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| 158 | capitolo iv |
cisione si distaccano dalla massa dei dati empirici bruti, fino a costituire un corpo di dottrina relativamente autonomo.
Pertanto la Geometria anzichè essere ritenuta come necessariamente precedente alla Fisica, viene ad esserne considerata una parte, assorta ad un alto grado di perfezione in virtù della semplicità, della generalità e della relativa indipendenza dei rapporti in essa compresi.
Ora quando le proposizioni geometriche sieno prese m un senso fisico, le previsioni concrete che esse contengono risultano legate ad elementi di fatto che si considerano di solito come non geometrici. Perciò i teoremi della Geometria teorica appariscono soltanto come l’espressione simbolica di rapporti fisici, incompiutamente enunciati, che vengono determinati nelle applicazioni concrete.
Rispetto a queste, la forma precisa dei teoremi rappresenta soltanto un grado di approssimazione, che può essere spinto più innanzi ove si convertano le eguaglianze in diseguaglianze, come si vede nell’esempio che segue:
Consideriamo il teorema «gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali».
Nella realtà esistono degli oggetti (triangoli fisici) che, con una certa approssimazione, si lasciano rappresentare dal concetto del triangolo.
Costruiamo uno di questi modelli, con tre sbarre sottili di ferro o con un disegno sulla carta. Misuriamone col metro due lati, col goniometro i due angoli opposti.
La misura reale di un lato è rappresentata da due numeri, la cui differenza (sia m. 0,0001) è relativa alla perfezione dell’istrumento; essa si esprimerà dicendo che la lunghezza del lato vale p. es. m. 3,4576, a meno di un decimo di millimetro per difetto, cioè che essa è compresa fra m. 3,4576 e m. 3,4577.
Se i due lati del triangolo in questione sono misurati ugualmente, nel senso anzidetto, dal numero 3,4576, il triangolo si riterrà come «isoscele»; la nostra premessa è dunque che «i due lati sono uguali a meno di m. 0,0001».
Ora la misura dei due angoli del triangolo, opposti ai lati suddetti, ci viene data dal goniometro.
Il teorema enunciato di sopra ci avverte che la differenza tra i due angoli sarà molto piccola, e quindi le loro misure saranno uguali in un ordine d’approssimazione dipendente da quello in cui la premessa (relativa ai lati) trovasi verificata.
Ma questa è soltanto una indicazione vaga.
Quando si voglia il significato preciso del teorema nella realtà, bisogna trasformarlo nel modo seguente:
«Se due lati di un triangolo differiscono per meno di una certa lunghezza ε, i due angoli opposti differiranno per meno di una quantità τ, dipen-
