 |
Questa pagina è stata trascritta, formattata e riletta. | |
| la geometria | 199 |
Questa unificazione è così salda che occorre una critica molto profonda per separare i due ordini di concetti associati. A prima vista non si scorge differenza fra la proprietà ottica fondamentale della retta di essere determinata da due punti, e la sua proprietà meccanica di essere linea di minima distanza o asse di rotazione di un corpo solido.
L’intima ragione di ciò sta nel fatto che l’unione delle suddette proprietà è implicata dal giudizio «una linea congruente ad una retta è una retta».
Se nella frase sopra scritta si pone la parola «eguale» in luogo di «congruente», ci vuole un grande sforzo di critica per accorgersi che il giudizio espresso non si riduce ad una tautologia.
Eppure, se supponiamo che «la luce non si propaghi secondo la linea metricamente più breve cioè secondo la retta definita nel senso meccanico», una traiettoria luminosa fatta ruotare intorno a due dei suoi punti darebbe una linea congruente alla prima, la quale non potrebbe più riguardarsi, come quella, una «retta» nel senso ottico della parola.
La congruenza delle linee rette esprime dunque il fatto fisico fondamentale inerente alla propagazione della luce nei mezzi omogenei. Questo fatto rende possibile l’associazione delle due Geometrie (tattile e visiva) in una sola Geometria metrico- proiettiva, per modo che nel più ampio organismo geometrico la congruenza rivesta ancora l’aspetto logico di un’eguaglianza.
Si avverta invero: con un procedimento di astrazione, analogo a quello analizzato nel campo dei movimenti, si arriva parimente alla nozione di una eguaglianza proiettiva o visiva, relazione che i geometri considerano sotto il nome di proiettività1.
Ora la eguaglianza metrica (congruenza) si palesa alla vista come un caso particolare della proiettività. Essa viene così a denotare la identità delle relazioni spaziali di due figure riguardate nel loro aspetto interno. Quindi il postulato metrico-proiettivo della congruenza delle rette viene a nascondersi nella forma di un assioma della eguaglianza logica.
Qualcuno anzi ha creduto di poter giungere di qui ad una definizione della congruenza come identità delle proprietà interne di due figure. Ma, anche a prescindere dal suo carattere vago, questa definizione è insufficiente; invero senza il confronto con qualcosa di esterno non si distingue la congruenza dalla similitudine.
Poichè lo spazio metrico derivato dalle rappresentazioni tattili, e lo spazio proiettivo costruito dalla vista, si fondono nel concetto astratto di un unico
- ↑ Trasformazione che conserva le rette e i piani, e quindi tutte le proprietà grafiche.
