 |
Questa pagina è stata trascritta, formattata e riletta. | |
| i problemi della logica | 115 |
Mettiamo a riscontro queste vedute collo sviluppo storico dei problemi che le hanno suggerite, e degli apprezzamenti che vi si riferiscono.
La questione della compatibilità di un sistema di postulati si è affacciata in Geometria, in seguito alla costruzione delle teorie non-euclidee (cfr. cap. IV). I fondatori di queste trassero prima di tutto la convinzione della compatibilità logica delle loro ipotesi, dalla circostanza di non incontrare contraddizioni in uno sviluppo relativamente avanzato.
Ma la questione fu definitivamente chiusa solo quando si pervenne a dimostrare che la compatibilità logica delle ipotesi non-euclidee è una conseguenza di quella delle proprietà fondamentali dei numeri interi, supposte dalle operazioni aritmetiche, o di quella dei postulati della Geometria euclidea.
Negli sviluppi critici più recenti intorno ai principi della Geometria, si è ricorso ugualmente ai punti di vista suddetti; sopratutto la scuola tedesca, da Riemann in poi, si è riattaccata all’Aritmetica, mentre la scuola geometrica italiana, dopo il «Saggio» di Beltrami ha trattato le questioni di compatibilità dei postulati ricorrendo a varie interpretazioni concrete, ed in ispecie a quelle che vengono suggerite dalla intuizione dell’ordinario spazio di Euclide.
È chiaro che l’esperienza psicologica (consciamente eseguita o contenuta nella visione immaginativa dei concetti) garantisce ugualmente che l’Aritmetica e la Geometria euclidea sono esenti da contraddizioni; inoltre la possibilità logica dell’una si riduce a quella dell’altra mediante l’introduzione delle coordinate; sicchè sotto questo aspetto le prove fornite appariscono equivalenti. Invece sotto l’aspetto fisico le esperienze che verificano i rapporti contenuti nell’Aritmetica hanno su quelle geometriche il vantaggio di essere qualitative, cioè di riferirsi a rapporti che possono variare soltanto in modo discreto.
Ma vi è un altro punto di vista, da cui la supposizione della compatibilità dell’Aritmetica appare come il postulato più ristretto, fra quelli che possono assumersi per stabilire la possibilità dei concetti.
§ 19. Fondamenti dell’Aritmetica.
Ci proponiamo appunto, di discutere qui brevemente, le questioni che riguardano i fondamenti dell’Aritmetica e la possibilità della supposizione che questa richiede. Terremo presenti all’uopo le critiche di Dedekind, Peano, ecc., ed in ispecie quelle del Peano, che ci sembrano le più perfette sotto l’aspetto logico ed algoritmico, ma che fanno volutamente astrazione dai problemi di ordine psicologico o filosofico.
La numerazione si può basare sopra un presupposto fisico. Si prendano come date più serie di oggetti
