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capitolo iv

La costante ${\frac {\alpha }{A}}$ prende il nome di curvatura dello spazio (per certe analogie colla teoria delle superficie); essa si riduce = 0 nell’ipotesi euclidea, che si ottiene come limite dalle precedenti per k = ∞.

Risulta pertanto che la soluzione fisica della questione delle parallele si può ottenere soltanto se, con accurate misure, si provi essere la somma degli angoli di un triangolo sensibilmente minore, oppure maggiore, di due retti. Ma, se tale somma si trovi sensibilmente uguale a due retti, resta il dubbio tra due ipotesi:

a) vale fisicamente la Geometria euclidea, per rispetto a misure precise quanto si vuole;

b) vale una delle due ipotesi non euclidee, ma la curvatura (negativa o positiva) dello spazio è molto piccola, e quindi il parametro k di Lobatschewsky è molto grande; cioè tanto grande che la somma degli angoli del nostro triangolo differisce da due retti per meno degli errori d’osservazione.

Ora appunto le più accurate misure dei triangoli sulla terra, danno, come quello osservato da Gauss, una verificazione sensibile della Geometria euclidea, a meno degli errori d’osservazione. Ne risulta che k supera un certo limite rispetto alle dimensioni terrestri.

Rivolgiamoci all’Astronomia. Qui s’incontrano triangoli di dimensioni enormi rispetto a quelli osservabili sulla terra; essendo molto più grande il denominatore della frazione

${\frac {4}{\pi k^{2}}},$

si può sperare che la quantità α sia apprezzabile, pur superando k il limite dinanzi indicato. Tuttavia noi non possiamo più misurare i tre angoli di un triangolo celeste la cui somma si suppone differire di α da due retti, ma soltanto due di questi angoli. Così ad es. guardando una stella da due punti opposti dell’orbita terrestre, estremi dell’asse maggiore dell’eclittica, non si può misurare l’angolo x sotto cui si vede dalla stella il suddetto asse, ma soltanto i due angoli a, b, formati con questo dai raggi visuali che vanno alla stella.

Nell’ipotesi euclidea si ha

a + b + x = 2 R,

e quindi l’angolo x viene dato dalla parallasse della stella, 2R —  (a + b), la quale si suole determinare riducendosi al caso in cui uno dei due angoli a, b sia retto. Quanto più lontana è la stella osservata, tanto più piccola diventa la sua parallasse, pur mantenendosi sempre positiva.