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| la geometria | 171 |
È vero che, nonostante la costruzione di un sistema adeguato di concetti, ci troviamo nella impossibilità psicologica di rappresentarci i fenomeni reali in un quadro diverso dallo spazio secondo la sua ordinaria intuizione. Ma questo sentimento di necessità, che accompagna la nostra visione immaginativa dello spazio, nulla può dire intorno alla struttura di questo, poichè la realtà fisica non ha alcun dovere da soddisfare rispetto alla rappresentazione che ce ne formiamo.
A chiarire la questione Gauss ha addotto un argomento suggestivo, che è stato poi ripreso da Helmholtz e da Clifford, e va generalmente sotto il nome del primo di questi due filosofi.
Figuriamoci l’esistenza di animaletti superficiali, cioè schiacciati sopra una superficie, i quali sieno liberi di muoversi strisciando su questa. Dotiamo codesti esseri immaginarii di una intuizione spaziale, che valga a coordinare la sensibilità e a dirigerne i movimenti, nel campo a due dimensioni (superficie) costituente il loro spazio.
Due animaletti simili, uno dei quali si muova in un piano, l’altro sopra una superficie leggermente incurvata, potrebbero essere guidati ugualmente da una medesima intuizione geometrica, raffigurandosi il loro spazio come un piano.
I fatti che nel secondo caso, permetterebbero all’animale di acquistare conoscenza della curvatura della sua superficie, senza uscire da questa (poichè egli ignora, per ipotesi, la terza dimensione) sono del tutto analoghi a quelli che, a noi uomini, indicherebbero la falsità della teoria delle parallele, presa in un senso rigoroso; ma i fatti accennati sfuggirebbero al controllo dell’animale, ove questi fosse molto piccolo rispetto alla superficie che lo contiene, ed alla sua curvatura.
Eppure, se nella suddetta società di animaletti si trovassero dei filosofi, chi sa che taluno dalla intuizione formatasi del proprio ambiente come di una superficie piana, non argomentasse alla rigorosa e necessaria planarità della superficie stessa?!
§ 12. Di altre Geometrie possibili.
Nel suo scritto commemorativo «Gauss zum Gedächtniss», Sartorius dice: «Gauss considerava la Geometria come un edifizio logico, soltanto ove si conceda la teoria delle parallele come assioma; ma egli era giunto alla convinzione che quel teorema non si potesse dimostrare, quantunque si sappia per esperienza che esso è approssimativamente vero».
Noi ignoriamo se la prima parte di tale apprezzamento corrisponda veramente alle più mature vedute di Gauss; ed anzi siamo indotti a dubitarne, ricordando le osservazioni che egli fece col teodolite sulla verifica del postulato della retta.
