo, resta un nome vano senza soggetto.

Occorre prolungare una siffatta critica negativa? Ci sovviene invincibilmente al pensiero, il ragionamento di Don Ferrante nei «Promessi Sposi» del Manzoni, per cui egli dimostra che il contagio della peste non può essere sostanza nè accidente....

La stessa analisi svolta mette in luce che, all’infuori del senso trascendentale della parola, resta un significato fisico effettivo ai rapporti spaziali o di posizione dei corpi, il cui insieme può ancora essere denotato colla parola «spazio», positivamente presa.

Che invero codesti rapporti contengano una conoscenza reale, risulta da ciò che le relazioni di allineamento, equidistanza ecc. corrispondono ad un accordo fisso fra certi atti volontarii e le sensazioni che ne seguono. Anzi nulla di più fisso e preciso delle previsioni geometriche.

§ 4. Critica dei rapporti spaziali.

L’accezione della parola «spazio» che designa un corpo infinitamente grande, non è la sola che riposi sopra un procedimento di definizione trascendente e conduca perciò ad una conclusione nominalistica. Anche i rapporti spaziali possono venire intesi trascendentalmente, sia attribuendo un senso assoluto alla loro generalità, sia accordando loro una infinita esattezza, due modi d’interpretazione che appariscono del resto legati l’uno coll’altro.

La generalità della Geometria consiste in questo, che: le distinzioni spaziali non dipendono dalla materia che viene distinta, p. es. come al di fuori o al di dentro rispetto ad una sfera data. Ora tale indipendenza significa soltanto la coesistenza o la possibilità di tante distinzioni analoghe riferentisi ugualmente a materie diverse, non una relazione fisica assolutamente generale, propria dello spazio in sè, la quale conservi un senso all’infuori di ogni materia.

La pretesa di dare alla Geometria un significato prescindente dai corpi si collega a quella di cercare nei suoi rapporti una infinita o assoluta esattezza. Imperocchè, respinta codesta interpretazione della generalità geometrica, l’esattezza che spetta alla dottrina matematica, non può essere riportata al mondo fisico in una immediata applicazione di essa, da chi osservi che niun oggetto reale cade sotto i concetti matematici di «punto», «linea», «superficie», «retta», «piano», «distanza» ecc.

All’ovvia constatazione della non sussistenza di tali oggetti, si può aggiungere anzi che, nella realtà fisica, non è neppur dato di accostarsi oltre un certo limite al modello di una delle suddette figure geometriche; si trova anzitutto un limite relativo ai nostri sensi, che tuttavia può venire rimosso col sussidio di opportuni istrumenti; ma s’incontra ancora un nuovo limite nella imperfezione di questi, e non soltanto sotto l’aspetto pratico bensì anche in quello teorico, così p. es. la lunghezza delle onde luminose costituisce un limite teoricamente non sorpassabile alla precisione della vista, comunque munita di microscopio.

§ 5. Il nuovo nominalismo di H. Poincarè.

L’impossibilità di dare ai rapporti spaziali dei corpi un senso che prescinda dai corpi stessi, e la non esistenza di oggetti reali rappresentati dai concetti matematici di «punto», «linea» ecc., viene interpretata da H. Poincarè¹ come una refutazione decisiva del realismo geometrico.

Sebbene nell’opera citata non si trovi una critica preventiva di ciò che può significare lo «spazio», il senso trascendente che l’autore attribuisce alle relazioni geometriche risulta chiaro da qualche brano dei suoi scritti che qui riportiamo:

«Les expériences ne nous font connaître que les rapports des corps entre eux: aucune d’elles ne porte ni peut porter, sur les rapports des corps avec l’espace, ou sur les rapports mutuels de l’espace» (op. cit., pag. 100).

«Direz-vous que si les expériences portent sur les corps, elles portent du moins sur les propriétés géométriques des corps. Et d’abord, qu’entendez-vous pour propriétés géométriques des corps? Je suppose qu’il s’agit des rapports des corps avec l’espace....» (op. cit., pag. 101).

«.... il n’existe pas de propriété qui puisse.... être un critère absolu permettant de reconnaître la ligne droite et de la distinguer de toute autre ligne.

«Dira-t-on par exemple: — cette propriété sera la suivante: la ligne droite est une ligne telle qu’une figure dont fait partie cette ligne peut se mouvoir sans que les distances mutuelles de ses points varient et de telle sorte que tous les points de cette ligne restent fixes? —

«Voilà en effet una propriété qui.... appartient à la droite et n’appartient qu’à elle. Mais comment reconnaîtra-t-on par expérience si elle appartient à tel ou tel objet concret? Il faudra mesurer des distances, et comment saura-t-on que telle grandeur concrète que j’ai mesurée avec mon instrument matériel représente bien la distance abstraite?» (pag. 94-95).

Ora da tali osservazioni risulta soltanto confermata la conclusione già enunciata innanzi, e del resto evidente: i rapporti geometrici puri sono una astrazione cui non risponde nulla di reale; i concetti geometrici elementari (punto, retta ecc.) sono parimente un’astrazione che non trova esatto riscontro in alcun oggetto. Essi servono dunque come simboli ad esprimere certi rapporti di posizione dei corpi, che vengono enunciati mediante le proposizioni della Geometria.

Se l’analisi del Poincarè si limitasse a questo, essa sarebbe invero irrefutabile. Ma l’illustre autore è andato più avanti, concludendo che le stesse proposizioni geometriche non coprono alcun fatto reale, ma debbonsi ritenere come un puro sistema di convenzioni, mediante le quali si esprimono i fatti fisici, così come le grandezze si riferiscono ad un sistema di misure. Il sistema può esser comodo, ma nulla vieta di cambiarlo. Domandare se un fenomeno sia possibile secondo una certa ipotesi geometrica e impossibile nell’opposta, equivale a domandare se vi sono delle lunghezze esprimibili in metri e non in piedi inglesi (cfr. op. cit., pag. 93).

Questa conclusione non ci sembra accettabile. Infatti, la circostanza che le proposizioni geometriche vengono teoricamente espresse mediante rapporti fra concetti, che nella loro accezione matematica sono da ritenere come simboli, non basta a conferir loro una convenzionale arbitrarietà rispetto al mondo fisico, dove quei simboli trovano una rispondenza approssimativa in certi oggetti, da essi in tal modo rappresentati.

Ad eliminare i dubbi, Poincarè ha cercato di convalidare la sua tesi con talune geniali costruzioni artistiche; si tratta di immaginare condizioni fisiche per le quali lo stesso spazio in cui viviamo apparirebbe dotato di proprietà differenti da quelle della nostra Geometria. E basta a tal uopo supporre che i corpi, movendosi si deformino secondo certe leggi, ad es. per effetto di un mutamento di temperatura che dipenda dalla loro posizione, che la luce non si propaghi in linea retta, subendo l’effetto di un mezzo rifrangente distribuito opportunamente in un campo spaziale ecc. (op. c., pag. 84 e seg.).

Ma un esame approfondito di codesti esempii, mostrerà come le ipotesi suddette, ove si interpretino positivamente, con riguardo alla relatività delle nostre conoscenze, implichino un reale cambiamento dello spazio, cioè dei rapporti significati con questo nome.

Nel nostro mondo i corpi misurabili, gli uni rispetto agli altri, grazie alla possibilità che ci è data di muoverli indipendentemente dalla variazione del loro stato fisico: il riscaldamento, il raffreddamento o la pressione, modificano è vero i termini del confronto richiesto dalla misura, ma queste modificazioni sono accidentali per riguardo alla posizione reciproca dei corpi stessi, e perciò la Geometria non ha da tenerne conto.

Nel modo immaginato da Poincarè la temperatura sarebbe invece un vero carattere geometrico, giacchè tutti i corpi (compreso il nostro organismo) avrebbero la temperatura appartenente al posto che essi occupano; non essendo più possibile di portare a contatto e quindi di confrontare le dimensioni di corpi diversamente caldi, non si potrebbe più dire che «i corpi si dilatano colla temperatura». Pertanto, nel mondo suddetto, la Geometria sarebbe realmente e non solo apparentemente diversa dalla nostra.

L’affermazione contraria prende la realtà come opposta alla apparenza in un senso trascendentale; oppure contraddice ai dati dell’ipotesi, introducendo surrettiziamente, in quel mondo, un giudice fatto a nostra immagine, che si sottrae alle leggi in esso stabilite!

Si può istituire una critica analoga relativamente all’ipotesi che la luce non si propaghi in linea retta.

Nulla di più facile, da un punto di vista astratto, che accettare una tale ipotesi! Non viene essa realizzata di fatto, in un qualunque mezzo eterogeneo, secondo le leggi della rifrazione?

Ma l’eterogeneità del mezzo, che si può constatare con appropriate esperienze fisiche, è ancora rispetto al fenomeno qualcosa di accidentale; le traiettorie dei raggi luminosi possono in questo caso essere cambiate, alterando la disposizione del mezzo stesso nel campo delle nostre esperienze. Che cosa significherebbe invece un mezzo eterogeneo, con una distribuzione spaziale fissata, un etere p. es. diversamente costituito, le cui parti non mutino le une rispetto alle altre col muoversi dei corpi? Non si creerebbe con questa ipotesi un mondo geometrico diverso dal nostro, che riconosciamo come omogeneo?

Ad approfondire tali questioni giova rendersi conto del significato fisico della «linea retta».

Il concetto della retta scaturisce dallo studio di diversi ordini di fenomeni:

1) da quello dei movimenti dei corpi solidi, ove la retta si presenta come asse i cui punti restano immobili in una rotazione (quindi come filo teso ecc.);

2) dalla Dinamica dei punti materiali, ove la retta si presenta come traiettoria di un punto, il cui movimento non sia modificato dalla permutazione dei corpi circostanti;

3) dall’Ottica, e in generale dallo studio delle radiazioni, ove la retta si presenta come raggio o linea di simmetria del fenomeno, in un qualsiasi mezzo ambiente che, mediante determinate esperienze di confronto, possa ritenersi omogeneo.

Principalmente la prima e la terza proprietà della retta, valgono a definirla rispetto ai nostri sensi, del tatto e della vista; mentre la seconda potrebbe forse servire di base ad una definizione di essa relativamente al senso muscolare.

Ora, così l’una come l’altra di queste definizioni della «retta» permettono di fondare un sistema geometrico; in particolare si possono avere, una Geometria (metrica) dei solidi, ed una Geometria ottica (o proiettiva).

L’accordo dei varii modi di riguardare la retta, come asse e come raggio, è un fatto fondamentale per cui ci è dato di cogliere i due diversi ordini di fenomeni in una unica rappresentazione geometrica. Alla quale anche gli altri fenomeni noti, ed in ispecie i dinamici, si lasciano ricondurre.

Il fondamento di codesta rappresentazione è che certe condizioni di omogeneità del mezzo portino una simmetria dei fenomeni rispetto a certe linee; tale rapporto di dipendenza costituisce nel suo vero senso fisico l’omogeneità dello spazio.

Nulla vieta d’immaginare che le molteplici concordanze, il cui insieme viene enunciato colla simmetria anzidetta, non sussistano realmente, quando si esaminino i fatti con esperimenti più precisi; ma, in tal caso, si tratterebbe di ben altro che di rettificare semplicemente una proposizione della teoria della luce; imperocchè l’insieme dei fatti che vengono significati dalla ipotesi della linea retta riuscirebbe smentito in quell’ordine progredito di approssimazione.

§ 6. La Geometria come parte della Fisica.

I filosofi che, conferendo alla Geometria un senso trascendente, vengono condotti al nominalismo, appariscono vittime di una illusione fondamentale che deriva dal riguardare le conoscenze come compiute, nell’aspetto attuale, senza tener conto della loro genesi.

Questa è appunto la veduta della Scienza, che Kant ha tratto dalla sistemazione di Newton; la gerarchia scientifica, nella quale i rapporti più complessi appariscono subordinati ai più semplici, viene presa da lui in un senso gnoseologico assoluto.

Così in particolare, la circostanza che la Geometria preceda in una esposizione dommatica la Meccanica e la Fisica, e che le cognizioni geometriche stieno alla base dello stesso metodo sperimentale nelle ricerche fisiche, si converte in un rapporto di dipendenza necessaria che trova la sua espressione nell’«a priori» kantiano. E, risalendo dalla critica della conoscenza scientifica alla critica della conoscenza volgare, l’intuizione dei rapporti di spazio, che presiede ai processi associativi delle nostre sensazioni attuali (della vista e del tatto), è riguardata come a priori rispetto a queste sensazioni; separato dai dati sensibili (presi fittiziamente come elementi semplici ed isolati nello spazio e nel tempo), l’ordine spaziale viene concepito come un quadro che la mente vi aggiunge, ed in cui essi trovano posto.

Ora tutta questa costruzione gnoseologica è stata superata da una veduta più adeguata dello sviluppo delle conoscenze, che costituisce il più sicuro acquisto della filosofia evoluzionista.

Il fatto generale che l’esperienza si interpreta per mezzo di conoscenze anteriori, e che ogni fase del progresso scientifico è analogamente sottomessa ad una fase precedente, si accetta oggi in un senso diverso; non più stabilendo una gerarchia assoluta delle scienze, ma riconoscendo il graduale sviluppo di ciascuna, per cui certe nozioni più semplici o suscettibili di maggior precisione si distaccano dalla massa dei dati empirici bruti, fino a costituire un corpo di dottrina relativamente autonomo.

Pertanto la Geometria anzichè essere ritenuta come necessariamente precedente alla Fisica, viene ad esserne considerata una parte, assorta ad un alto grado di perfezione in virtù della semplicità, della generalità e della relativa indipendenza dei rapporti in essa compresi.

Ora quando le proposizioni geometriche sieno prese m un senso fisico, le previsioni concrete che esse contengono risultano legate ad elementi di fatto che si considerano di solito come non geometrici. Perciò i teoremi della Geometria teorica appariscono soltanto come l’espressione simbolica di rapporti fisici, incompiutamente enunciati, che vengono determinati nelle applicazioni concrete.

Rispetto a queste, la forma precisa dei teoremi rappresenta soltanto un grado di approssimazione, che può essere spinto più innanzi ove si convertano le eguaglianze in diseguaglianze, come si vede nell’esempio che segue:

Consideriamo il teorema «gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali».

Nella realtà esistono degli oggetti (triangoli fisici) che, con una certa approssimazione, si lasciano rappresentare dal concetto del triangolo.

Costruiamo uno di questi modelli, con tre sbarre sottili di ferro o con un disegno sulla carta. Misuriamone col metro due lati, col goniometro i due angoli opposti.

La misura reale di un lato è rappresentata da due numeri, la cui differenza (sia m. 0,0001) è relativa alla perfezione dell’istrumento; essa si esprimerà dicendo che la lunghezza del lato vale p. es. m. 3,4576, a meno di un decimo di millimetro per difetto, cioè che essa è compresa fra m. 3,4576 e m. 3,4577.

Se i due lati del triangolo in questione sono misurati ugualmente, nel senso anzidetto, dal numero 3,4576, il triangolo si riterrà come «isoscele»; la nostra premessa è dunque che «i due lati sono uguali a meno di m. 0,0001».

Ora la misura dei due angoli del triangolo, opposti ai lati suddetti, ci viene data dal goniometro.

Il teorema enunciato di sopra ci avverte che la differenza tra i due angoli sarà molto piccola, e quindi le loro misure saranno uguali in un ordine d’approssimazione dipendente da quello in cui la premessa (relativa ai lati) trovasi verificata.

Ma questa è soltanto una indicazione vaga.

Quando si voglia il significato preciso del teorema nella realtà, bisogna trasformarlo nel modo seguente:

«Se due lati di un triangolo differiscono per meno di una certa lunghezza ε, i due angoli opposti differiranno per meno di una quantità τ, dipendente da ε secondo una certa legge». Ed occorre quindi completare il teorema stesso col trovare una funzione f (ε) tale che sia, per ε inferiore a un certo limite, τ < f (ε).²

Con un facile calcolo si trova (essendo τ espresso in gradi)

$\tau <61\cdot {\frac {\varepsilon }{a}},$

dove a esprime, a meno di ε per difetto, la lunghezza dei lati sensibilmente uguali del nostro triangolo; nel nostro caso

(ε < 0,0001,     a > 3)

si avrà quindi

τ < 1″.

Allorchè i teoremi della Geometria sieno convertiti da eguaglianze in diseguaglianze, nel senso illustrato innanzi, si riconosce che essi rappresentano una parte dei rapporti di posizione fra i corpi; quello che bisogna aggiungervi, nelle varie applicazioni concrete, tiene appunto alla natura di questi corpi stessi (al calore, alle forze che vi agiscono ecc.), ed è riguardato come estraneo alla Geometria teorica.

Sebbene la distinzione fra teoria ed applicazione s’introduca solo convenzionalmente a semplificare la veduta della realtà, codesta semplificazione è resa possibile dalla sussistenza di una regolarità statistica che si sovrappone alla irregolarità dei fenomeni, e si lascia interpretare colla supposizione di fatti geometrici generali e precisi riferentisi a condizioni ipoteticamente semplici.

§ 7. Sull’esattezza della Geometria.

Cerchiamo di spiegare ed approfondire questa considerazione, in ordine al modo di apprezzare l’esattezza della Geometria.

La verifica diretta di una proprietà geometrica, in ogni singolo caso, non può superare un certo limite d’approssimazione, il quale può essere segnato a priori in rapporto al limite che già abbiamo riconosciuto nella realizzazione degli oggetti stessi della Geometria. Ma se la proprietà anzidetta si considera come un’ipotesi relativa a condizioni teoricamente semplici, la verifica si allarga con tanti modi di prova indiretti, alla cui esattezza non può più segnarsi a priori limite alcuno.

In questo senso la Geometria appare come un sistema di supposizioni generali, il cui significato consiste nell’insieme dei fatti che ne derivano, e si connette perciò ad una serie di esperienze illimitatamente proseguibili.

Così appunto abbiamo già interpretato l’esistenza della linea retta come la supposizione di una generale simmetria fenomenica, alla quale possono riattaccarsi verifiche delle proprietà della retta molto più precise di quella che viene fornita immediatamente dalle proprietà degli assi di rotazione dei corpi solidi.

Importa di fissare questo punto: le verifiche indirette, legate alla supposizione di un rapporto geometrico, hanno un senso nonostante l’impossibilità di realizzare (nell’ordine di approssimazione richiesto) le condizioni semplici cui il rapporto stesso si riferisce.

Ciò risulta soprattutto luminosamente dalla considerazione statistica cui sopra accennammo. Negare l’ipotesi geometrica significa ammettere una causa di errore sistematica che, sovrapponendosi alle varie condizioni reali, può palesarsi in un gran numero di verifiche, come distinta dalle irregolarità accidentali.

Così, per riferirci ad un esempio già considerato innanzi, la imperfezione dei modelli e l’imprecisione delle nostre misure può bene lasciarci scorgere un errore nella verifica del teorema che «gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali», ma in un gran numero di costruzioni grafiche basate sul detto teorema, questi errori accidentali tendono a compensarsi. Onde in tal senso appare che l’inesattezza dell’applicazione non infirma l’esattezza del teorema.

Si provi invece ad eseguire replicatamente, in una serie di disegni, una costruzione approssimata, ad es. quella di Specht per la rettificazione della circonferenza; in tal caso s’introduce una causa d’errore sistematica, che diverrà sempre più sensibile, in un gran numero di esperienze.

Ora dunque l’esattezza della Geometria riceve un significato preciso; è un ipotesi, in ogni momento del progresso scientifico verificata fino ad un certo punto, dalle esperienze fatte, la quale anticipa il resultato di altre esperienze possibili. Ed è chiaro che codesta ipotesi non potrà mai essere definitivamente provata, poichè la serie delle esperienze possibili è illimitata; nulla osta invece che essa possa venire negata.

Tuttavia non si giunge a comprendere bene il dubbio che qui si solleva, se non facendo vedere come si riesca ad immaginare un’ipotesi opposta, altrettanto definita e coerente come la Geometria ordinaria.

Questo appunto fu dato dalla costruzione della Geometria non-euclidea, la quale dimostrò che, senza contraddire i fatti su cui si basano le definizioni degli enti geometrici fondamentali, si possono fare delle ipotesi inconciliabili coll’esattezza della ordinaria Geometria, che si esprimono invece con una vera e propria Geometria, diversa dalla nostra.

§ 8. Lo spazio come concetto: la Geometria astratta.

Ad evitare malintesi, cominciamo dall’osservazione seguente:

Lo spazio, riguardato nella mente del geometra, non è soltanto una intuizione, secondo la quale si ordinano le immagini sensoriali, bensì è anche un concetto, come i geometri non hanno cessato di affermare da Leibniz in poi.

È un torto della critica kantiana di avere disconosciuto questo significato psicologico della parola «spazio», di cui non può fare a meno la Geometria, se voglia rivestire la forma logica di una scienza deduttiva.

Vanamente si obietta che un concetto suppone più determinazioni possibili, laddove lo spazio risponde ad un particolare determinato. Coloro che attribuiscono ancora un valore a codesto vecchio argomento, sembrano ignorare il significato logico, astratto, che lo spazio ha acquisito presso i geometri contemporanei.

Il concetto dello spazio, nella sua accezione matematica, rappresenta l’insieme dei rapporti (geometrici) fra i punti, fatta astrazione delle sensazioni particolari che si riattaccano all’immagine del punto. Lo spazio viene così pensato come una varietà di elementi qualunque, cui si dà il nome di «punti», perchè sono dati in certe relazioni di ordine atte a rappresentare, con una grande approssimazione i rapporti di posto intercedenti fra i corpi molto piccoli (punti fisici).

Abbiamo già avuto luogo di ricordare, come Pluecher abbia insegnato a trar profitto da questa indeterminazione, che si lascia all’oggetto denotato colla parola «punto», per studiare, sotto il nome di spazio, forme geometriche molto diverse.

Si dia, p. es., il nome di «punti» ai «cerchi» d’un piano, e si fissi, in modo conveniente, ciò che si vuole intendere per «distanza» di due cerchi, e quali sistemi di cerchi si vogliano designare col nome di «rette» e di «piani». Queste definizioni debbono essere poste in modo, che le elementari proprietà geometriche relative allo spazio ordinario (postulati), si traducano in proposizioni valide per la Geometria dei cerchi.

Quando tale condizione sia soddisfatta, viene stabilito un riscontro fra lo spazio ordinario di punti, e codesto spazio convenzionale di cerchi; ad ogni figura di punti si contrappone una figura di cerchi, ed ogni proposizione concernente la prima si traduce, secondo la dualità posta, in una proposizione concernente la seconda.

Quando si prosegue il principio di Pluecher, nel campo delle applicazioni geometriche, sembra naturale di porre a riscontro collo spazio fisico anche delle varietà di elementi, nelle quali vengano soddisfatte soltanto in parte le proprietà che esprimono la traduzione dei postulati geometrici.

Si dà origine così ad una serie di spazii astratti, nei quali valgono Geometrie diverse, costruite tuttavia sopra un fondamento comune.

Ad es. si concepisce una serie di spazii non-euclidei, ove il postulato delle parallele non si trovi soddisfatto; e questa serie, dipendente dal valore di una certa costante, impropriamente detta curvatura, viene a cadere sotto il concetto di uno spazio, più generale dell’ordinario.

Per una ulteriore generalizazzione, si può abbracciare in codesto concetto la serie degli spazii a più dimensioni, o ancora altre varietà più lontane dallo spazio fisico.

Non si deve imporre alcun limite a questo processo di generalizzazione, dipendente soltanto da una convenzione, che il matematico giudica utile di stabilire nell’interesse dei suoi studii.

La teoria degli spazii astratti è veramente una parte essenziale dell’edificio geometrico, elevato nel secolo scorso!

Lasciando di considerare ciò che essa ci ha appreso, nel campo della Analisi matematica, fermiamoci piuttosto a vedere quale interesse possa avere pel filosofo.

L’interesse è duplice, sia per quanto si riferisce alla questione dello spazio fisico, sia per quel che concerne l’origine e lo sviluppo delle nostre conoscenze geometriche.

§ 9. Cenni storici intorno alla costituzione della Geometria non-euclidea.

Dall’epoca d’Euclide, fino ai principii del secolo scorso, era universalmente ammesso che noi possediamo nel concetto dello spazio, quale esso risulta definito dagli assiomi e dai postulati della Geometria greca, una rappresentazione rigorosamente esatta dei rapporti fisici di posizione.

Dubitare di tale esattezza doveva apparire follia agli occhi di ognuno, finchè la rappresentazione suaccennata veniva pensata come unica possibile. Onde non è temerario supporre che il più possente genio non sarebbe mai pervenuto ad una critica così ardita, se non vi fosse stato condotto da un difetto nella costruzione logica della Geometria euclidea.

Poichè si credeva allora che le proposizioni fondamentali della Geometria avessero il carattere di assiomi necessarii come gli assiomi logici e di natura non diversa, mal ci si voleva rassegnare ad aggiungere a questi la proposizione, in qualche modo meno evidente, che costituisce il V postulato di Euclide sulle parallele.

Giova ricordare a questo punto che cosa richieda quel postulato, e quale sia il contenuto delle premesse cui si appoggia la Geometria euclidea.

Nel concetto di Euclide, la Geometria riposa su definizioni, nozioni comuni e postulati. Questi ultimi, chiedendo la possibilità di certe costruzioni elementari, hanno lo scopo di affermare l’esistenza degli enti fondamentali della Geometria, conformemente all’ufficio che i greci attribuivano appunto alla costruzione geometrica (Zeuthen).

Ma veramente altre ipotesi, nettamente distinte dagli assiomi logici, sono contenute in modo implicito tanto nelle definizioni, che nelle nozioni comuni dell’Euclide. E la critica moderna, assumendo i fondamentali concetti geometrici come non definiti, le enuncia egualmente sotto il nome di postulati (cap. III).

Esistono varii modi di enunciare ed ordinare le premesse occorrenti alla Geometria euclidea³. Ci sia concesso di riferirci alla disposizione che informa la nostra raccolta di «Questioni riguardanti la Geometria elementare»⁴, attuata, in armonia coi nostri criterii pedagogici, negli «Elementi di Geometria»⁵ da noi redatti insieme ad U. Amaldi, perchè ivi appunto viene messo appositamente in luce tutto ciò che precede l’ipotesi sulle parallele.

Annoveriamo dunque le premesse che concernono:

1) I postulati relativi alla determinazione di rette e piani e alla loro mutua appartenenza;

2) le proprietà fondamentali della linea retta, come sistema di punti (ordini naturali, segmenti ecc.)⁶;

3) le proprietà della superficie piana rispetto alle sue rette (divisione in parti, angoli);

4) la divisione in parti dello spazio rispetto ad un piano;

5) la possibilità dei movimenti, cioè i principii della congruenza delle figure (da cui seguono i teoremi sui triangoli congruenti o uguali ecc.).

6) il postulato delle paralelle (post. V di Euclide):

Se due rette, in un piano, sono tagliate da una terza per modo che la somma degli angoli coniugati formati con questa da una medesima parte sia minore di due angoli retti, le due rette prolungate s’incontreranno dalla parte suddetta.

A questo postulato (che si può anche sostituire con l’affermazione della unicità della parallela per un punto ad una retta data ecc.) si riferiscono innumerevoli tentativi di dimostrazione, incominciati coi primi commentatori di Euclide (Proclo, Nasir Eddin....) e proseguiti fino a Legendre.

Ma le dimostrazioni proposte, o esplicitamente o nascostamente, ricorrono a qualche altra proposizione, equivalente al postulato V di Euclide, e non contenuta nel corpo di proprietà geometriche basato sulle ipotesi 1) .... 5).

Senza addentrarci nella storia dei tentativi sopra citati, giova a noi e basta tener presenti pochi nomi e poche date, che si legano più da vicino alla costituzione della Geometria non euclidea⁷.

John Wallis (1663) ha rilevato che il postulato delle parallele è necessario fondamento della teoria della similitudine, diguisachè dall’ammettere l’esistenza di triangoli simili si può dedurre la dimostrazione di quel principio.

Girolamo Saccheri, nel suo «Euclides ab omni naevo vindicatus....» (1773), parte dalla costruzione di un quadrilatero con tre angoli retti, e distingue le tre ipotesi che (in relazione alle proprietà 1) .... 5)) appariscono a priori possibili intorno al quarto angolo: che esso sia retto, ottuso o acuto. Dimostra che ciascuna di queste ipotesi si troverà verificata per ogni quadrilatero, nelle condizioni suddette, quando sia verificata in un caso particolare.

Stabilisce quindi, nei tre casi, la proprietà fondamentale di due rette di un piano perpendicolari ad una terza:

nella 1ª ipotesi esse saranno ovunque equidistanti (dal che segue il postulato euclideo delle parallele);

nella 2ª ipotesi, a partire dalla perpendicolare comune, andranno avvicinandosi;

nella 3ª ipotesi, all’opposto divergeranno.

L’ipotesi dell’angolo ottuso (2ª) viene quindi eliminata dal Saccheri, perchè contraddice all’infinità della retta. Contro l’ipotesi dell’angolo acuto l’autore ha addotto argomenti viziosi: ma egli era convinto a priori che tale ipotesi dovesse dimostrarsi impossibile!

Questo errore col quale termina l’opera del Saccheri, non toglie il pregio dei resultati da lui conseguiti, che noi abbiamo innanzi menzionati. Si aggiunga a questi il seguente:

Se vale l’ipotesi dell’angolo ottuso la somma degli angoli di un triangolo qualsiasi è sempre maggiore di due angoli retti; nell’ipotesi dell’angolo acuto essa è all’opposto minore di due retti. Se per un triangolo particolare la somma degli angoli è uguale a due retti, lo stesso accade per ogni triangolo, e sussiste l’ipotesi euclidea.

Quest’ultima conclusione è stata ritrovata, un secolo più tardi da Legendre, al termine dei suoi lunghi studii sulla teoria delle parallele.

J. H. Lambert, nella sua «Theorie der Parallellinien», pubblicata nel 1786 e scritta, pare, venti anni prima, discute nuovamente le tre ipotesi del Saccheri, il cui lavoro, secondo una plausibile supposizione del Segre, potè essergli conosciuto. Conclude che l’ipotesi dell’angolo acuto non può essere così facilmente rigettata come l’altra contraddicente all’infinità della retta.

Sorvolando sull’opera di F. C. Schweikart e di F. A. Taurinus, che la critica storica di Engel e Staeckel ha rivendicato tra i più prossimi precursori della Geometria non euclidea, possiamo dire che la costituzione definitiva di questa è dovuta a Gauss, Lobatschewsky e Bolyai.

Gli studii del primo, incominciati tra il 1792 e il 1797 proseguirono fino al 1832, e ci sono noti soltanto attraverso lettere del grande geometra.

L’opera di Lobatschewsky è contenuta nelle pubblicazioni, incominciate nel corriere di Kazan col 1826, mentre la prima pubblicazione sull’argomento del suo confratello ungherese risale al 1829.

Da Lobatschewsky e Bolyai sono svolte, senza arresti, le conseguenze della terza ipotesi del Saccheri, nella quale due rette di un piano perpendicolare ad una terza vanno divergendo; sono queste conseguenze che vengono a formare un corpo coerente di dottrina geometrica astratta, denominato da Gauss «Geometria non euclidea».

Da tali sviluppi scaturisce la prova della impossibilità di dimostrare il postulato d’Euclide sulle parallele, deducendolo dalle premesse sopra accennate.

Questa prova è implicitamente fornita dalle formule della trigonometria non euclidea, date da Lobatschewsky e Bolyai. Tuttavia i suddetti geometri non riuscirono a metterla in luce, così da escludere che, proseguendo nello studio della Geometria non euclidea, si pervenga mai ad una contraddizione. E lo stesso Gauss, che per proprio conto era giunto da lungo tempo ai principali teoremi di codesta Geometria, sembra aver acquistato la convinzione della sua possibilità logica, soltanto verso il 1830.

Questi particolari non hanno oggi che un interesse storico. La possibilità logica della Geometria non euclidea, e quindi l’indimostrabilità (nel senso accennato) dell’ordinario postulato delle parallele, è ormai fuori questione.

E di più si è pur riconosciuto che anche un’altra Geometria è possibile, ove si tolga dalle premesse 1) .... 5) l’ipotesi della infinità della retta, (prendendo la retta come una linea chiusa): si ha allora un corpo di dottrina geometrica astratto, che prende il nome da Riemann, altrettanto coerente come la Geometria di Lobatschewsky. Mentre questa corrisponde allo svolgimento della ipotesi dell’angolo acuto considerata dal Saccheri, la Geometria di Riemann risponde all’ipotesi dell’angolo ottuso.

Ma non possiamo proseguire il racconto degli ulteriori acquisti, conseguiti dalla scienza matematica in tale ordine d’idee; e lasciamo pertanto di dire quali contributi abbiano portato a questi studii dei geometri come Helmholtz, Beltrami, Cayley, Klein, Clifford, Lie, Poincarè, Veronese, Hilbert⁸.

Vi accenneremo in parte nel seguito. Seguiamo ora i fondatori della Geometria non euclidea nelle concezioni filosofiche suggerite dalla loro scoperta.

§ 10. Il problema dello spazio.

È un carattere peculiare dello spirito umano di essere portato a cercare nel mondo reale i modelli concreti delle sue creazioni. Questa disposizione passa quasi inavvertita presso le menti non nutrite di studii astratti, poichè i concetti che esse formano, resultato di associazioni prossime dei dati sensibili, si presentano appunto, fin da principio, come rappresentanti di oggetti reali. Tuttavia anche in questi casi, il procedimento che estende l’osservazione sperimentale è un procedimento di astrazione, pel quale si genera un concetto, cui si tendono a subordinare immediatamente le osservazioni nuove.

Ma quando si tratta di spiriti coltivati nelle scienze astratte, il processo costruttivo dei concetti si allontana smisuratamente dalle associazioni prossime dei dati sensibili, onde la creazione ideale che ne risulta appare completamente fuori della realtà; perciò appunto la ricerca di oggettivare l’astratto ci colpisce come un carattere peculiare di quelle menti.

Se qualcuno crede che questo sia un difetto riprovevole degli intelletti matematici, si può ben dire che il suo esame non ha oltrepassato la superficie della questione!

Giacchè il difetto dello spirito matematico, nei suoi minori rappresentanti, è precisamente tutto il contrario; cioè di non comprendere che un pensiero, il quale si appaghi di costruzioni astratte, senza la speranza, pur vaga, di cogliere in esse il quadro di una qualche realtà, sarebbe uno sterile istrumento dialettico.

«Scorgere in ogni concetto astratto, comunque definito con un processo logico costruttivo, la rappresentazione possibile di una realtà», tale è la veduta direttrice di quanti sposano alla facoltà di astrazione, una coscienza elevata dello scopo scientifico per cui essa viene esercitata.

Nè alcun rimprovero può farsi a chi cerchi codesto reale possibile, attraverso costruzioni ideali che si allontanano dai dati dell’osservazione immediata; tanto varrebbe rimproverare al genio l’ardire delle ipotesi, colle quali ei cerca di vedere al di là delle nebbie che limitano il comune orizzonte.

Questo ardire allora soltanto diverrà riprovevole, quando la ipotesi possibile sia accettata come vera o probabile senza adeguata verificazione, o comunque preoccupando il ricercatore adombri la veduta dei fatti che ad essa si palesino contrani.

I fondatori della Geometria non-euclidea, accordando ai loro sviluppi astratti il valore di un’ipotesi reale, furono certamente arditi; ma, come vedremo, essi non meritano il rimprovero cui sopra abbiamo accennato. Matematici, essi furono insieme filosofi, proponendo una questione che segna la più alta vittoria dello spirito critico; e come filosofi furono, nel miglior senso, positivisti, poichè cercarono una risposta ai loro dubbi nel fatto, e questo valutarono con giudizio sereno.

Mentre Kant lavorava a dimostrare il carattere psicologico dell’intuizione spaziale, cercando di distruggerne il senso fisico, Gauss rivolgeva la sua attenzione alle più precise misure degli angoli del triangolo geodetico Brocken, Hohehagen, Inselberg⁹, per trarne la dimostrazione sperimentale della Geometria nell’ordine di approssimazioni che occorre considerare sulla nostra terra; e Lobatschewsky interrogava le parallassi delle stelle lontane, se anche in un tale ordine di misure sia da tenersi per valida la ordinaria teoria delle parallele, o se debba rimpiazzarsi colla teoria non euclidea, secondo la veduta già affacciatasi allo spirito di Schweikart, che a quella Geometria aveva dato il nome di «astrale».

Vediamo di renderci conto del valore di tali esperienze.

Per quanto abbiamo detto la questione delle parallele si può decidere, teoricamente, dall’ispezione di un solo triangolo: se in questo la somma degli angoli è uguale a due retti, sussiste la ipotesi d’Euclide, se è minore deve accettarsi l’ipotesi di Lobatschewsky, e se è maggiore quella di Riemann. In questi ultimi due casi, indicando con α la differenza tra la somma suddetta e due retti (la quale è positiva nel caso riemanniano) e con A l’area del triangolo, si può porre rispettivamente

${\frac {\alpha }{A}}=-{\frac {4}{\pi k^{2}}},$

o

${\frac {\alpha }{A}}=+{\frac {4}{\pi k^{2}}},$

e si dimostra quindi che k da un valore indipendente dal particolare triangolo considerato.

La costante ${\frac {\alpha }{A}}$ prende il nome di curvatura dello spazio (per certe analogie colla teoria delle superficie); essa si riduce = 0 nell’ipotesi euclidea, che si ottiene come limite dalle precedenti per k = ∞.

Risulta pertanto che la soluzione fisica della questione delle parallele si può ottenere soltanto se, con accurate misure, si provi essere la somma degli angoli di un triangolo sensibilmente minore, oppure maggiore, di due retti. Ma, se tale somma si trovi sensibilmente uguale a due retti, resta il dubbio tra due ipotesi:

a) vale fisicamente la Geometria euclidea, per rispetto a misure precise quanto si vuole;

b) vale una delle due ipotesi non euclidee, ma la curvatura (negativa o positiva) dello spazio è molto piccola, e quindi il parametro k di Lobatschewsky è molto grande; cioè tanto grande che la somma degli angoli del nostro triangolo differisce da due retti per meno degli errori d’osservazione.

Ora appunto le più accurate misure dei triangoli sulla terra, danno, come quello osservato da Gauss, una verificazione sensibile della Geometria euclidea, a meno degli errori d’osservazione. Ne risulta che k supera un certo limite rispetto alle dimensioni terrestri.

Rivolgiamoci all’Astronomia. Qui s’incontrano triangoli di dimensioni enormi rispetto a quelli osservabili sulla terra; essendo molto più grande il denominatore della frazione

${\frac {4}{\pi k^{2}}},$

si può sperare che la quantità α sia apprezzabile, pur superando k il limite dinanzi indicato. Tuttavia noi non possiamo più misurare i tre angoli di un triangolo celeste la cui somma si suppone differire di α da due retti, ma soltanto due di questi angoli. Così ad es. guardando una stella da due punti opposti dell’orbita terrestre, estremi dell’asse maggiore dell’eclittica, non si può misurare l’angolo x sotto cui si vede dalla stella il suddetto asse, ma soltanto i due angoli a, b, formati con questo dai raggi visuali che vanno alla stella.

Nell’ipotesi euclidea si ha

a + b + x = 2 R,

e quindi l’angolo x viene dato dalla parallasse della stella, 2R —  (a + b), la quale si suole determinare riducendosi al caso in cui uno dei due angoli a, b sia retto. Quanto più lontana è la stella osservata, tanto più piccola diventa la sua parallasse, pur mantenendosi sempre positiva.

Invece nell’ipotesi di Lobatschewsky, le parallassi di tutte le stelle sarebbero superiori ad un certo limite (dipendente da k); all’opposto nell’ipotesi di Riemann le parallassi di stelle molto lontane dovrebbero essere negative.

Si noti: se le parallassi delle stelle osservate si trovassero tutte positive, superiori ad un certo limite, non si potrebbe affatto concludere che è contraddetta l’ipotesi euclidea delle parallele; la supposizione più naturale sarebbe invece di ammettere che le distanze delle stelle suddette restino tutte inferiori ad una certa misura. Tuttavia non verrebbe precluso l’adito a nuove ricerche più accurate sui triangoli terrestri, o sulla Meccanica del sistema planetario, dalle quali potrebbe scaturire la prova sperimentale della Geometria di Lobatschewsky.

Se invece la parallasse di qualche stella resultasse negativa, quando si tenga ferma l’ipotesi che la luce si propaga in linea retta, risulterebbe provata la validità della Geometria di Riemann.

Ma l’osservazione ci dice che le parallassi delle stelle sono tutte positive o sensibilmente nulle; ed ecco a quale risultato ci portano le stelle più vicine, cioè quelle che hanno una parallasse apprezzabile coi nostri istrumenti:

Dalla parallasse di 1″ Lobatschewsky trae che il suo parametro k supera 200 mila volte l’asse maggiore dell’orbita terrestre, il quale misura circa 300 milioni di Km. Ma vi sono delle stelle la cui parallasse è < 0″,1, onde k supera 2 milioni di volte il suddetto asse; e la maggior parte delle stelle sono più lontane ancora, sicchè non danno una parallasse apprezzabile!

Pertanto lo spazio fisico si può considerare come euclideo, in un ordine di approssimazione che supera attualmente la precisione delle misure fornite dai nostri istrumenti più perfezionati.

Questa è la conclusione di Lobatschewsky; la quale si può enunciare dicendo:

Nello stato attuale delle nostre conoscenze, lo spazio fisico è da riguardarsi positivamente come euclideo.

Ma ciò non giustifica la pretesa che la cosa non potesse essere diversa.

Ed è ingiusto accusare i geometri non euclidei di avere sollevato un dubbio, che è rimosso soltanto per il presente e rimandato forse ad un lontano avvenire.

Giacchè se le parallassi delle stelle si fossero trovate tutte superiori ad un certo limite, non è a credere che ci si sarebbe fermati alla supposizione delle distanze inferiori ad una certa misura. Almeno l’ipotesi geometrica di Lobatschewsky poteva assumere in tal caso una forma più concreta, in rapporto ad un valore non troppo grande del parametro k. Diventava quindi possibile di controllarla in più modi, come sopra abbiamo accennato, o spingendo la precisione delle misure terrestri e moltiplicandone il numero, o studiando le conseguenze meccaniche di essa per riguardo al sistema planetario; e poteva ben darsi che certe piccole divergenze dalla legge di Newton trovassero così una correzione soddisfacente per la maggiore concordanza dei resultati.

A più forte ragione, se la parallasse di qualche stella fosse risultata negativa, si avrebbe avuto un solido fondamento per addottare l’ipotesi non euclidea, formulata più tardi da Riemann.

Nè vale dire che bastava modificare semplicemente l’ipotesi della propagazione rettilinea della luce. È pur facile accomodare le cose a priori, quando si è ormai sicuri di non essere smentiti dall’esperienza!

Giacchè in primo luogo, come abbiam visto, codesta ipotesi non potrebbe accettarsi per riguardo ad una distribuzione omogenea della materia nel mezzo ambiente, senza infirmare addirittura il fondamento comune delle Geometrie euclidea e non euclidea; e, quando si supponesse in concreto un’azione della materia sulla propagazione della luce negli spazii celesti, questa azione diverrebbe in più modi accessibile a nuove osservazioni indirette.

D’altronde la Geometria riemanniana potrebbe ancora ricevere un’altra verifica. Invero, secondo questa Geometria, la retta sarebbe una linea chiusa e finita (sia pure lunghissima), sicchè un astro remoto potrebbe essere visibile contemporaneamente da due osservatori posti, sulla terra, agli antipodi.

Infine ripetiamo ancora che, se pure la questione geometrica delle parallele non avrebbe potuto forse essere risoluta definitivamente da osservazioni ottiche nel campo dell’Astronomia stellare, queste avrebbero potuto ad ogni modo convalidare il dubbio dei geometri non euclidei, e, rendendolo più determinato, condurre quindi a cercare ad esso una conferma indiretta nel campo della Meccanica planetaria.

Affermando la validità della Geometria euclidea, in un ordine di approssimazione che si confonde positivamente coll’esattezza, noi affermiamo che oggi, all’infuori degli errori (accidentali) inerenti all’applicazione delle ipotesi simbolicamente espresse dalla Geometria, non vi è nelle ipotesi stesse alcun errore che si riveli sensibile all’esame delle loro conseguenze, dirette o indirette.

Il valore del dubbio sollevato da Lobatschewsky, sta nella confessione modesta, che non sappiamo se un errore di tal genere possa esser constatato in un remoto futuro. È soltanto questa possibilità, che viene contestata da coloro, i quali non ammettono il giudizio della critica moderna intorno alla validità rigorosa della nostra Geometria.

§ 11. La non-intuibilità delle Geometrie non-euclidee.

Che cosa rimane contro codesta possibilità?

Alla valutazione delle esperienze si oppone soltanto il vecchio argomento che ritiene impossibile ciò che è inconcepibile, o meglio non intuibile.

È vero che, nonostante la costruzione di un sistema adeguato di concetti, ci troviamo nella impossibilità psicologica di rappresentarci i fenomeni reali in un quadro diverso dallo spazio secondo la sua ordinaria intuizione. Ma questo sentimento di necessità, che accompagna la nostra visione immaginativa dello spazio, nulla può dire intorno alla struttura di questo, poichè la realtà fisica non ha alcun dovere da soddisfare rispetto alla rappresentazione che ce ne formiamo.

A chiarire la questione Gauss ha addotto un argomento suggestivo, che è stato poi ripreso da Helmholtz e da Clifford, e va generalmente sotto il nome del primo di questi due filosofi.

Figuriamoci l’esistenza di animaletti superficiali, cioè schiacciati sopra una superficie, i quali sieno liberi di muoversi strisciando su questa. Dotiamo codesti esseri immaginarii di una intuizione spaziale, che valga a coordinare la sensibilità e a dirigerne i movimenti, nel campo a due dimensioni (superficie) costituente il loro spazio.

Due animaletti simili, uno dei quali si muova in un piano, l’altro sopra una superficie leggermente incurvata, potrebbero essere guidati ugualmente da una medesima intuizione geometrica, raffigurandosi il loro spazio come un piano.

I fatti che nel secondo caso, permetterebbero all’animale di acquistare conoscenza della curvatura della sua superficie, senza uscire da questa (poichè egli ignora, per ipotesi, la terza dimensione) sono del tutto analoghi a quelli che, a noi uomini, indicherebbero la falsità della teoria delle parallele, presa in un senso rigoroso; ma i fatti accennati sfuggirebbero al controllo dell’animale, ove questi fosse molto piccolo rispetto alla superficie che lo contiene, ed alla sua curvatura.

Eppure, se nella suddetta società di animaletti si trovassero dei filosofi, chi sa che taluno dalla intuizione formatasi del proprio ambiente come di una superficie piana, non argomentasse alla rigorosa e necessaria planarità della superficie stessa?!

§ 12. Di altre Geometrie possibili.

Nel suo scritto commemorativo «Gauss zum Gedächtniss», Sartorius dice: «Gauss considerava la Geometria come un edifizio logico, soltanto ove si conceda la teoria delle parallele come assioma; ma egli era giunto alla convinzione che quel teorema non si potesse dimostrare, quantunque si sappia per esperienza che esso è approssimativamente vero».

Noi ignoriamo se la prima parte di tale apprezzamento corrisponda veramente alle più mature vedute di Gauss; ed anzi siamo indotti a dubitarne, ricordando le osservazioni che egli fece col teodolite sulla verifica del postulato della retta.

Comunque, l’opinione da Sartorius attribuita a Gauss, nella prima parte del brano citato del suo discorso, non sarebbe accettabile.

Imperocchè a nessuno dei postulati geometrici, può essere riconosciuto il carattere di assioma logico; e ciascuna delle definizioni degli enti fondamentali della Geometria (viziosa, come riconoscemmo, nel suo aspetto logico) racchiude in sè stessa una supposizione reale.

Già abbiamo osservato che la proprietà fondamentale della linea retta, involge appunto l’ipotesi di una certa simmetria fenomenica, cioè un insieme di concordanze, senza le quali non sarebbe possibile di cogliere tanti ordini diversi di fatti, con una unica rappresentazione geometrica.

Di questa ipotesi possiamo dire che essa è, per ora, confermata da tutte le nostre esperienze, e nulla di più. Un apprezzamento quantitativo del grado di rigore ad essa spettante non sembra facile a darsi, sebbene non erriamo certo affermando che la sua esattezza relativa è enormemente grande.

Ma, quando pure si accettino come postulati le ipotesi costituenti il fondamento della unità della Geometria (metrica, ottica....), non si deve credere per questo che sia possibile un solo sistema geometrico generale, una Pangeometria, nella quale resti dubbia soltanto la questione delle parallele.

All’opposto le più recenti ricerche matematiche ci ammaestrano, che infiniti sistemi geometrici diversi restano ancora possibili, non soltanto logicamente, ma anche fisicamente.

Citiamo ad es. le forme spaziali di Clifford-Klein, che stanno a rappresentare possibili costituzioni fisiche dello spazio, radicalmente diverse per un osservatore contenuto nei limiti ristretti della nostra esperienza, e per uno che codesti limiti possa notevolmente allargare.

§ 13. La Geometria non-archimedea e l’arbitrarietà dei postulati.

Negli esempii precedenti i postulati, che corrispondono alle diverse Geometrie, esprimono ipotesi fisiche diverse; la differenza, non constatata dalle esperienze attuali, rimane virtualmente constatabile rispetto ad ulteriori esperienze possibili. Ma si possono costruire, e si sono costruite infatti in questi ultimi anni, altre Geometrie logicamente diverse, che tuttavia non rispondono ad ipotetiche differenze fisiche. Il più bell’esempio è offerto dalla Geometria non-archimedea, costruita da G. Veronese (1891) e più recentemente sviluppata da D. Hilbert e dalla sua scuola, in rapporto ad altri problemi matematici importanti.

Questa Geometria prende le mosse dalla negazione del così detto postulato d’Archimede, riconosciuto indipendente dalle altre premesse geometriche ordinarie, ammettendo dunque «l’esistenza dei segmenti tali che il multiplo dell’uno secondo un intero arbitrariamente grande, sia sempre più piccolo dell’altro».

Una siffatta ipotesi, che ha un senso matematico preciso come relazione di certi concetti, non ha invece alcun senso fisico, perchè non è accessibile in alcun modo all’esperienza; un segmento (infinitesimo attuale) minore di ogni summultiplo della nostra unità di riferimento, si troverebbe definito in modo trascendente rispetto a questa ed ai nostri sensi (p. es., all’organo tattile), sicchè l’ipotesi di un tale segmento non esprime direttamente alcun dato di sensazioni.

Ma di più questa ipotesi non ha significato fisico, neppure indiretto. Difatti Veronese ha mostrato come i teoremi della Geometria non-archimedea si lascino interpretare, in un ordine infinito di approssimazione, come identici a quelli della Geometria ordinaria, sicchè si conclude che «la Geometria archimedea e la Geometria non-archimedea per mezzo di diversi sistemi di concetti, esprimono un medesimo sistema di ipotesi sui rapporti di posizione dei corpi».

Pertanto «postulati, che rivestono una forma diversa, sono capaci di esprimere la stessa realtà fisica».

La Geometria non-archimedea porge una illustrazione interessante di codesta relativa arbitrarietà dei postulati rispetto al mondo reale, arbitrarietà che F. Klein ha messo in luce nel suo «Gutachten für Kasan», e che Poincarè prende, a parer nostro, in un senso troppo esteso, riguardando ogni postulato come una convenzione. Un elemento convenzionale appartiene di fatto ai postulati nel senso che «esistono sistemi di postulati esprimenti con rappresentazioni diverse le stesse ipotesi fisiche»; ma, accanto a questi sistemi di postulati equivalenti, vi sono anche (come vedemmo) sistemi non equivalenti, cui rispondono possibilità fisiche discernibili coll’esperienza. Una scelta arbitraria, in armonia colle esigenze economiche della rappresentazione spaziale, è permessa soltanto quando si tratta di sistemi di postulati equivalenti, o di sistemi non equivalenti che l’esperienza compiuta non sia riuscita ancora a discriminare; ma, nel primo caso, la scelta è puramente convenzionale e libera, nel secondo essa contiene un’ipotesi di fatto e anticipa quindi il resultato di esperienze possibili, dalle quali non è escluso che l’ipotesi medesima venga contraddetta.

B - L’acquisto psicologico dei concetti geometrici.

§ 14. Posizione del problema.

Abbiamo visto che la valutazione delle esperienze conduce ad ammettere varie Geometrie fisicamente possibili, e la critica matematica scopre perfino la possibilità di rappresentare un medesimo sistema di ipotesi sullo spazio reale, mediante sistemi diversi di concetti e di postulati. Ma nonostante l’arbitrarietà che rimane così alla costruzione geometrica, sta in fatto che l’intuizione, quale si trova in ogni mente formata, opera una scelta, costruendo la rappresentazione di uno spazio psicologicamente definito. Pertanto nasce il problema, interessante per lo psicologo, di spiegare codesta intuizione.

Ma in qual senso è da ricercare la spiegazione?

La risposta oscilla fra due vedute direttrici opposte, che si contendono il campo: il nativismo e l’empirismo. Dalla tesi kantiana che «i rapporti spaziali sieno rapporti che la mente scorge fra sensazioni possibili» deriva il nativismo, riattaccante l’intuizione di codesti rapporti alla struttura anatomo-fisio-psicologica dell’uomo. Dalla tesi che «i rapporti spaziali faccian parte del dato dei sensi (vista, tatto ecc.)» la filosofia empirica trae che la intuizione, o visione immaginativa delle relazioni spaziali, sia la semplice ripetizione di sensazioni anteriori e si riduca infine ad una somma di conoscenze o di fatti percepiti.

Ora le premesse del nativismo e dell’empirismo appariscono entrambe, fino ad un certo punto, vere, ma le conseguenze che se ne traggono unilaterali ed incompiute. Il nativismo ragiona come se potesse pensarsi una psiche formata anteriore all’esercizio dei sensi e indipendente dal mondo esterno; l’empirismo riduce invece tutta l’attività psichica ad una ricettività passiva.

I due indirizzi tendono a conciliarsi nella ricerca di spiegare l’intuizione spaziale come uno sviluppo psicologico da sensazioni, in cui si tenga conto della struttura del soggetto.

§ 15. Rapporti col problema biologico dell’orientazione spaziale.

Ma il problema si complica, sovrapponendosi alla ricerca psicologica una ricerca biologica, apparentemente pregiudiziale.

Alla tesi empirica che i rapporti di posizione fan parte del dato dei sensi, i nativisti contrappongono la veduta che «una conoscenza dei rapporti di posizione si può riguardare come implicita nell’uso stesso dei sensi (adattamento dell’organo senziente all’oggetto)». Quindi sorge il problema della orientazione spaziale cioè della coordinazione dei movimenti alle sensazioni, al quale si ritiene da molti che la questione psicologica possa senz’altro ricondursi.

Convertiti in tal guisa i termini del problema, la teoria della evoluzione viene ad allargare la ricerca dall’uomo all’animale, dall’animale individuo alla specie. E l’empirismo si sposa alla veduta epigenetica di Lamark nella dottrina di Spencer¹⁰, che riguarda l’orientazione spaziale come un acquisto derivato dall’uso abituale dei sensi, tramandato poi per eredità, e fissato così attualmente nella specie formata.

All’opposto invece il nativismo trova la sua espressione biologica nelle teorie preformistiche e neopreformistiche, che ricercano sistematicamente la causa della variazione filogenetica nelle condizioni meccaniche, fisiche, biologiche, interne del vivente, lasciando al principio darwiniano della scelta naturale l’ufficio di dirimere il contrasto coll’ambiente esterno.

Ora non intendiamo per parte nostra di esaminare il problema dello spazio sotto questo aspetto¹¹. Basti rilevare che il sostituirsi della dottrina spenceriana al primitivo empirismo, segna già il riconoscimento che «nella orientazione spaziale dell’uomo o dell’animale individuo, vi è qualcosa di innato».

Dalle cose dette innanzi vogliamo appunto ritenere la conclusione «che lo sviluppo della coordinazione dei movimenti alle sensazioni, cioè dell’orientazione spaziale, così negli animali come nell’uomo, è il prodotto di esperienze eseguite sotto certe condizioni anatomo-fisiologiche»¹², senza investigare se e quanto tali condizioni debbano riattaccarsi a leggi meccaniche organiche.

Ma protestiamo subito contro la pretesa di alcuni filosofi neo-kantiani che codeste condizioni strutturali anatomo-fisiologiche dell’organismo umano, si rispecchino in certi caratteri a priori della intuizione spaziale, in guisa da fornire alla Geometria i suoi postulati non appena gli enti geometrici sieno costruiti dalle sensazioni. Così appunto W. Wundt nei «Grundzüge der physiologischen Psycologie»¹³ (Bd II, pag. 27) vuol fare derivare la planarità dello spazio intuitivo dalla disposizione delle ossa atta a favorire il movimento rettilineo, benchè sia all’opposto evidente che i membri ossei articolati costituiscono quasi dei pendoli composti, onde il movimento rettilineo non può ottenersi senza complicati compensi. E G. Heymans¹⁴ proponendosi in modo più determinato la spiegazione psicologica dei postulati geometrici, riguarda la linea retta come una «gleischförmige Innervationsreihe» (?), e pretende dedurre da ciò a priori la sua proprietà fondamentale di determinazione, mediante un simbolismo analitico, la cui applicazione ci sembra assolutamente arbitraria.

Ma a siffatti tentativi obiettiamo la pregiudiziale, che: il fatto della orientazione, comunque dipenda dalla struttura anatomica, viene avvertito dalla coscienza soltanto per mezzo di certe sensazioni (muscolari, tattili, visive ecc.), ed i dati bruti di queste non permettono di dirimere l’arbitrarietà che appartiene alla scelta dei postulati, ed in ispecie di conferire loro il carattere di esattezza che si riconosce nei rapporti spaziali intuitivamente rappresentati dal nostro pensiero.

Si tratta dunque qui di uno sviluppo psicologico, di una elaborazione e semplificazione ideale dei dati di senso, le cui condizioni subiettive sono da ricercare nella stessa funzione della psiche, non nell’anatomia del sistema muscolare, osseo ecc.

§ 16. Programma delle successive ricerche.

Ora la nostra analisi riuscirà a rappresentare codesto sviluppo come un processo di associazione ed astrazione, e a ridurre le condizioni suddette alle leggi logiche operative, in cui ravviseremo la spiegazione di certi caratteri formali dei postulati, e del sentimento di evidenza o di necessità che vi si collega¹⁵.

Più precisamente, dopo avere riconosciuto la genesi dei concetti geometrici, di cui i postulati esprimono i rapporti, vedremo come questi postulati si lascino decomporre in due parti: delle quali l’una costituisce semplicemente l’enunciato di un fatto in alcun modo evidente, ma che si presenta come una condizione per associare in un concetto unico una certa serie, illimitatamente proseguibile, di rappresentazioni diverse; l’altra si riduce ad un principio o ad un assioma, d’ordine logico, da riattaccarsi alla funzione logica del pensiero, già innanzi analizzata (cap. III).

Il concetto di una figura essendo preso come rappresentante un oggetto reale che corrisponde a più sensazioni associate, la esistenza o la possibilità d’un oggetto ipotetico rispondente ad un dato aggruppamento di sensazioni costituisce il fatto geometrico espresso dai postulati; invece la forma, sotto la quale questi si presentano all’intuizione del geometra, e l’evidenza che vi si collega, tiene alle proposizioni logiche sovrappostesi al fatto medesimo.

§ 17. Fonti della critica.

Ma non si può penetrare più profondamente il senso della spiegazione accennata, se non si spinga innanzi la critica del problema, che si propone di chiarire la genesi dei concetti geometrici.

I fatti che debbono richiamare la nostra attenzione appartengono da un lato alla Psicologia fisiologica, dall’altro alla Geometria.

Spetta invero alla Fisiologia d’indicarci in qual modo i rapporti d’estensione vengano percepiti colla vista, o col tatto, o colle sensazioni muscolari; ma per interpretare convenientemente questi resultati, bisogna sapere in qual modo i rapporti percepiti si leghino ai concetti geometrici fondamentali.

Il solo punto di vista fisiologico non riesce ad oltrepassare i problemi della distinzione delle sensazioni contemporanee, o della localizzazione di una sensazione, o della determinazione di una posizione nello spazio, problemi che, secondo osserva giustamente il nostro G. Cesca¹⁶, non mirano ancora allo scopo psicologico di spiegare l’acquisto delle nozioni di spazio.

Helmholtz ha bene avvertito la necessità, che qui si presenta, di dirigere ed interpretare l’esperienza fisiologica al lume di una critica dei postulati della Geometria; ma sembra che questo insegnamento sia stato dimenticato dopo di lui, e perciò appunto il lavoro sperimentale, proseguito da varie parti, non ha dato l’intero profitto che sembrava promettere.

Frattanto le ricerche sui principii della scienza geometrica, che all’epoca di Helmholtz cominciavano appena a trarre aiuto da istrumenti preparati nei campi superiori delle Matematiche, hanno acquistato, grazie a questi, uno sviluppo enorme. E i risultati ottenuti, da mezzo secolo in qua, sono di tal natura, che alcun fisiologo, lavorante alla questione psicologica dello spazio, può dispensarsi dall’apprenderli.

§ 18. Osservazioni generali sul contenuto spaziale delle sensazioni.

Un contenuto spaziale si ritrova, o può ritrovarsi, in ogni sensazione. Nei cani sembra che l’olfatto partecipi all’orientazione in modo eminente; e nell’uomo nato cieco le rappresentazioni spaziali si connetterebbero abitualmente all’udito, secondo testimonia lo Hitschmann¹⁷. Ma, di regola, nell’uomo, sono le sensazioni muscolari, tattili e visive, che, in connessione coi movimenti, concorrono a formare, associandosi, le rappresentazioni spaziali.

Oggetto di queste sono punti, linee e superficie. Le linee si possono generare col movimento di un punto e le superficie col movimento di una linea; ma ad ogni modo, linee e superficie, in quanto si pensino realizzate, rispondono esse stesse a gruppi di sensazioni, diverse da quelle che sono fornite dalla variazione dell’ente generatore.

Di qui un duplice modo di presentarsi delle linee e delle superficie, su cui vogliamo subito fermare l’attenzione del lettore; cioè un aspetto genetico ed un aspetto attuale di esse.

Noi dobbiamo riguardare la rappresentazione completa che ci formiamo di una linea o di una superficie, come derivata per associazione dai due gruppi di sensazioni che corrispondono ai due modi di considerarla.

Ma, non soltanto la linea o la superficie, bensì già il punto, devesi riguardare non come oggetto di una sensazione, ma come rispondente ad un gruppo di sensazioni associate.

Affermare l’esistenza di un punto ha prima di tutto un significato relativo alla posizione dell’osservatore, ed implica l’attesa che a date sensazioni muscolari che definiscono, subiettivamente, certi movimenti si accompagnino o seguano date sensazioni tattili e visive. Soltanto secondo tale significato, in cui è posta una correlazione fra un senso espressivo ed un senso ricettivo, si può parlare della «sensazione di un punto».

Questa veduta porta a sciogliere il problema della localizzazione spaziale, secondo la così detta teoria associativa di Bain, Taine e Delboeuf.

Si aggiunga che la distinzione delle sensazioni contemporanee del tatto o della vista, riesce possibile mercè i cosidetti segni locali di Lotze, cioè tenendo conto delle mutue differenze tra i punti della cute e della retina, specie in riguardo alle loro relazioni coi punti vicini; si ha così una soluzione abbastanza soddisfacente del problema, che intende a spiegare fisiologicamente «come si riesca a determinare una posizione nello spazio».

§ 19. Spazii fisiologici e spazio geometrico.

Dappoichè la constatazione di un punto, come fatto bruto, dipende dalla posizione dell’osservatore, ed al variare di questa i rapporti fra i punti appariscono al soggetto come diversi, ne consegue che l’insieme dei punti, così intesi, costituisce uno spazio fisiologico relativo all’osservatore stesso, e differente dallo spazio geometrico. Questa distinzione fondamentale ricorre nei «Beiträge zur Analyse der Empfindungen» di E. Mach¹⁸ e negli studii dello Hering da lui citato (op. cit., trad. it., pag. 152).

Anche altri autori hanno fermato la loro attenzione su questo, che lo spazio fisiologico, visivo o tattile o muscolare, non possiede i caratteri di omogeneità e di isotropia, che concediamo allo spazio geometrico; H. Poincarè, ad es., nel suo libro già citato. La cosa riesce d’altronde per noi così evidente, che ci pare inutile insistere su tali differenze.

Ma da tale constatazione sorge il problema di spiegare come dal dato bruto delle sensazioni di spazio ci s’innalzi alla rappresentazione geometrica.

Occorre qui aggiungere alle associazioni sensoriali un processo d’astrazione.

Dire che «il concetto geometrico dello spazio è l’astratto dei varii spazii fisiologici possibili, per riguardo ad un osservatore mobile», non può forse considerarsi ancora come una risposta esauriente alla domanda posta innanzi, finchè non si metta in luce, da una parte come lo spazio fisiologico stesso si avvicini, mercè associazioni ed astrazioni, ad una rappresentazione quasi-geometrica relativa all’osservatore, e d’altra parte come tutti gli elementi di speciale dissimetria dei varii spazii fisiologici possano essere eliminati nel loro confronto.

Ora, rimandando il primo compito ad un’analisi più accurata dei dati sensibili, osserviamo, relativamente al secondo, che una sistematica dissimetria viene pur creata rispetto ai movimenti dell’osservatore, nei riguardi della verticale, stante l’azione della gravità; ed è questa ancora un’osservazione del Mach.

Da ciò noi crediamo sia lecito argomentare, che l’ascensione del nostro intelletto dalla rappresentazione fisiologica alla geometrica, sia dovuta soprattutto al confronto dei possibili spazii visivi, nei quali sieno già introdotti gli elementi associati provenienti da sensi diversi, attesochè codesta dissimetria meccanica non sussista per riguardo ai fenomeni ottici.

Una maggiore difficoltà, inerente ad un processo d’astrazione più intellettuale, dovrà dunque riscontrarsi nella genesi del concetto di spazio, presso i ciechi-nati; ed una difficoltà analoga dovrà pure rispecchiarsi nella genesi della rappresentazione meccanica dello spazio, come avremo agio di meglio osservare più tardi.

Passiamo ora a discutere in particolare gli elementi concettuali delle rappresentazioni di spazio, fornite dai varii sensi. L’ordine della trattazione risponderà soprattutto al proposito di rendere più accessibili le nostre idee a chi sia meno fornito di una speciale preparazione matematica in questo campo, e di mostrare più lucidamente la necessità di ricorrere in tale argomento a siffatte considerazioni.

§ 20. I dati spaziali della vista e la Geometria proiettiva.

Dai numerosi resultati sulla fisiologia della vista (cui si riferiscono osservazioni ed esperienze di Lotze, Weber, Volkmann, Fechner, Helmholtz, Panum, Donders, Hering, Wundt, James, Mach ecc.) basterà a noi trarre uno schema fondamentale del processo, senza entrare in discussioni minute intorno ai particolari di esso:

I fatti elementari della visione sono i seguenti:

1) La formazione dell’immagine sopra la retina, equivalente ad una proiezione centrale piana dell’oggetto.

2) I movimenti dell’occhio, effettuantisi normalmente attorno al cosidetto centro di Donders, ed obbedienti in modo approssimativo alla legge di Listing, e a quella dell’orientazione costante, che ne dipende.

3) Il fondersi in via normale, delle immagini corrispondenti nella visione binoculare. Al qual riguardo è da avvertire che la fusione avviene normalmente, non solo quando le immagini cadono in punti (identici) che occupino un’analoga posizione nelle due retine, ma sempre, entro certi limiti, per le immagini corrispondenti ad un medesimo punto esterno, tostochè in forza di varii elementi concomitanti della sensazione si sia ottenuto l’adattamento conveniente dell’organo; il punto unico è veduto press’a poco nella direzione del raggio che biseca l’angolo dei due raggi visuali.

Dopo queste premesse ci troviamo in grado di discutere la questione fondamentale, sempre dibattuta «se la vista ci dia la percezione immediata delle distanze fra due punii, cioè della grandezza dell’oggetto».

Il fatto semplice della visione binoculare dopo l’adattamento, si presenta come una proiezione bicentrale, cioè come una duplice e simultanea proiezione dell’oggetto, da due centri sopra due piani.

Se domandiamo al matematico che cosa possa trarsi da una tale rappresentazione, egli non avrà che a ricorrere agli studii sulla Fotogrammetria, cui si riferiscono i recenti lavori di Hauck e di Finsterwalder.

Due proiezioni dell’oggetto bastano, com’è evidente, a ricostruirlo, quando sia dato il sistema di proiezione, dati cioè i centri ed i quadri rispettivi. Allora anche la determinazione della distanza fra due punti, di cui vengono assegnate le immagini, può essere determinata in base a certi elementi metrici che appartengono al sistema dato, cioè, la distanza dei centri della visione dalle rispettive retine e l’inclinazione dei piani di queste per ogni adattamento dato.

In mancanza di tali elementi quattro immagini di un oggetto bastano a ricostruirlo a meno di una similitudine; cinque immagini (fra cui intercedano i dovuti legami) ne determinano di più la grandezza.

Come si dovranno interpretare questi resultati in ordine al nostro problema?

I dati visivi attinenti alle molteplici immagini che possiamo formarci di un oggetto col muover gli occhi, contengono gli elementi da cui si può dedurre matematicamente il confronto delle distanze, ma questo non ha un senso proprio per riguardo alle singole immagini; di più il giudizio delle distanze non può ritenersi neppure come dato immediatamente dalla visione binoculare, perchè gli elementi metrici del corrispondente sistema di proiezioni sono in parte dati anatomici, in parte dati variabili di accomodamento, e non possono riguardarsi come noti all’osservatore prima dell’esperienza visiva, e dei confronti e delle associazioni con altri sensi, che essa implica.

Così l’estensione della facoltà visiva alla percezione della forma e della grandezza degli oggetti deve essere acquisita da uno sviluppo empirico.

La necessità di tener conto dei dati di altre sensazioni associate alla vista, nello sviluppo suddetto, emerge anche dalla teoria che considera il senso della vista come differenziatosi, nell’evoluzione, dalla generale sensibilità tattile; imperocchè allora si deve ammettere una certa percezione immediata delle distanze, puramente subiettiva, secondo la quale si percepisca coll’occhio la distanza apparente fra due punti, in base alla lunghezza della sua prospettiva sulla retina. Questo elemento di giudizio innato, che è anche in relazione colle sensazioni muscolari inerenti ai movimenti dell’occhio, non può esser corretto che da una più larga esperienza, ove intervengano i movimenti dell’osservatore e le altre sensazioni connesse.

Le induzioni precedenti si basano sopra la considerazione anatomo-fisiologica dell’organo della vista. Esse riescono bene corroborate da uno studio della questione sotto l’aspetto psicologico.

Fra i molteplici fatti stabiliti da Helmholtz (Physiologische Optik) e dalla sua scuola, citiamo in ispecie l’errore che in più casi si riscontra nella comparazione delle distanze. L’esperienza ha dimostrato che codesto giudizio comparativo (la cui possibilità pratica è limitata ad un campo assai ristretto) non presenta caratteri di uniformità e di esattezza, se non quando le distanze paragonate si trovino ugualmente lontane, ed inoltre l’estimazione riesce molto più imperfetta se esse hanno direzione differente. Si aggiunga l’errore nella valutazione del parallelismo di due rette, più sensibile di quello inerente al riconoscimento della convergenza ecc.

Helmholtz appunto ha spiegato questi fatti, ritenendo che il giudizio comparativo delle distanze non sia un dato immediato della visione, ma un acquisto dovuto all’abitudine di associare i dati di questa a quelli delle sensazioni tattili muscolari.

Da tutto ciò che precede siamo autorizzati ad accettare questa distinzione come fondata. Riconosciamo dunque come dato immediato della vista, il complesso di quelle proprietà geometriche dell’oggetto che si traducono in proprietà delle proiezioni, indipendenti dalla posizione particolare di quello, e dalla sua lontananza dagli occhi. Le lunghezze o distanze non figurano fra queste, e devono ritenersi come un acquisto empirico, conseguito mediatamente, per l’associazione colle sensazioni tattili-muscolari, nonchè colle stesse sensazioni visive che nascono da un cambiamento di posizione dell’osservatore.

Ma tali conclusioni non possono essere giustamente interpretate da chi non abbia acquistato certe nozioni fondamentali della Geometria moderna! E appunto a questa ignoranza si devono le deduzioni bizzarre, intorno a cui taluni filosofi si affaticano ancora.

In mancanza di un giudizio comparativo delle distanze fra punti e quindi della grandezza degli oggetti, si può credere che ogni nozione geometrica diventi estranea ai dati immediati della vista.

Questo errore può essere corretto soltanto da uno studio della Geometria proiettiva, quale essa si è sviluppata nel secolo scorso, da Poncelet a Möbius, a Steiner, fino a conseguire il suo assetto definitivo ed autonomo nella trattazione di Staudt¹⁹.

Solo per questa via si acquisterà la nozione di una scienza che studia i rapporti qualitativi inerenti ai concetti elementari della linea retta e della superficie piana, i quali sono pienamente indipendenti dai rapporti quantitativi (o metrici) supposti dall’idea di distanza, benchè si esprimano ordinariamente per mezzo di questi.

Appunto la retta e il piano si distinguono, per le loro proprietà ottiche, nella visione: la retta perchè le sue immagini retiniche sono rette; ed il piano per le sue relazioni colla retta, che si traducono in una corrispondenza proiettiva²⁰ fra le immagini.

Queste distinzioni si riferiscono, come è chiaro, alla visione binoculare. Tuttavia nella visione monoculare la retta e il piano hanno ancora un carattere distinto, quando passano pel centro dell’occhio; la retta è allora un raggio visuale, e la sua immagine si riduce ad un punto solo; il piano è veduto come una retta. Queste particolari rappresentazioni si associano alle generali, determinando, come vedremo alcune proprietà fondamentali della intuizione degli enti in discorso.

È una circostanza degna di nota che, rimpetto alla visione binoculare, una superficie curva si distingua da una piana, poichè a ciò si collega la sensazione del rilievo.

Il rilievo dunque è un carattere della rappresentazione visiva di una superficie, pertinente all’aspetto attuale della rappresentazione stessa: la corrispondenza retinica si discosta da una corrispondenza proiettiva, di guisa che le linee della superficie che hanno come immagini delle rette sopra una retina, hanno come immagini delle curve sull’altra retina.

Questo modo di distinzione, riattaccantesi ai dati immediati della visione binoculare, non ha nulla che fare con le sensazioni muscolari che accompagnano i movimenti degli occhi quando si passa dal guardare una superficie curva a guardare una superficie piana; nel primo caso si ha un criterio dell’incurvamento che dipende, in un certo senso, dalla sola considerazione della superficie in sè stessa, cioè dalle sue proprietà interne: nel secondo caso l’incurvamento è valutato per le relazioni (esterne) della superficie con ciò che è fuori di essa.

Noi abbiamo dunque, insieme alle possibili rappresentazioni genetiche, anche una rappresentazione attuale delle superficie, nel loro rilievo. Ci si presenta appunto sotto questo aspetto una superficie che limiti il nostro orizzonte visivo.

Non crediamo che si possa procedere più oltre, concedendo una rappresentazione attuale di oggetti a tre dimensioni.

Questi oggetti corrispondono nel nostro pensiero ad una successione di immagini superficiali, o al concetto astratto di una serie di successioni associate, ma nella visione adattata non si presentano mai come un dato proprio di sensazioni.

Gli argomenti in contrario addotti dallo Stumpf²¹ sembranci racchiudere un circolo vizioso. L’illustre psicologo vuol derivare la necessità di una rappresentazione delle tre dimensioni dal fatto che una superficie ha due facce, centri di curvatura esterni ad essa ecc.; ma queste considerazioni introducono già implicitamente come data la terza dimensione che vuolsi geneticamente costruire! Ora veramente la rappresentazione attuale propria di una superficie, come limite di un orizzonte visivo, contiene una faccia sola, sicchè il concetto delle due facce deriva dal sovrapporre immagini successive ecc.

Dire che i dati immediati della visione ci porgono le nozioni di retta e di piano, vale quanto affermare che la vista ci fornisce gli elementi costruttivi della Geometria proiettiva.

Pertanto lo spazio immediato della vita, come risulta per astrazione dai possibili spazii visivi, esclude le associazioni metriche, sarà uno spazio proiettivo. E poichè ogni retta può pensarsi otticamente prolungata, il suddetto spazio proiettivo si rappresenterà come illimitato. Nel fatto codesta illimitatezza viene concepita assai tardivamente; occorre invero un notevole sforzo di astrazione per giungervi in base al constatato allargarsi dell’orizzonte visivo quando procediamo verso di esso.

Ad ogni modo resta una particolarità della rappresentazione ottica dello spazio, che in essa non vengono mai comparati immediatamente due punti lontani in direzioni opposte. Da ciò consegue che nello spazio proiettivo della vista, non appaiono necessariamente coincidenti le due parallele condotte per un punto ai due raggi opposti di una medesima retta; la coincidenza non potrà almeno essere riconosciuta immediatamente, e fin tanto che non lo sia, lo spazio proiettivo della vista non avrà acquistata nella nostra mente tutta l’estensione che gli attribuiamo. Per parlare il linguaggio matematico, lo spazio proiettivo nelle sue rappresentazioni ottiche più immediate, si presenterà come un corpo interno ad una superficie limite impropria, di secondo grado. Vedremo più tardi come le associazioni tattili costringano ad allargare ulteriormente codesto spazio proiettivo fino alla rappresentazione euclidea, dove la superficie limite impropria si riduce ad un piano.

§ 21. I dati spaziali delle sensazioni tattili muscolari e la Geometria metrica.

La fisiologia delle sensazioni tattili-muscolari, presenta problemi involuti e complessi, anche perchè ad essa si riconducono le questioni inerenti ai varii sensi speciali, che, secondo il punto di vista dell’evoluzione, appariscono come un differenziamento della tattilità generale.

La distinzione comunemente accolta fra il senso di pressione e di temperatura, non esaurisce forse intieramente le varie qualità del senso tattile; e maggiori dubbii potrebbero sollevarsi intorno all’ufficio sensoriale delle varie espansioni nervose che si trovano nel tessuto epiteliale, quali i cosidetti corpuscoli tattili e i corpuscoli di Vater.

Più gravi difficoltà ancora s’incontrano nella spiegazione del senso muscolare, o senso del movimento dei muscoli, e nel determinare le sue relazioni col tatto. Basti accennare alla controversia circa l’esistenza di una sensazione sui generis, accompagnantesi alla corrente nervosa centrifuga che muove il muscolo; la quale, sotto il nome di senso d’innervazione, ha tanta parte nelle vedute del Wundt, ed è parimente ammessa dallo Helmholtz e dal Mach, ma viene invece negata dal James come ipotesi non necessaria.

Fortunatamente sembra che codeste questioni non esigano una previa risposta per lo scopo proposto al nostro studio. Basterà a noi richiamare alcuni fatti fondamentali:

1) Le sensazioni tattili, e in ispecie quelle di pressione, vengono riferite al luogo della cute che è stato toccato (segni locali del Lotze); ma nell’assegnare tale luogo si commette un errore variabile considerevolmente da posizione a posizione, sicchè due punti che, in una certa posizione della cute, distino fra loro meno di un certo intervallo (soglia della sensazione) non vengono più percepiti come distinti.

2) Una lunghezza costante viene percepita inegualmente dalle varie parti della cute, e cioè come maggiore là dove la finezza della sensazione è maggiore (esperienze col compasso di H. Weber).

3) La grandezza di un oggetto mobile sulla cute viene percepita più perfettamente, che non la grandezza di un oggetto in riposo, sopra una singola parte della cute, e l’esercizio accresce notevolmente questa facoltà.

4) Al senso di pressione si contrappone il senso di sforzo e il senso del movimento muscolare. A quest’ultimo si collega l’ufficio non ancora ben definito dei canali semicircolari dell’orecchio nelle sensazioni d’equilibrio e d’orientazione (Goltz e Mach).

A questi fatti si riferiscono alcune osservazioni intorno al contenuto spaziale del senso tattile-muscolare.

Fermiamo la nostra attenzione sopra le esperienze di Fechner e Weber, relative alla soglia della sensazione tattile e all’ineguale percezione di lunghezze uguali.

La soglia della sensazione non appartiene solo al tatto, ma anche alla vista; essa ha un significato rilevantissimo in quanto ci mostra che lo spazio fisiologico (tattile o visivo) non è continuo.

Sorgerà quindi il problema di spiegare come il processo di associazione e di astrazione, per cui si trae la rappresentazione geometrica dello spazio dalle possibili rappresentazioni fisiologiche, conduca ad uno spazio continuo.

Il secondo punto che importa rilevare è il seguente: il giudizio comparativo delle distanze o lunghezze, e più generalmente delle grandezze degli oggetti, esige il riferimento ad un organo tattile scelto come sede di paragone costante. Questo organo tattile deve essere movibile rimanendo invariato, e adattabile agli oggetti, affinchè oggetti diversi possano essere così metricamente confrontati. Esso diviene un vero organo di tatto speciale, differenziato in vista delle discriminazioni metriche.

Tale organo per l’uomo è normalmente la mano, ma questa può essere surrogata, e lo è effettivamente in certi uffici, da un piede o da qualche altra parte del corpo.

Si deve poi ammettere che ben presto il tatto speciale permetta all’uomo di riconoscere l’invarianza nel movimento dei corpi solidi, e quindi che questi vengano utilizzati come più precisi istrumenti di confronto e di misura.

Una punta che scorra sulla cute, o la lama di un coltello appoggiatavi in riposo, ci porgono due immagini tattili della linea; genetica la prima, attuale la seconda. Se la lama suddetta striscia sulla pelle raschiandola leggermente si ha la rappresentazione genetica di una superficie; la rappresentazione attuale, distinta da quella e solo unitavi per associazione, corrisponde ad una lamina, di una certa lunghezza, appoggiata sulla pelle medesima.

La forma di una superficie, e in ispecie la sua planarità o il suo incurvamento, possono essere dati della rappresentazione attuale, riferita a parti della cute adattabili alla superficie suddetta; così p. es. alla mano distesa o incurvata corrispongono evidentemente sensazioni di contrazione muscolare diverse.

Ma la rappresentazione tattile delle tre dimensioni non si ottiene che geneticamente; ce la fornisce la successione delle impressioni tattili di una superficie mobile, aderente ad una parte della cute, che si muova con essa. Gli organi del tatto speciale hanno in tutto questo un ufficio più spiccato, se pure non necessario.

Fra tutte le linee e le superficie, si distinguono immediatamente i cerchi e le sfere, il cui riconoscimento è un dato del tatto speciale, collegandosi la generazione degli enti suddetti alla nozione comparativa delle distanze.

Quanto alla retta e al piano, la loro distinzione ci sembra, in gran parte almeno, un acquisto mediato. È vero che alcune ossa sono grossolanamente rettilinee, ma questo carattere particolare non può fermare l’attenzione fino a che non si sieno riscontrate altre proprietà notevoli della linea retta, come di essere asse di rotazione pei corpi solidi o linea di lunghezza minima. È anche possibile una definizione muscolare della retta in base alle sue proprietà meccaniche; ma, tutto confrontato, sembra che gli elementi costruttivi primordiali, che entrano più spiccatamente a formare lo spazio tattile-muscolare, non sieno le nozioni della retta e del piano, ma quella della distanza, e quindi dei cerchi e delle sfere.

Le ultime conclusioni si lasciano esprimere dicendo che lo spazio tattile-muscolare, ed in ispecie quello dato dal suo organo speciale, è lo spazio metrico, le cui proprietà risultano dalle proprietà fondamentali della distanza.

Che questo spazio sia illimitato, e illimitata in esso la linea retta, risulta dalla possibilità di trasportare l’organo del tatto speciale o un oggetto qualsiasi, in guisa da dar luogo ad una successione di lunghezze uguali indefinitamente proseguibile.

Non risulta per altro necessariamente la infinità dello spazio stesso; le lunghezze consecutivamente poste per diritto una dopo l’altra (operazione che nella rappresentazione astratta, deve essere pensata senza limite) potrebbero bene ricoprirsi, dopo percorso un intervallo assai lungo. L’esperienza ci dice soltanto che ciò non si riscontra nel campo a noi accessibile. Lo spazio metrico di cui ci forniscono la rappresentazione le elementari esperienze tattili-muscolari, potrebbe dunque essere altrettanto bene uno spazio euclideo o di Lobatschewsky, come uno spazio riemanniano. E la scelta della rappresentazione euclidea, a cui pure si attengono i ciechi-nati, deve essere loro suggerita indirettamente da altre esperienze più complesse. Invece per l’uomo normale vedremo più tardi come essa sia un resultato dell’associazione tattile-visiva.

§ 22. Parallelo fra lo sviluppo storico e lo sviluppo psicogenetico dei postulati geometrici.

A questo punto giova ritornare rapidamente agli sviluppi sui principii della Geometria che (come accennammo nel § 9) furono proseguiti secondo varii indirizzi sotto l’impulso di Riemann; il confronto di queste ricerche coi resultati testè stabiliti ci permetterà di riconoscere che, con esse, i geometri sono riusciti a scomporre la Geometria negli elementi costruttivi che corrispondono ai varii gruppi di sensazioni.

In pari tempo riusciremo così ad una distinzione generale dei postulati geometrici di cui è domandata una spiegazione psicologica.

Le ricerche attinenti ai principii della Geometria²² si possono distinguere secondo tre indirizzi fondamentali: l’indirizzo elementare, l’indirizzo metrico e l’indirizzo proiettivo.

Il primo indirizzo muove dal tentativo di una sistemazione logica dell’organismo euclideo, e fa capo alla fondazione della Geometria non-euclidea, di cui già abbiamo discorso. In questo ultimo stadio l’interesse fisico della questione dello spazio prevale sui criterii logici di ordinamento. Comunque, l’indirizzo elementare suddetto è caratterizzato dalla mancanza di un analisi tendente a separare i concetti geometrici; tutti i concetti fondamentali (di retta, piano, congruenza ecc.) sono considerati l’uno accanto all’altro, e si cerca soltanto di rendere semplici le proporzioni (postulati) che ne esprimono i primi rapporti, e di lumeggiarne le mutue dipendenze.

La separazione e la critica più profonda dei concetti fondamentali della Geometria, caratterizza invece lo stadio di ricerche che prende origine da B. Riemann, il più alto filosofo della Geometria. Qui, per la diretta influenza esercitata da Herbart sul suo discepolo, entra in campo, come interesse direttivo anche il criterio psicologico. D’altronde i rapporti dei concetti geometrici vengono quind’innanzi studiati col sussidio delle Matematiche superiori.

L’indirizzo iniziato da Riemann, cui si riattacca dappresso Helmholtz, è l’indirizzo metrico, nel quale tutta la Geometria viene fondata sulla base della nozione di distanza o di lunghezza di una linea, entro una varietà continua. Questi studii si riattaccano, per una parte allo sviluppo della Geometria differenziale, fondata da Gauss, e per l’altra alla teoria dei gruppi di trasformazioni, come è stato posto in luce più tardi da F. Klein, S. Lie, H. Poincarè.

D’altronde la fondazione della Geometria proiettiva, e l’assetto indipendente dalle nozioni metriche datole come si è detto da Staudt, inducevano il Klein ad inaugurare un nuovo indirizzo (proiettivo) d’investigazione dei principii, dove si assumano come fondamentali le nozioni (grafiche e ottiche) della retta e del piano.

I legami fra i due ordini di concetti grafici e metrici occuparono quind’innanzi molti ricercatori, mentre altri si dettero ad investigare per più vie i rapporti intrinseci delle Geometrie metriche o della proiettiva, legando queste indagini ad alti ed interessanti problemi matematici.

Ma la Geometria proiettiva e la metrica, hanno un sostrato qualitativo comune, nell’insieme dei rapporti, inerenti ai concetti più generali di linea e di superficie, che caratterizzano una varietà continua a più dimensioni. Questi concetti, senza alcun intervento delle idee di retta, piano, congruenza ecc., danno luogo già ad un ramo della Geometria, detto teoria dell’estensione o del continuo o Analysis situs, che tuttavia non è stato sviluppato molto innanzi, con metodo puro.

Ne consegue l’opportunità di una critica volta a questi sommi principii di ogni Geometria, la quale può riattacarsi per una parte ad alcune vedute appena accennate dal Riemann, e per l’altra a taluni studii di Dedekind, Weierstrass, Cantor, ecc.; i problemi che così prendono origine furono da noi nettamente posti ed in parte trattati geometricamente, in talune speciali ricerche (cfr. § 24).

Senza diffonderci ulteriormente in questa rapida rivista storica, basti ritenere che la critica dei principii della Geometria si è svolta parallelamente al differenziarsi della Geometria stessa secondo due rami, il metrico ed il proiettivo, aventi la loro radice comune nella generale teoria del continuo (o Analysis situs).

Noi possiamo ora riconoscere che questi due rami si riattaccano ai due gruppi di sensazioni tattili-muscolari e visive. E possiamo anche aggiungere che la generale sensibilità tattile-muscolare, la quale indipendentemente dallo specializzarsi del tatto, è anche il fondamento della impressionabilità della retina, porge già le rappresentazioni geometriche attinenti alla teoria del continuo, cioè le nozioni di linea, di superficie ecc.; è invece dovuta, come abbiam detto, ad un organo speciale di riferimento del tatto, la valutazione delle distanze e quindi la genesi di una esatta idea della congruenza o uguaglianza geometrica.

Queste conclusioni si lasciano riassumere schematicamente nel seguente enunciato:

I tre gruppi di rappresentazioni che si legano ai concetti posti a base dalla teoria del continuo (Analysis situs), della Geometria metrica e della proiettiva, si possono riattaccare nella psicogenesi, a tre gruppi di sensazioni: rispettivamente alle generali sensazioni tattili-muscolari, a quelle del tatto speciale e della vista.

Questo resultato ci guida ad una spiegazione psicologica dei postulati della Geometria, e alla sua volta ne riceve conferma.

§ 23. I postulati del continuo: la linea.

Rivolgiamoci anzitutto ai postulati della teoria del continuo, riferentisi ai concetti di linea e di superficie.

Il concetto della linea, abbiam detto, deriva per mezzo di un’associazione e di un’astrazione dalle possibili rappresentazioni genetiche ed attuali di essa.

Nella rappresentazione genetica la linea è una serie puntuale, ordinata secondo l’ordine temporale dato nella psiche (cfr. cap. V); la serie ordinata nel verso opposto si associa alla prima, unendosi ambedue alla rappresentazione attuale che, sotto un certo aspetto, ne rappresenta l’astratto. Così nasce il primo postulato fondamentale: l’invertibilità dell’ordine lineare, che, secondo Herbart e Bain, segna la differenza tra questo e l’ordine temporale.

Resta a render ragione della continuità della linea, la quale si esprime con due postulati:

1) Tra due punti di una linea vi è sempre qualche punto intermedio.

2) Postulato di Dedekind. Se una linea è divisa in due parti (classi di punti) per modo che:

a) ogni punto della linea appartenga all’una o all’altra;

b) ogni punto della prima parte preceda (in uno dei due ordini della linea) ogni punto dell’altra,

allora esiste un punto di divisione, cui non segue alcun punto della prima parte nè precede alcun punto della seconda.

Fermiamo la nostra attenzione sul primo postulato.

È chiaro anzitutto che esso non può esprimere una proprietà contingente di alcuna serie puntuale empiricamente data; anzi è stato già rilevato che nello spazio fisiologico questa proprietà della linea è contraddetta dalla esperienza.

Allorchè due punti A, B di una linea distano fra loro per meno del doppio della soglia di sensazione, riesce impossibile intercalare fra di essi un punto, sensibilmente distinto dai due dati. Tuttavia in molti modi sussidiarli constatiamo d’ordinario che tale impossibilità può esser tolta, ove ci si riferisca ad una parte più sensibile dell’organo tattile o alla vista, o con qualunque mezzo si affini il nostro potere di percezione.

Dappoichè varie immagini sensoriali si associano nella rappresentazione concettuale di una linea, dobbiamo spiegare la circostanza precedente ritenendo che un punto C, fra A e B, possa non essere distinto in una immagine sensoriale, per difetto di percezione. L’accoglienza di questa supposizione viene anche favorita dal fatto che la soglia delle sensazioni non ha una grandezza assolutamente fissa, che il movimento dell’oggetto sulla cute può diminuirla ecc.

L’estensione dell’esperienza c’induce dunque ad intravedere come possibile l’intercalazione di un punto fra due altri A, B, sopra un linea data, anche quando questa non riesca immediatamente palese al senso. Tuttavia questa estensione, nel fatto, ha sempre un limite che viene presto raggiunto. Se dunque il concetto della linea dovesse sorgere in noi dall’associare tutte le immagini sensoriali di una linea sola, fisicamente data, non saremmo mai condotti a postulare che l’intercalazione di un punto fra due dati possa proseguirsi indefinitamente.

Ma supponiamo associate in una sola classe di rappresentazioni tutte le possibili linee, e cerchiamo di determinare i caratteri del concetto astratto che ne deriva.

L’associazione fra due linee l, l’ pone idealmente una corrispondenza biunivoca fra i punti di esse; e l’esperimento ci suggerisce che una tale corrispondenza può ottenersi facendo corrispondere a due punti A, B (distinti) dell’una, due altri punti qualunque A’, B’ dell’altra; ciò risulta, p. es., dalla sovrapposizione di fili elastici diversamente tesi, dal riferimento mediante una proiezione di due linee rette ecc. Ora dunque, perchè due linee l, l’ possano venir associate in tal guisa, occorre pensare che fra i due punti A e B di l, come fra A’ e B’ presi convenientemente lontani su l’, si possa sempre intercalare un punto. Questa indefinita possibilità d’intercalazione spetta dunque come proprietà necessaria al concetto della linea, in quanto questo rappresenti il prodotto ideale di un’associazione e di un’astrazione di tutte le rappresentazioni genetiche delle linee, empiricamente assegnabili.

Ma la continuità della linea non ne resta ancora interamente affermata!

D’onde scaturirà la seconda parte di essa contenuta nel postulato di Dedekind?

Che il processo occorrente all’uopo sia più laborioso, risulta provato dal non essere i greci pervenuti alla piena nozione della continuità della linea, se pure essi sieno stati costretti a sorpassare il primo stadio innanzi descritto, allorchè considerarono il problema delle intersezioni di rette e cerchi.

In questo problema occorre infatti ammettere che il segmento congiungente un punto interno ed un punto esterno ad un cerchio, interseca il cerchio. Ed è facile riconoscere che con ciò si aggiunge qualcosa al postulato 1), giacchè l’insieme dei punti di una retta che hanno ascisse razionali rispetto ad una certa unità di misura, costituirebbe un sistema di punti soddisfacenti al postulato 1), il quale tuttavia non sarebbe generalmente incontrato da un cerchio nelle ipotesi sopra accennate.

Il postulato delle intersezioni di rette si può riguardare come un caso particolare di quello di Dedekind, ove ci si riferisca alla divisione della retta nelle due parti di punti «interni» ed «esterni» al cerchio.

Ma i geometri greci non generalizzarono questo caso prendendo in esame tutte le divisioni analoghe che possono farsi in una linea; o tutt’al più fecero in tal senso solamente dei tentativi, a cui si collegano alcuni noti sofismi da essi tramandatici.

L’analisi della continuità è un acquisto della scienza moderna, ed il postulato di Dedekind l’esprime nella sua forma più piena e precisa.

Che «un punto divida una linea in due parti» è una conseguenza immediata dell’ordine lineare; l’analisi di Dedekind vi aggiunge il riconoscimento delle condizioni sotto cui «la divisione in parti di una linea è operata per mezzo di un punto». Queste rispondono alla rappresentazione del punto come termine o ente di separazione della linea, riguardata nel suo aspetto attuale.

Il postulato 2) della continuità esprime dunque una condizione per l’associabilità di due diversi modi di rappresentarsi «il punto», come elemento generatore della linea presa nella sua immagine genetica, e come termine o ente divisorio della linea stessa data invece nella sua immagine attuale²³.

La spiegazione genetica della continuità costituisce un problema così importante, che vale la pena di chiarirlo sotto un altro aspetto, prendendo in luogo del postulato di Dedekind, quello, logicamente equivalente, di Weierstrass: entro un segmento, una serie di infiniti punti successivi possiede sempre un punto limite.

Sieno A₁A₂.... A_n.... i punti suddetti, definiti da una certa costruzione ripetibile, entro il segmento a, e procedenti, p. es., da sinistra verso destra. Rispetto ad una immagine concreta a_n di a, codesti punti, da uno di essi in poi, diverranno indiscernibili; p. es., la serie di punti A_n+1 A_n+2 .... verrà percepita come un punto solo. Ma il valore dell’indice n che qui interviene può variare colla scelta della immagine (a_n) di a, e ritenersi, dipendentemente da questa, così grande come si vuole.

Ora l’ipotesi che nel segmento a (idealmente rappresentato) esista un punto A, limite di A₁A₂.... A_n...., ha questo significato, che: nell’associare le varie rappresentazioni a_n, facciano corrispondere ad un punto la serie dei segmenti A_nA, termini del gruppo A₁A₂...., di cui nelle singole rappresentazioni suddette appariscono indiscernibili gli estremi.

Un tal modo di associazione è il più semplice processo costruttivo che valga a formare un concetto astratto della linea; ma non è l’unico possibile. Se si lascia cadere la condizione che le due rappresentazioni del «punto elemento generatore» e del «punto termine» di una linea si associno in guisa da corrispondere ad un unico ente astratto, si può costruire, con Veronese, un continuo di specie superiore, non archimedeo, in cui esistono segmenti infinitesimi attuali, e dove non valgono più i postulati (equivalenti) di Dedekind o di Weierstrass, ma soltanto un postulato di continuità meno restrittivo, conosciuto sotto il nome di Cantor.

Prescindendo dall’accennata costruzione astratta della Geometria non-archimedea, riassumiamo i risultati che concernono la nozione intuitiva ordinaria della linea:

I postulati della linea, riguardata nel suo aspetto interno, esprimono la possibilità di associare in un solo concetto astratto, secondo le leggi logiche del pensiero,

la rappresentazione genetica di una linea empiricamente data e la sua inversa, a quella dell’ordine temporale;

le varie rappresentazioni genetiche di una stessa linea o di linee diverse;

le rappresentazioni genetiche suddette alle rappresentazioni attuali, riunendo in particolare in una unica nozione astratta le due serie di immagini del punto come elemento generatore, e come termine della linea stessa.

Altre proprietà delle linee, riattaccantisi alla nozione della superficie scaturiscono dal confronto delle loro immagini attuali; ma esse concernono le loro relazioni esterne, mentre il concetto della linea, riguardata internamente, resta ormai fissato secondo il procedimento costruttivo descritto.

§ 24. Postulati del continuo a due e a tre dimensioni.

Il concetto generale della superficie come varietà a due dimensioni, deriva geneticamente, secondo B. Riemann²⁴, dal movimento di una linea.

Interpretata nel modo più largo, questa generazione conduce a prendere come dati sopra una superficie due fasci di linee unisecantisi, le generatrici e le direttrici o traiettorie descritte dai punti della linea mobile.

Se allora si suppone posta su queste linee una determinazione metrica, data cioè la nozione di lunghezza lineare, si riesce a rappresentare i punti della superficie con un sistema di coordinate, ossia a stabilire una corrispondenza biunivoca continua fra i punti della superficie e gli elementi (coppie di numeri) di una varietà numerica a due dimensioni.

Non volendo postulare fin da principio la determinazione metrica sopra le linee suddette, l’introduzione delle coordinate non riesce più possibile in base ai soli dati che figurano nella generazione di Riemann. Perciò questa viene considerata come una definizione insufficiente della varietà a due dimensioni, e S. Lie vi aggiunge esplicitamente l’ipotesi della rappresentabilità sopra una varietà numerica.

Allo scopo di dilucidare questo punto fondamentale per una pura teoria del continuo, noi abbiamo istituito una ricerca²⁵ di cui ecco il resultato: Si possono introdurre le coordinate sopra una superficie, tostochè sieno dati sopra di essa almeno tre fasci di linee a due a due unisecantisi; per il che basta, in sostanza ammettere due diverse generazioni della superficie stessa col movimento di una sua linea mobile.

Questo teorema risponde non soltanto alla questione matematica di definire il continuo a due dimensioni²⁶, ma anche alla questione psicologica di spiegare i postulati che vi si riferiscono secondo l’ordinaria intuizione. Infatti tali postulati, contenuti nella ipotesi della rappresentazione numerica, esprimono condizioni per la possibilità di associare in un unico concetto astratto della superficie le varie rappresentazioni genetiche che vi si collegano.

Ai postulati che permettono di definire la superficie, riguardata internamente come varietà a due dimensioni di punti, si aggiungano quelli che caratterizzano le relazioni esterne delle linee sopra una superficie.

Appartengono a quest’ordine di relazioni le proprietà della divisione in parti di una superficie per mezzo di una linea-termine, quindi l’esistenza e la parità o disparità delle intersezioni di questa linea-termine con un altra linea, che congiunga due punti di parti diverse ecc.

La rappresentazione di proprietà siffatte si ottiene in un modo progressivamente determinato col l’estendersi del concetto di «linea sopra una superficie», a mano a mano che certe immagini attuali della linea come termine si associano a quelle di una linea generatrice di una superficie data.

Se si parte, p. es., dalla rappresentazione del piano, generato dalle sue rette nei varii modi possibili, sorge l’immagine del semi-piano limitato da una retta, e si ha quindi il postulato di Pasch, ad esprimere la proprietà di divisione seguente:

Se tre punti A, B, C di un piano sono tali che il segmento BC non sega la retta a ed il segmento AB la sega, il segmento AC segherà la a; cioè se B, C sono dalla medesima parte di a, ed A, B da parte opposta, anche A, C saranno da parte opposta.

Ora la questione di enunciare i postulati atti a definire in generale il concetto di «linea sopra una superficie», s’imbatte nella difficoltà di fissare un limite ad un processo costruttivo dell’intuizione che, partendo da certe famiglie di linee, va gradatamente estendendosi a famiglie più generali. Perciò è dubbio se ed in qual senso l’analisi matematica del problema possa condurre ad un resultato sotto qualche aspetto compiuto²⁷.

Nondimeno le osservazioni precedenti ci hanno già indicato il modo di acquisto psicologico dei postulati in discorso; si tratta di associare l’immagine attuale di una linea, come termine divisorio di una superficie, a diverse immagini relative a generazioni possibili di questa.

Il passaggio dal continuo a due dimensioni a quello a tre, non dà luogo ad osservazioni veramente nuove; i postulati che caratterizzano le superficie generatrici valgono a definire questo continuo.

Ci limiteremo pertanto ad avvertire che il postulato delle tre dimensioni esprime una limitazione del processo genetico per cui dai punti si passa alle linee, e da queste alle superficie ecc.

Abbiamo già notato d’altronde che il continuo a tre dimensioni non è esso stesso oggetto di una rappresentazione attuale propria (cfr. in ispecie § 20).

Quanto alle relazioni esterne delle superficie, si ha anche qui una costruzione progressiva che sale da particolari famiglie di superficie a famiglie più generali.

§ 25. Postulati della Geometria proiettiva.

Abbiamo mostrato come i postulati che stanno a base della teoria del continuo, costituiscano condizioni per la possibilità di unire associativamente, nei concetti astratti della linea e della superficie, le varie rappresentazioni genetiche ed attuali che vi si collegano. La nostra critica ha in pari tempo posto in luce una certa indeterminatezza di quei concetti generali, dipendente dalla loro relatività, per cui si manifesta necessaria una costruzione progressiva, la quale ponga innanzi alcune linee e superficie particolari, e muova da queste ad estendere via via i concetti già definiti.

Questa necessità lascia scorgere, in un certo senso, l’ufficio di quella evoluzione, per cui le sensazioni particolari della vista e del tatto speciale, si differenziano dalla generale sensibilità tattile-muscolare, in ordine all’acquisto delle rappresentazioni di spazio.

Il procedimento della visione mette innanzi, fra tutte le linee, la retta; ed unisce nel concetto di essa due rappresentazioni ben distinte: distinte fra loro e dalle altre rappresentazioni lineari.

La retta si palesa infatti, come linea, non passante pel centro della visione, le cui proiezioni sono rette, e come linea (o raggio visuale) passante pel centro suddetto, che veduta da un occhio dà come immagine un punto.

Ora l’associazione di queste due rappresentazioni suppone la esistenza di una linea, la quale sia veduta da ogni suo punto come un punto solo, ed involge quindi il postulato di determinazione della retta: due punti appartengono ad una linea retta che è ugualmente determinata da altri due punti qualunque di essa.

Sieno infatti A, B, C tre punti di una retta, la quale venga guardata dal suo punto A, e sia T l’immagine retinica (o traccia sul piano della retina) della retta medesima. Il punto T è in questo caso l’immagine tanto di B come di C. Quindi la retta AB viene otticamente definita come il luogo dei punti le cui immagini cadono in T (immagine di B), e la retta AC parimente come il luogo dei punti la cui immagine cade in T (immagine di C).

Alla stessa definizione corrisponde, per il principio d’identità lo stesso ente, cioè:

AB = AC.

Ma per l’intermezzo della rappresentazione della retta non passante pel centro di vista, la retta AC si palesa come identica alla CA, e poichè qui si possono ripetere le precedenti considerazioni per riguardo ad un altro punto D:

CA = CD.

In definitiva ne scaturisce l’identità delle rette determinate dalle coppie di punti AB e CD.

Questo postulato mentre esprime un fatto, da cui dipende la possibilità di associare in un solo concetto astratto le rappresentazioni dei raggi visuali di una stessa retta, si traduce in una eguaglianza per riguardo al suddetto concetto, tostochè esso venga pensato come rispondente ad oggetti reali. Così appunto si spiega il sentimento di necessità che si accompagna al postulato in discorso.

Considerazioni analoghe sono applicabili al postulato del piano «il piano contiene la linea retta che ne congiunge due punti arbitrarii». Se invero si fa nascere il piano dalla proiezione di una retta da un punto esterno, il postulato anzidetto dice che «lo stesso piano è determinato ugualmente dalla proiezione, fatta da un suo punto qualsiasi, di una qualunque retta che ne congiunga due punti arbitrarii, non allineati col centro».

Si deduce quindi che questo postulato esprime la condizione perchè possano associarsi, in un unico concetto astratto, le varie rappresentazioni della superficie piana, ed in particolare quelle che corrispondono al guardarla da un suo punto qualunque.

Pertanto i postulati propri della Geometria proiettiva vengono riconosciuti come condizioni per l’associazione di certe rappresentazioni visive, da cui hanno origine i concetti astratti della retta e del piano.

§ 26. Postulati della Geometria metrica.

I postulati della Geometria metrica concernono i movimenti e la congruenza o eguaglianza geometrica delle figure, pensate come corpi solidi astrattamente penetrabili o sovrapponibili.

Le prime proprietà a cui si ferma l’attenzione del critico, sono quelle relative alla possibilità e al grado di libertà di movimento dei solidi: tenuto fisso un punto di una figura un altro punto può descrivere una superficie; tenuti fissi due punti un altro generico può descrivere una linea; tenuti fissi tre punti generici il movimento non è più possibile.

È assai significativo il fatto che in alcune analisi incomplete di queste nozioni (sia, p. es., in quella di Hoüel), le suddette proprietà figurino soltanto fra i postulati, ritenendosi invece come assiomi le proprietà per cui la congruenza cade sotto il concetto logico di «eguaglianza». Ed invero i suddetti postulati si presentano immediatamente come l’enunciato di esperienze meccaniche; al loro carattere di certezza non si riattacca un sentimento di necessità paragonabile a quello che accompagna le proprietà fondamentali della congruenza, ma soltanto l’evidenza che sorge da esperienze qualitative.

Helmholtz sembra aver rilevato per primo che la congruenza geometrica non può ritenersi come un’eguaglianza, senza ammettere implicitamente altri fatti essenziali concernenti il movimento. Ed S. Lie, H. Poincarè, D. Hilbert, sotto diversi aspetti hanno reso la cosa più chiara, sottoponendo questi fatti ad una nuova critica.

La veduta fondamentale a cui tali ricerche sono ispirate sembra essere stata accennata per la prima volta nello Erlangen-Programm di F. Klein (1871).

Essa consiste in ciò:

Un movimento pone nello spazio, o in una regione di spazio, una corrispondenza biunivoca puntuale (trasformazione). Affinchè la relazione di due figure trasformabili con un movimento (congruenza) possa ritenersi come una eguaglianza occorre che:

eseguendo successivamente due movimenti si ottenga (come prodotto) una trasformazione che sia ancora un movimento (onde se A = B, B = C, A = C);

la trasformazione inversa di un movimento sia ancora un movimento (onde da A = B, B = A segua A = A).

Ciò si esprime brevemente dicendo che «i movimenti formano un gruppo di trasformazioni». È chiaro che tale affermazione ha il carattere di un’affermazione di fatto, la quale involge certe proprietà d’invarianza relativa dei corpi solidi in movimento e dell’organo tattile, indipendenti dal modo come questo passa da una posizione ad un ’altra.

Ora, dato che i postulati della congruenza, obiettivamente riguardati, hanno, al pari degli altri postulati della Geometria, un valore empirico, come si spiega il sentimento eminente di necessità psicologica che li accompagna?

Consideriamo per semplicità due figure congruenti, costituite da due coppie di punti fisici equidistanti, AB, CD; e poniamo, p. es., che la distanza dei suddetti punti di una coppia sia di tre dita.

Ponendo le tre dita fra A, B e fra C, D, si avranno due sensazioni successive che differiscono per la posizione in cui è stato collocato l’organo tattile, ma che hanno qualche cosa di comune, inerente all’invarianza dell’organo stesso nel passaggio dall’una all’altra posizione. Le rappresentazioni delle due coppie AB, CD non sono identiche, ma possono associarsi per quello che hanno di comune in un’unica rappresentazione concettuale di distanza. Ora quando enunciamo la equidistanza

AB = CD

intendiamo esprimere ad un tempo una identità e una non identità; la possibilità di subordinare le due rappresentazioni ad una sola in ordine a certe relazioni, e la distinzione di esse rispetto ad altre relazioni.

Che cosa implica dunque la genesi del concetto di equidistanza, che sta a fondamento della congruenza geometrica?

Un’astrazione ed un’associazione, la quale riunisce sotto un certo aspetto due rappresentazioni; ed i postulati della congruenza riferiti alla rappresentazione (concettuale) unificata prendono quindi la forma degli assiomi logici della eguaglianza.

§ 27. Associazione metrico-proiettiva: postulato delle parallele.

Abbiamo tenuto conto fino ad ora delle condizioni associative che sottostanno alla genesi dei concetti geometrici, in ordine ad un solo gruppo di sensazioni tattili o visive. Questi hanno il comune sostrato nei concetti derivati dalla sensibilità generale e, tostochè si sieno associate le due immagini, tattile e visiva, del punto, danno origine a due Geometrie, una Geometria tattile ed una visiva, che si riferiscono al medesimo continuo a tre dimensioni, cioè al medesimo spazio.

Gli sviluppi matematici cui sopra abbiamo accennato, pertinenti in ispecie alla seconda metà del secolo appena compiuto, indicano fino a che punto possano svolgersi le due Geometrie suddette; onde si può affermare che col tatto (generale e speciale) costruiamo una Geometria metrica, e colla vista una proiettiva, riferentisi alla medesima varietà di punti (lo spazio).

Non pertanto queste due Geometrie si associano nella nostra mente, in un solo ordine di rapporti spaziali, e ciascuno dei sensi (in ispecie la vista) ci dà per associazione la percezione mediata dei suddetti rapporti.

Una tale associazione implica alla sua volta dei nuovi postulati. Giacchè invero si potrebbero costruire, in una varietà a tre dimensioni, due Geometrie astratte convenzionali, ponendo a base dell’una un sistema lineare ∞³ di superficie denominate «piani», a base dell’altra un gruppo ∞⁶ di trasformazioni denominate «movimenti», dotato di certe proprietà; e queste Geometrie formalmente identiche alla proiettiva e alla metrica ordinaria, non avrebbero tra loro, a priori, alcuna relazione.

La Geometria ordinaria invece unifica in un solo concetto della linea retta la immagine visiva e la immagine tattile di questa, venendo così a riconoscere una medesima simmetria fisica dei fenomeni ottici e meccanici.

Questa unificazione è così salda che occorre una critica molto profonda per separare i due ordini di concetti associati. A prima vista non si scorge differenza fra la proprietà ottica fondamentale della retta di essere determinata da due punti, e la sua proprietà meccanica di essere linea di minima distanza o asse di rotazione di un corpo solido.

L’intima ragione di ciò sta nel fatto che l’unione delle suddette proprietà è implicata dal giudizio «una linea congruente ad una retta è una retta».

Se nella frase sopra scritta si pone la parola «eguale» in luogo di «congruente», ci vuole un grande sforzo di critica per accorgersi che il giudizio espresso non si riduce ad una tautologia.

Eppure, se supponiamo che «la luce non si propaghi secondo la linea metricamente più breve cioè secondo la retta definita nel senso meccanico», una traiettoria luminosa fatta ruotare intorno a due dei suoi punti darebbe una linea congruente alla prima, la quale non potrebbe più riguardarsi, come quella, una «retta» nel senso ottico della parola.

La congruenza delle linee rette esprime dunque il fatto fisico fondamentale inerente alla propagazione della luce nei mezzi omogenei. Questo fatto rende possibile l’associazione delle due Geometrie (tattile e visiva) in una sola Geometria metrico-proiettiva, per modo che nel più ampio organismo geometrico la congruenza rivesta ancora l’aspetto logico di un’eguaglianza.

Si avverta invero: con un procedimento di astrazione, analogo a quello analizzato nel campo dei movimenti, si arriva parimente alla nozione di una eguaglianza proiettiva o visiva, relazione che i geometri considerano sotto il nome di proiettività²⁸.

Ora la eguaglianza metrica (congruenza) si palesa alla vista come un caso particolare della proiettività. Essa viene così a denotare la identità delle relazioni spaziali di due figure riguardate nel loro aspetto interno. Quindi il postulato metrico-proiettivo della congruenza delle rette viene a nascondersi nella forma di un assioma della eguaglianza logica.

Qualcuno anzi ha creduto di poter giungere di qui ad una definizione della congruenza come identità delle proprietà interne di due figure. Ma, anche a prescindere dal suo carattere vago, questa definizione è insufficiente; invero senza il confronto con qualcosa di esterno non si distingue la congruenza dalla similitudine.

Poichè lo spazio metrico derivato dalle rappresentazioni tattili, e lo spazio proiettivo costruito dalla vista, si fondono nel concetto astratto di un unico spazio metrico-proiettivo, viene anzitutto a determinarsi la rappresentazione di questo, come quella di uno spazio infinito; la illimitatezza della linea retta nei riguardi ottici e meccanici, e il suo aspetto ottico di «linea aperta», escludono infatti la rappresentazione riemanniana.

Tuttavia resta ancora da spiegare come si pervenga al postulato d’Euclide, escludendo la rappresentazione iperbolica di Lobatschewsky.

È naturale di paragonare per questo le due rappresentazioni, tattile e visiva, che ci formiamo delle rette parallele.

Queste si presentano nell’aspetto ottico come rette di un piano non secantisi e, precisamente, come limiti di rette secantisi in un punto lontano. Nella rappresentazione tattile si presentano invece come linee equidistanti.

L’associazione porta che due parallele vengano concepite come rette (di un piano) equidistanti. E l’ipotesi dell’esistenza di due rette siffatte involge notoriamente il postulato d’Euclide delle parallele; in altri termini porta a riconoscere come unica la retta i cui raggi sono otticamente paralleli ad un’altra retta data, secondo le sue opposte direzione.

Così dunque, il postulato delle parallele nasce dall’associazione tattile-visiva che ci porta al concetto metrico-proiettivo dello spazio.

Questo concetto, comunque si possa discutere intorno al suo esatto valore reale, resta sempre nella sua formazione subiettiva euclideo. Ma la critica, che ne ha successivamente decomposto gli elementi costruttivi, è venuta appunto a sciogliere dapprima le associazioni più complesse e recenti, leganti insieme i dati di sensi diversi, per risalire quindi sempre più indietro, fino alle origini del processo di formazione.

Le spiegazioni innanzi accennate intorno alla genesi del postulato d’Euclide possono ricevere conferma dallo studio della Geometria dei ciechi-nati?

E trovano esse, d’altra parte, un appoggio nella storia della Geometria non euclidea?

Alla prima domanda sembra si debba rispondere: se il postulato euclideo nasce da un’associazione tattile-visiva, i ciechi-nati non ne avranno alcuna nozione intuitiva.

Tuttavia questa supposizione è a priori inammissibile, giacchè appare chiaro che, mancando la vista, altre esperienze tattili-muscolari conducano nel loro complesso ad una rappresentazione euclidea dello spazio. E così avviene di fatto; noi stessi abbiamo potuto assicurarcene.

Tuttavia si può pensare che i ciechi-nati non debbano provare la repugnanza ordinaria verso l’ipotesi non euclidea. Ci sarebbe piaciuto assai di chiarire questo punto. Ma per verità giudichiamo insufficiente l’esperimento fatto nell’istituto di Bologna, presso un cieco-nato fornito di una certa coltura geometrica; e ci sembrerebbe ardito di prendere senz’altro come prova in favore della nostra tesi la testimonianza di questi, che, assentendo alla possibilità dei dubbii da noi espressi in senso non-euchdeo, poteva evidentemente subire la suggestione delle nostre stesse domande.

Ciò che abbiamo ricavato dall’interrogatorio suddetto è la persuasione della estrema difficoltà di pervenire in tal modo a conclusioni accertate.

Una conferma della spiegazione genetica del postulato euclideo, viene invece fornita dalla storia. Il nostro amico G. Vailati ci ha comunicato infatti che il Saccheri attribuisce i pochi progressi fatti, avanti di lui, dalla critica non-euclidea, all’acquietamento di molti geometri di fronte alla definizione delle parallele come «rette equidistanti»; questo è per il Saccheri, un errore di definizione complessa. E appunto dalla denunzia di questo errore logico, l’ingegnoso ricercatore prende le mosse alla sua critica originale.

Ma che cos’è altro una definizione complessa, se non un modo implicito di postulare l’esistenza di un ente, il cui concetto deriva da più rappresentazioni concettuali associate?

A questo titolo si può dire più generalmente, che la pretesa necessità logica dei postulati geometrici, riposa sempre in un certo senso sopra una definizione complessa, dove per altro le rappresentazioni associate isolatamente prese, possono non entrare nella sfera concettuale.

§ 28. Conclusione.

Da un punto di vista sintetico le precedenti considerazioni sull’acquisto dei concetti geometrici, mettono in luce la varietà delle esperienze elementari ed inconsciamente ripetute che vengono rievocate nella visione immaginativa o intuizione dello spazio; ma più ancora esse ci mostrano il lungo processo di associazioni e di astrazioni per cui i concetti medesimi furono generati.

L’evidenza della Geometria sta a significare, da una parte la facilità di rievocare le antiche esperienze inconscie, ripetendole per così dire semplificate nella intuizione delle immagini; d’altra parte la possibilità di riscontrare nella forma dei postulati le operazioni di associazione ed astrazione, eseguite sugli elementi costruttivi dello spazio.

I fatti supposti dai postulati si presentano quindi come le condizioni di uno sviluppo psicologico, che si svolge secondo le leggi logiche e secondo il principio di economia, riuscendo appunto alla rappresentazione più unificata della realtà geometrica.

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Note

1. Cfr. «Science et hypothèse», Paris, Flammarion, senza data.
2. Sopra un tale ordine di questioni inerenti alla Geometria, come scienza fisica, ha richiamato l’attenzione F. Klein nelle sue belle lezioni dell’estate 1901. (Anwendung der differential und integral Rechnung auf Geometrie. Leipzig, Teubner 1902).
3. Cfr. il nostro articolo sui Principii citato a pag. 117.
4. Bologna, Zanichelli, 1900.
5. Bologna, Zanichelli, 1903; 2ª ed., 1905.
6. Tra queste proprietà si trova la continuità della retta. Questa non compare in Euclide, dove trovasi surrogata in qualche punto da proposizioni particolari che ne dipendono. Si confronti l’art. IV di G. Vitali nei collectanea di F. Enriques «Questioni....», op. cit.
7. Per la storia di essa, ed anche per uno sviluppo succinto delle teorie che la costituiscono, vedasi l’art. VI di R. Bonola nella nostra citata raccolta.
8. Cfr. il nostro citato articolo sui Principii.
9. Di questo triangolo, i cui lati sono circa km. 69, 85, 197, parla Gauss nel § 28 delle sue «Disquisitiones circa superficies curvas».
10. Cfr. in particolare i suoi «Principes de Psychologie trad par Ribot et Espinas, 1874 (t. II, cap. XIV)».
11. A parte le vedute biologiche generali, crediamo assai dubbio il fatto che si riscontri un progresso di innata coordinazione dei movimenti alle sensazioni, quando si sale la scala zoologica. Mentre occorre un anno al bambino per camminare e tre mesi all’uomo adulto nato cieco cui sia ridonata la vista per coordinare l’uso ai movimenti, una meravigliosa prontezza di adattamento si rivela nei pulcini (vedansi le esperienze sui pulcini incappucciati di Spalding nel libro di Romanes sull’«Evoluzione mentale degli animali» — pag. 155 della trad. francese).
    D’altronde la riflessione mostra che deve distinguersi l’evoluzione dell’organo coordinatore da quella della funzione. Questa tende a passare dal conscio all’inconscio, voluta dapprima diviene sempre più riflessa (Cfr. Lewes «Physiology of common life»); quello tende all’acquisto di una funzione sempre più complessa e cosciente, in rapporto al moltiplicarsi delle vie nervose e dei loro legami. Pertanto, aumentando nella filogenesi la varietà delle coordinazioni possibili, l’elemento acquisito empiricamente nell’orientazione spaziale dell’animale sembra avere una importanza sempre crescente, ed al contrario i modi primitivi di orientazione, essendo quasi determinati, appariscono più attinenti alla struttura organica nelle forme inferiori.
12. Nel suo studio «Ueber die Raumwahrnehmungen des Taatsinnes» (Berlin, Reuter-Richard, 1898) V. Henri trova appunto necessario di ammettere come originaria, nell’uomo, una disposizione anatomo-fisiologica per cui un eccitamento periferico provochi moti riflessi, conducenti l’organo tattile in prossimità del luogo eccitato.
13. Leipzig, Engelmann, 1880.
14. «Viertel jahrschrift für wissenschaftlische Philosophie», 1888, Bd XII, pag. 279.
15. Cfr. F. Enriques: «Sulla spiegazione psicologica dei postulati della Geometria». Rivista Filosofica. Pavia, 1901.
16. «Le teorie nativistiche e genetiche della localizzazione spaziale». Verona-Padova, 1883.
17. «Zeitschrift für Psychologie und Physiologie der Sinnesorgone», III, pag. 388.
18. Jena, G. Fischer, 1886; trad. it., Bocca, 1903.
19. Cfr. l’appendice storica nelle «Lezioni di Geometria proiettiva» di F. Enriques. Bologna. Zanichelli, 1898, 2ª ed. 1904.
20. Così si denomina la corrispondenza puntuale fra due superficie piane, in cui le rette si corrispondano.
21. «Ueber den psychologischen Ursprung der Raumvorstellung», Leipzig, 1873 (passim ed in ispecie pag. 177 e seg.).
22. Cfr. l’articolo di Enriques citato a pag. 117.
23. Questa spiegazione della genesi psicologica del continuo, da noi esposta nella citata nota del 1901, s’incontra in una stretta parentela con quella proposta da H. Poincarè nel suo recente libro «Science et Hypothèse» più volte citato.
24. Habiliatationsschrift, Göttingen, 1854. (Göttinger Abhandlungen XIII, 1868).
25. Enriques — Circolo Matematico di Palermo, t. XII, 1898.
26. Cfr. il nostro Art. citato a pag. 117.
27. Citeremo i resultati in vario senso di Cantor, Peano, Jordan, e talune osservazioni sulle linee analitiche ecc. per cui rimandiamo al nostro citato Articolo sui «Principii».
28. Trasformazione che conserva le rette e i piani, e quindi tutte le proprietà grafiche.