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| la geometria | 191 |
una proiezione di due linee rette ecc. Ora dunque, perchè due linee l, l’ possano venir associate in tal guisa, occorre pensare che fra i due punti A e B di l, come fra A’ e B’ presi convenientemente lontani su l’, si possa sempre intercalare un punto. Questa indefinita possibilità d’intercalazione spetta dunque come proprietà necessaria al concetto della linea, in quanto questo rappresenti il prodotto ideale di un’associazione e di un’astrazione di tutte le rappresentazioni genetiche delle linee, empiricamente assegnabili.
Ma la continuità della linea non ne resta ancora interamente affermata!
D’onde scaturirà la seconda parte di essa contenuta nel postulato di Dedekind?
Che il processo occorrente all’uopo sia più laborioso, risulta provato dal non essere i greci pervenuti alla piena nozione della continuità della linea, se pure essi sieno stati costretti a sorpassare il primo stadio innanzi descritto, allorchè considerarono il problema delle intersezioni di rette e cerchi.
In questo problema occorre infatti ammettere che il segmento congiungente un punto interno ed un punto esterno ad un cerchio, interseca il cerchio. Ed è facile riconoscere che con ciò si aggiunge qualcosa al postulato 1), giacchè l’insieme dei punti di una retta che hanno ascisse razionali rispetto ad una certa unità di misura, costituirebbe un sistema di punti soddisfacenti al postulato 1), il quale tuttavia non sarebbe generalmente incontrato da un cerchio nelle ipotesi sopra accennate.
Il postulato delle intersezioni di rette si può riguardare come un caso particolare di quello di Dedekind, ove ci si riferisca alla divisione della retta nelle due parti di punti «interni» ed «esterni» al cerchio.
Ma i geometri greci non generalizzarono questo caso prendendo in esame tutte le divisioni analoghe che possono farsi in una linea; o tutt’al più fecero in tal senso solamente dei tentativi, a cui si collegano alcuni noti sofismi da essi tramandatici.
L’analisi della continuità è un acquisto della scienza moderna, ed il postulato di Dedekind l’esprime nella sua forma più piena e precisa.
Che «un punto divida una linea in due parti» è una conseguenza immediata dell’ordine lineare; l’analisi di Dedekind vi aggiunge il riconoscimento delle condizioni sotto cui «la divisione in parti di una linea è operata per mezzo di un punto». Queste rispondono alla rappresentazione del punto come termine o ente di separazione della linea, riguardata nel suo aspetto attuale.
Il postulato 2) della continuità esprime dunque una condizione per l’associabilità di due diversi modi di rappresentarsi «il punto», come elemento
