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| 198 | capitolo iv |
quello che hanno di comune in un’unica rappresentazione concettuale di distanza. Ora quando enunciamo la equidistanza
AB = CD
intendiamo esprimere ad un tempo una identità e una non identità; la possibilità di subordinare le due rappresentazioni ad una sola in ordine a certe relazioni, e la distinzione di esse rispetto ad altre relazioni.
Che cosa implica dunque la genesi del concetto di equidistanza, che sta a fondamento della congruenza geometrica?
Un’astrazione ed un’associazione, la quale riunisce sotto un certo aspetto due rappresentazioni; ed i postulati della congruenza riferiti alla rappresentazione (concettuale) unificata prendono quindi la forma degli assiomi logici della eguaglianza.
§ 27. Associazione metrico-proiettiva: postulato delle parallele.
Abbiamo tenuto conto fino ad ora delle condizioni associative che sottostanno alla genesi dei concetti geometrici, in ordine ad un solo gruppo di sensazioni tattili o visive. Questi hanno il comune sostrato nei concetti derivati dalla sensibilità generale e, tostochè si sieno associate le due immagini, tattile e visiva, del punto, danno origine a due Geometrie, una Geometria tattile ed una visiva, che si riferiscono al medesimo continuo a tre dimensioni, cioè al medesimo spazio.
Gli sviluppi matematici cui sopra abbiamo accennato, pertinenti in ispecie alla seconda metà del secolo appena compiuto, indicano fino a che punto possano svolgersi le due Geometrie suddette; onde si può affermare che col tatto (generale e speciale) costruiamo una Geometria metrica, e colla vista una proiettiva, riferentisi alla medesima varietà di punti (lo spazio).
Non pertanto queste due Geometrie si associano nella nostra mente, in un solo ordine di rapporti spaziali, e ciascuno dei sensi (in ispecie la vista) ci dà per associazione la percezione mediata dei suddetti rapporti.
Una tale associazione implica alla sua volta dei nuovi postulati. Giacchè invero si potrebbero costruire, in una varietà a tre dimensioni, due Geometrie astratte convenzionali, ponendo a base dell’una un sistema lineare ∞³ di superficie denominate «piani», a base dell’altra un gruppo ∞6 di trasformazioni denominate «movimenti», dotato di certe proprietà; e queste Geometrie formalmente identiche alla proiettiva e alla metrica ordinaria, non avrebbero tra loro, a priori, alcuna relazione.
La Geometria ordinaria invece unifica in un solo concetto della linea retta la immagine visiva e la immagine tattile di questa, venendo così a riconoscere una medesima simmetria fisica dei fenomeni ottici e meccanici.
