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| la geometria | 161 |
coll’esattezza della ordinaria Geometria, che si esprimono invece con una vera e propria Geometria, diversa dalla nostra.
§ 8. Lo spazio come concetto: la Geometria astratta.
Ad evitare malintesi, cominciamo dall’osservazione seguente:
Lo spazio, riguardato nella mente del geometra, non è soltanto una intuizione, secondo la quale si ordinano le immagini sensoriali, bensì è anche un concetto, come i geometri non hanno cessato di affermare da Leibniz in poi.
È un torto della critica kantiana di avere disconosciuto questo significato psicologico della parola «spazio», di cui non può fare a meno la Geometria, se voglia rivestire la forma logica di una scienza deduttiva.
Vanamente si obietta che un concetto suppone più determinazioni possibili, laddove lo spazio risponde ad un particolare determinato. Coloro che attribuiscono ancora un valore a codesto vecchio argomento, sembrano ignorare il significato logico, astratto, che lo spazio ha acquisito presso i geometri contemporanei.
Il concetto dello spazio, nella sua accezione matematica, rappresenta l’insieme dei rapporti (geometrici) fra i punti, fatta astrazione delle sensazioni particolari che si riattaccano all’immagine del punto. Lo spazio viene così pensato come una varietà di elementi qualunque, cui si dà il nome di «punti», perchè sono dati in certe relazioni di ordine atte a rappresentare, con una grande approssimazione i rapporti di posto intercedenti fra i corpi molto piccoli (punti fisici).
Abbiamo già avuto luogo di ricordare, come Pluecher abbia insegnato a trar profitto da questa indeterminazione, che si lascia all’oggetto denotato colla parola «punto», per studiare, sotto il nome di spazio, forme geometriche molto diverse.
Si dia, p. es., il nome di «punti» ai «cerchi» d’un piano, e si fissi, in modo conveniente, ciò che si vuole intendere per «distanza» di due cerchi, e quali sistemi di cerchi si vogliano designare col nome di «rette» e di «piani». Queste definizioni debbono essere poste in modo, che le elementari proprietà geometriche relative allo spazio ordinario (postulati), si traducano in proposizioni valide per la Geometria dei cerchi.
Quando tale condizione sia soddisfatta, viene stabilito un riscontro fra lo spazio ordinario di punti, e codesto spazio convenzionale di cerchi; ad ogni figura di punti si contrappone una figura di cerchi, ed ogni proposizione concernente la prima si traduce, secondo la dualità posta, in una proposizione concernente la seconda.
Quando si prosegue il principio di Pluecher, nel campo delle applicazioni geometriche, sembra naturale di porre a riscontro collo spazio fisico
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