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capitolo iii

a, b, c ....

m, n, p ....

........

delle quali si denotino i termini generali risp. con A, M,...

Suppongasi per ciascuna serie che:

1) ogni oggetto abbia un successivo determinato;

2) ogni oggetto, all’infuori di uno (il primo), che non succede ad altri, abbia un determinato precedente;

3) valga la proprietà seguente (principio d’induzione matematica)¹: se una classe di oggetti è tale che insieme ad ogni A contenga il suo successivo, e se contiene a, essa conterrà tutti gli elementi della serie a, b, c,... (analogamente per le altre serie).

Possiamo formare le serie seguenti:

(a)	(ab)	(abc)	....
(m)	(mn)	(mnp)	....
....	....	....	....

Riunendo in una classe (composta) gli oggetti (classi) che si trovano in una medesima colonna del quadro precedente, definiamo, per astrazione, successivamente i numeri

1, 2, 3,....

Lo sviluppo delle operazioni aritmetiche si lascia quindi fondare sopra gli assiomi logici e sui postulati 1) 2) 3).

L’ufficio di questi postulati e segnatamente del terzo, che per la prima volta Peano ha considerato come una condizione definitrice del sistema dei numeri, consiste nel ritenere a priori possibili senza contraddizione, le deduzioni ottenute a partire dagli infiniti elementi e rapporti che vengono supposti nel concetto generale di numero (intero).

Ora è specialmente importante per lo scopo nostro avvertire, che una serie come la a, b, c, ...., può essere supposta all’infuori dell’esperienza fisica per mezzo di certe determinazioni generali che involgono una successione di atti del pensiero illimitatamente proseguibile. P. es., si suppongano dati due oggetti a, α, e si costruisca il nuovo oggetto

$b\equiv (a\alpha ),$

1. Non si deve confondere l’induzione matematica, per cui si argomenta da n ad n + 1..., coll’induzione completa aristotelica, cui si è accennato nel § 1, e per la quale si argomenta del concetto astratto di una classe ciò che si suppone noto per ciascuno degli oggetti che la compongono. L’induzione matematica è stata scoperta molto più tardi; secondochè il Vailati mi comunica, essa risale a Maurolico (1550).