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i problemi della logica 117

ottenuto dalla loro riunione; si costruiscano analogamente

, ....

La serie

a, b, c...


così psicologicamente definita, soddisfa alle condizioni 1), 2), 3).

Anche in base alla proprietà riflessiva del pensiero si riesce a costruire una serie analoga:

a, b pensiero di a, c pensiero di b, ecc.

Notisi che la prima di queste costruzioni convenzionali conduce ad un sistema diadico di numerazione, dove tuttavia la scrittura ordinata delle cifre esige un presupposto fisico (geometrico).

Dalle cose dette si desume che la supposizione fondamentale dell’Aritmetica può essere appoggiata, anzichè ad una realtà fisica, ad una realtà psicologica, cioè al fatto che si possono illimitatamente ripetere certi atti del pensiero subordinandoli a determinazioni generali, per modo da costruire delle serie che soddisfino alle condizioni 1), 2), 3).

Pertanto l’Aritmetica, richiedendo solo un postulato psicologico da aggiungersi alle leggi associative (assiomi) si può in un certo senso considerare come una parte della Logica pura, o come un prolungamento di questa, dove si completino gli assiomi col principio d’induzione matematica, inteso come una proprietà fondamentale delle serie psicologicamente costruite1.


B - L’applicazione della Logica.


§ 20. Problemi fondamentali.

Dopo avere esaminato i problemi che si riferiscono all’aspetto logico del procedimento conoscitivo, nella sua espressione subiettiva più perfetta, ci volgiamo a considerare il medesimo procedimento nei rapporti colla realtà. Dallo studio della Logica pura passiamo dunque alla sua applicazione.

Già accennammo all’ufficio che il ragionamento deduttivo ha nell’acquisto delle conoscenze, come istrumenito di trasformazione delle ipotesi. Ora

  1. La questione della compatibilità dei postulati dell’Aritmetica è stata messa all’ordine del giorno dalle comunicazioni di D. Hilbert ai recenti congressi di matematiche (Parigi, 1900; Heidelberg, 1904). Hilbert ricerca una dimostrazione logica; ma noi non comprendiamo bene in qual senso sia da intendere la veduta dell’illustre geometra.
    Alle comunicazioni anzidette si collega uno scritto polemico di A. Padoa, che sostiene (senza distinzione delle esperienze) il punto di vista empirico; alle opinioni di questo autore si contrappongono in parte le osservazioni del nostro precedente paragrafo.