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i problemi della logica

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senso essa dice che il concetto della retta si riconduce a due altri più generali, cioè al concetto di una linea e a quello della sua lunghezza. Se si volesse determinare rigorosamente il significato reale di questi, ci si troverebbe molto imbarazzati; ma riesce più comodo di non fermarsi sulla domanda. Non insistiamo su questo punto, e procediamo oltre nel nostro esame.

Si avrebbe diritto di chiedere, almeno, che dalla definizione vengano dedotte logicamente le proprietà della retta, facendo appello a qualche proprietà generale delle linee e della loro lunghezza. Ma già la più semplice proprietà, secondo la quale due rette non possono avere più di un punto comune, costituisce una proposizione, che si può ritenere impossibile a stabilire per questa via¹, e che perciò ci si trova costretti ad aggiungere alla definizione, come un postulato.

Nei successivi sviluppi, concernenti figure più complesse, vi è luogo a richiamare codesto postulato o altri analoghi, i quali mettono in luce le più semplici proprietà della linea retta; mai si ricorre alla proprietà che ne costituisce la pretesa definizione.

Allora, se non si vuole cambiare il senso ordinario della parola, bisogna convenire che la pretesa definizione di Legendre, non è una definizione sotto l’aspetto logico, o almeno che non ne occupa il posto nell’accennato organamento logico della Geometria elementare.

Ma se la ricordata definizione non ci apprende le proprietà elementari della retta, a cui si ha ricorso nello sviluppo logico della Geometria, non si potrebbe negare che essa ci apprenda tuttavia qualche cosa. Difatti gli allievi la trovano perfettamente chiara, e ammettono volentieri che essa porga loro un’idea precisa della linea retta.

In qual modo viene raggiunto questo resultato incontrastabile?

È facile comprenderlo. Poichè il concetto generale della linea richiama alla mente l’immagine di un filo, parlando della linea più corta fra due punti, si fa sorgere avanti agli occhi l’immagine di un filo teso, che è una buona rappresentazione sensibile della retta.

Ma allora, la pretesa definizione della retta non vale a determinarla meglio di un qualunque altro procedimento analogo di spiegazione per mezzo di un modello concreto; onde s’inganna l’insegnante che vi ricorre colla pretesa di fare qualcosa di essenzialmente diverso.

Abbiamo scelto come esempio la definizione della retta data da Legendre, della quale a dir vero la critica ha fatto giustizia da lungo tempo,

1. Si prova matematicamente l’impossibilità della dimostrazione, appena sieno precisati con opportuni postulati, rispondenti all’ordinaria intuizione, i concetti di «linea» e di «lunghezza di una linea».

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