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capitolo iv

generatore della linea presa nella sua immagine genetica, e come termine o ente divisorio della linea stessa data invece nella sua immagine attuale¹.

La spiegazione genetica della continuità costituisce un problema così importante, che vale la pena di chiarirlo sotto un altro aspetto, prendendo in luogo del postulato di Dedekind, quello, logicamente equivalente, di Weierstrass: entro un segmento, una serie di infiniti punti successivi possiede sempre un punto limite.

Sieno A₁A₂.... A_n.... i punti suddetti, definiti da una certa costruzione ripetibile, entro il segmento a, e procedenti, p. es., da sinistra verso destra. Rispetto ad una immagine concreta a_n di a, codesti punti, da uno di essi in poi, diverranno indiscernibili; p. es., la serie di punti A_n+1 A_n+2 .... verrà percepita come un punto solo. Ma il valore dell’indice n che qui interviene può variare colla scelta della immagine (a_n) di a, e ritenersi, dipendentemente da questa, così grande come si vuole.

Ora l’ipotesi che nel segmento a (idealmente rappresentato) esista un punto A, limite di A₁A₂.... A_n...., ha questo significato, che: nell’associare le varie rappresentazioni a_n, facciano corrispondere ad un punto la serie dei segmenti A_nA, termini del gruppo A₁A₂...., di cui nelle singole rappresentazioni suddette appariscono indiscernibili gli estremi.

Un tal modo di associazione è il più semplice processo costruttivo che valga a formare un concetto astratto della linea; ma non è l’unico possibile. Se si lascia cadere la condizione che le due rappresentazioni del «punto elemento generatore» e del «punto termine» di una linea si associno in guisa da corrispondere ad un unico ente astratto, si può costruire, con Veronese, un continuo di specie superiore, non archimedeo, in cui esistono segmenti infinitesimi attuali, e dove non valgono più i postulati (equivalenti) di Dedekind o di Weierstrass, ma soltanto un postulato di continuità meno restrittivo, conosciuto sotto il nome di Cantor.

Prescindendo dall’accennata costruzione astratta della Geometria non-archimedea, riassumiamo i risultati che concernono la nozione intuitiva ordinaria della linea:

I postulati della linea, riguardata nel suo aspetto interno, esprimono la possibilità di associare in un solo concetto astratto, secondo le leggi logiche del pensiero,

la rappresentazione genetica di una linea empiricamente data e la sua inversa, a quella dell’ordine temporale;

1. Questa spiegazione della genesi psicologica del continuo, da noi esposta nella citata nota del 1901, s’incontra in una stretta parentela con quella proposta da H. Poincarè nel suo recente libro «Science et Hypothèse» più volte citato.