Matematiche Fascicolo quarto/Tema quinto - Capitolo I

by Anonimo

Tema quinto - Capitolo I

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Anonimo - Matematiche Fascicolo quarto (1840)

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TEMA QUINTO

Radicali numerici. Come s’interpetrano? Loro principali proprietà, e prime trè Operazioni dirette ed inverse sù i medesimi. Traduzione approssimativa dei Radicali in decimali, e segnatamente de’ Radicali quadrati e cubici.

§. I.

Radicali numerici. Come s’interpetrano? Loro principali proprietà, e prime trè Operazioni dirette ed inverse sù i medesimi.

1. Ripigliando adesso la considerazione della estrazione delle radici, specialmente quadrate e cubiche, dai Numeri decimali, come precedentemente abbiamo promesso (pag. 25), noi cominceremo dall’osservare, che, imaginata estratta, colle avvertenze ivi accennate, da un proposto Numero decimale la radice imperfetta quadrata o cubica di un certo numero di cifre, se nella operazione, dopo avere sperimentata giusta alla radice l’ultima cifra, questa si aumentasse anche di una unità sola, allora il prodotto parziale relativo alla nuova cifra non potrebbe più sottrarsi dall’ultimo resto completato (Tema secondo, pag. 41, e seg.). D’onde si conclude in primo luogo

Che, come facendo il quadrato o cubo della radice imperfetta trovata di un proposto numero decimale ne resulta un secondo tale, che ogni altro d’altrettante cifre, ossia del medesimo denominatore, non può esprimer per difetto più da vicino il valore di cotesto numero proposto (Tema terzo, pag. 72), così facendo il quadrato o cubo della medesima radice, dopo avervi aumentata l’ultima cifra di una unità (la quale potrà perciò dirsi piucchè perfetta), ne resulterà un terzo numero decimale tale, che ogni altro del medesimo numero di cifre, ossia del denominatore medesimo, non potrà esprimere per eccesso più da vicino il valore del medesimo numero decimale proposto.

Ma d’altronde sappiamo, che aumentandosi di una unità l’ultima cifra di un numero decimale qualunque, il suo quadrato si aumenta della somma

1.° Del doppio prodotto delle sue cifre per una unità decimale dell’ordine dell’ultima cifra,

2.° Del quadrato di questa unità; ed il suo cubo si aumenta della somma

1.° Del triplo prodotto del quadrato delle sue cifre per una unità decimale dell’ordine dell’ultima cifra,

2.° Del triplo prodotto delle medesime cifre pel quadrato della unità precedente.

3.° Del cubo di questa stessa unità. (Tema terzo, pag. 56, 57).

Se dunque il numero decimale proposto avrà dopo la virgola quante mai si voglian cifre, siccome si potrà estrar da esso una radice quadrata o cubica, di cui l’ultima cifra decimale sia di un’ordine relativo inferiore comunque elevato, così si conclude in secondo luogo, che l’eccesso del proposto numero sul quadrato o cubo della sua radice imperfetta, egualmentechè l’eccesso sopra di esso del quadrato o cubo della sua radice piucchè perfetta, dovendo essere inferiore all’una od all’altra delle due precedenti somme, si potrà sempre supporre quanto mai si vuol piccolo a piacere (pag. 18).

In conseguenza di ciò, siccome un numero intiero qualunque si può sempre riguardare come equivalente ad un numero decimale, che abbia dopo la virgola quanti mai si voglian zeri (pag. 13), ed il valore di un numero fratto si può pure riguardare come compreso frà i valori di due numeri decimali consecutivi di quante mai si voglian cifre anch’essi (pag. 36), così imaginando estratta la radice, quadrata o cubica, o dal primo di cotesti numeri, o dall’uno e dall’altro dei secondi, a misura che in essa si aumenterà di una unità una cifra più remota, potremo avere per radici, imperfetta, e piucchè perfetta, due altri numeri decimali consecutivi sempre più prossimi trà loro in modo, che trà i loro quadrati o cubi respettivi non possa esser mai compreso altro numero, dato diverso da uno proposto intiero o fratto.

Per questo motivo si dice, che l’uno, o l’altro di cotesti due ultimi numeri decimali consecutivi sono i valori approssimati respettivamente per difetto o per eccesso dalla radice perfetta od esatta di un numero proposto, anche quando questo non sia nè un quadrato, nè un cubo, numericamente perfetto.

2 Per giustificare questa nostra maniera di dire, e render sensibile la esistenza, se non di un numero ordinario, almeno in un caso particolare di una grandezza, che sia come la radice quadrata o cubica esatta di un’altra, espressa da un numero nè quadrato nè cubo perfetto, noi cominceremo dal distinguere alcuni nomi, e adottare alcune convenzioni.

Primieramente essendosi chiamato quadrato o cubo un numero, che fosse respettivamente la seconda o terza potenza di un’altro, considerato come concreto (Tema primo, pag. 54; Tema terzo, pag. 54), per la ragione, ch’esso può servire a rappresentar la grandezza di un quadrato o cubo effettivo, relativamente a quella di uno de’ piccoli quadrati, o cubi uguali, che, come elementi, lo compongono, noi per distinguer nel discorso un quadrato o cubo dall’altro, chiamando il primo quadrato o cubo numerico, chiameremo il secondo quadrato o cubo geometrico, per la ragione che quadrati o cubi di tal fatta si considerano in un’altra Scienza, chiamata Geometrìa.

Parimente, siccome la radice di un quadrato o cubo numerico, considerata come concreta, può evidentemente servire a rappresentare una fila di piccoli quadrati o cubi, dei quali si compone il quadrato o cubo geometrico corrispondente, così una tal fila si può reciprocamente anche chiamare radice quadrata o cubica geometrica di cotesto primo quadrato o cubo numerico.

In secondo luogo, ponendo mente soltanto alla lunghezza di una fila misurata dal lato del quadrato o cubo geometrico, a cui appartiene, si può anche convenire, che un tal lato sia come la radice geometrica del quadrato o cubo numerico corrispondente.

Posto ciò, imaginando adesso un quadrato o cubo geometrico, composto di un numero comunque grande di quadrati o cubi elementari, quanto mai si voglian piccoli, il quale corrisponda al quadrato o cubo numerico della radice quadrata o cubica imperfetta di un numero decimale di quante mai si voglian cifre, siccome se ne può imaginare anche un’altro tale, che la sua radice geometrica abbia un’elemento di più, così è chiaro, che a misura che ciascuno di cotesti elementi si prende più piccolo, ed il loro numero si considera più grande, sempre più le radici respettive, oppure i lati de’ due quadrati o cubi geometrici corrispondenti, si accosteranno trà loro in modo da escluder fuori qualunque altro lato, che non fosse quello di un terzo quadrato o cubo dato, che dovesse restar sempre compreso trà cotesti due.

Potendosi dunque tali quadrati o cubi geometrici riguardar come espressi respettivamente da due quadrati o cubi numerici tali, che trà essi resti sempre compreso, come precedentemente si è visto (pag. 42), un numero proposto, qualunque altro escluso, è forza concludere, nella ipotesi che questo numero esprima un terzo quadrato o cubo geometrico (lo che sempre accade, come può vedersi in Geometria), è forza concluder, dico, che il lato di cotesto terzo quadrato o cubo sia come la radice geometrica esatta di cotesto stesso numero propoposto; e perciò un tal lato sarà o potrà riguardarsi come la imagine sensibile della radice numerica esatta di un tal numero medesimo.

Osservando per un’esempio, che, presi a piacere quattro quadrati uguali, se ciascuno di questi si spezza in due parti uguali mediante un taglio diritto da una delle sue quattro punte alla opposta, con quattro delle otto metà, che ne resultano, si può formare un quadrato, che abbia per lati i tagli fatti, si vede subito, che, valutato questo quadrato per 1, egualmentechè uno dei suoi lati, il quadrato, che potrebbe formarsi coi quattro quadrati primitivi, si valuterebbe per 2, ed in conseguenza uno dei suoi lati sarebbe, come la radice quadrata esatta di questo numero 2.

5. Per vedere indirettamente, che il lato di un quadrato o cubo geometrico, corrispondente ad un numero proposto intiero o fratto, che non sia quadrato o cubo numerico perfetto, non può esser mai espresso da un numero ordinario, cioè da un numero fin quì conosciuto, supponghiamo primieramente, che cotesto lato possa essere espresso da un numero intiero.

In questa ipotesi, il quadrato o cubo perfetto di questo secondo numero essendo anch’esso numero intiero, a questo bisognerebbe ch’equivalesse il numero proposto intiero o fratto; ciocchè non potrebbe accadere, a meno che nel primo caso il numero proposto non fosse un quadrato o cubo perfetto, e nel secondo, perchè, supposto essere una frazione irreducibile, questa non potrebbe mai tradursi in un numero intiero. (Tema terzo, pag. 37.)

Supponghiamo in secondo luogo, che quel lato possa essere espresso da una frazione irreducibile. In questa ipotesi, il di lei quadrato o cubo essendo anch’esso una frazione irreducibile (ivi), bisognerebbe, che a questa equivalesse un numero intiero, od un’altra frazione parimente irreducibile; ciocchè non potrebbe mai accadere nel primo caso; e nel secondo non accaderà neppure, a meno che la frazione proposta non sia anch’essa un quadrato o cubo perfetto; lo che non si suppone.

Noi siamo dunque costretti a dire, che il lato di un quadrato o cubo geometrico, corrispondente ad un numero proposto, che non è un quadrato o cubo numerico perfetto, debba essere espresso da un numero straordinario.

All’oggetto di rappresentarci questo numero in un modo atto a destarci la idea della sua origine, trattandosi per esempio del lato del quadrato di sopra valutato per 2, noi scriveremo avanti a 2 la iniziale di radice un pò alterata così, √, che chiameremo segno radicale; e così resulterà il simbolo ${\sqrt {2}}$.

Se invece di una radice quadrata, si trattasse di una radice cubica, quarta,..., allora per distinguere queste radici trà loro si scriverebbe in carattere più minuto il numero, che ne indicasse il grado od il nome, trà i due rami del segno radicale; e si direbbe indice, mentre quello scritto a destra sotto il ramo più esteso dicesi la base.

Con queste convenzioni emergeranno i simboli ${\sqrt {2}}$, ${\sqrt[{3}]{2}}$, ${\sqrt[{4}]{2}}$,... ove in luogo di 2 potrebbe trovarsi per base qualunque altro numero intiero o fratto; e questi simboli si chiameranno Radicali numerici.

Da quanto fin quì abbiamo detto ci sembra pertanto, che i Radicali numerici possano interpetrarsi

Come simboli di radici numeriche, delle quali la esistenza è certa; ma che non si saprebbero mai calcolare esattamente nè in numeri intieri, nè in numeri fratti.

4. Volendo passare ad accennare le principali proprietà ed operazioni dei Radicali numerici si rende necessario il fare avanti alcune convenzioni, ed introdurre nel calcolo alcuni segni di abbreviazione.

E primieramente incominceremo a quest’oggetto dal sostituire alla preposizione per, già introdotta in un prodotto (Tema primo, p. 46), il segno × come di moltiplicazione da farsi, piuttostochè fatta, dei fattori, tra i quali s’interpone, coll’avvertenza di scrivere il primo quel fattore, che si considera come Moltiplicando. Per segno poi di moltiplicazione fatta gli sostituiremo un punto, il quale, piuttostochè per, pronunzieremo in, coll’avvertenza in questo caso, che quel fattore, che si considera come Moltiplicando, si scriva l’ultimo.

Con questa convenzione, tenendo fermi i simboli (1), (2), (3),... già introdotti anch’essi in calcolo (ivi), per denotare qualunque numero in generale, e che però si chiameranno Numeri generali, il loro prodotto da farsi si rappresenterà scrivendo (1) × (2) × (3)..., e quello fatto scrivendo (1).(2).(3)...

In questo secondo caso, i fattori essendo abbastanza trà loro distinti dalle parentesi, ci si suole risparmiare il punto, e si scrive anche (1)(2)(3)...

Posto ciò, consideriamo in primo luogo due fattori soltanto (1) e (2), e prendendo il secondo per Moltiplicatore facciamo la ipotesi, ch’esso sia uno dei numeri particolari 2, 3, 4, 5,..; allora per denotare, che il Moltiplicando (1) si ripete per addizione 2, 3, 4, 5.. volte, emergeranno i simboli respettivi

2(1), 3(1), 4(1), 5(1),....

Si conviene adunque, che un numero particolare intiero, scritto a sinistra di un numero generale (1), stìa a denotare, che questo si ripete per addizione tante volte, quante unità contien quello.

Consideriamo in secondo luogo in quel prodotto di mano in mano 2, 3, 4, 5,.. fattori, e facciamo la ipotesi, ch’essi siano tutti uguali al primo (1); allora per denotare, che il numero generale (1) si ripete per moltiplicazione 2, 3, 4, 5,.. volte, emergeranno i simboli respettivi

(1)(1), (1)(1)(1), (1)(1)(1)(1), (1)(1)(1)(1)(1),...

Ma, come abbiamo convenuto, che un numero intiero, scritto a sinistra di (1), stìa a denotare, che (1) si ripete per addizione tantevolte, quante unità contiene cotesto numero, così per denotare, che (1) si ripete per moltiplicazione un certo numero di volte, si può convenire di scrivere questo secondo numero a destra di (1), ma un pò in alto, ossìa in testa, ed in carattere più minuto.

Con questa nuova convenzione in luogo degli ultimi simboli si avranno respettivamente i seguenti più concisi

(1)², (1)³, (1)⁴, (1)⁵,...

i quali denoteranno respettivamente la seconda, terza, quarta, quinta,.. potenza di (1).

Per denotar poi, che (1) è potenza prima di se medesimo (Tema primo, pag. 54), gli si scriverà in testa 1. Così (1)¹ significherà lo stesso Che (1).

È utile fermarsi quì per un momento a far vedere, che una potenza di un prodotto di fattori si può ottenere col fare il prodotto delle potenze medesime di questi fattori.

Così per esempio la seconda potenza, od il quadrato del prodotto (1)(2), sarà (1)².(2)².

Infatti per tutto quello, che in addietro (Tema primo, pag. 46 e seg.), e quì sopra si è detto, è facil vedere, che per seconda potenza di (1)(2) si può successivamente scrivere

(1)(2)×(1)(2), (1)×(2)×(1)(2), (1)(2)×(1)×(2),

(1)×(2)×(1)×(2), (1)×(1)×(2)×(2), (1)(1)×(2)×(2), (2)×(2)×(1)(1), (2)(2)×(1)(1), (1)(1)×(2)(2), e finalmente (1)².(2)².

È facil persuadersi, che un processo simile di calcolo hà luogo anche per la formazione di una potenza qualunque di un prodotto di quanti mai si voglian fattori. Onde si trae la importante conseguenza

«Come una potenza qualunque di un prodotto di fattori è il prodotto delle potenze medesime di questi fattori, così viceversa una radice di un nome qualunque di un prodotto di fattori si può riguardare come il prodótto delle radici del medesimo nome di questi fattori»

Perciò, essendo per convenzione

(1)² eguale a (1)(1), (1)³ eguale a (1)(1)(1).....,

estraendo la radice respettivamente quadrata, cubica,... sarà

(1) eguale a ${\sqrt {(1)}}.{\sqrt {(1)}}$ eguale a ${\sqrt[{3}]{(1)}}.{\sqrt[{3}]{(1)}}.{\sqrt[{3}]{(1)}}$ eguale a....,

e però il numero (1) potrà decomporsi per moltiplicazione in quanti mai si vogliano radicali uguali, che abbiano tutti per base (1) e per indice comune il loro numero, dimodochè all’occorrenza si potrà supporre un tal numero grande quanto mai si vorrà ad arbitrio e nel medesimo tempo un Dividendo perfetto, a guisa di numero sottinteso (Tema terzo, pag. 5, 8).

Essendoci qui occorso rammentare il numero sottinteso si può avvertire, che sebbene del numero generale (1), considerato come concreto, si possa concepire una parte aliquota qualunque, per la ragione, che il numero sottinteso, a cui esso si riferisce come fattore di un prodotto, si suppone un Dividendo perfetto (Tema terzo, pag. 10), pure nel caso di voler concepire (1) come una Potenza perfetta, quando non fosse tale per se stesso, non ci gioverebbe la supposizione, che fosse potenza perfetta il medesimo numero sottinteso, perchè in un prodotto, il quale debba esser potenza perfetta, bisogna che sia tale, come quì sopra si è visto, anche ciascuno de’ suoi fattori per se stesso.

Del resto i numeri intieri scritti a sinistra di (1) diconsi Coefficienti di (1), inquantochè son come co-fattori di un prodotto, e quelli scritti in testa ad (1), inquantochè espongono il grado della potenza di (1), diconsi Esponenti.

Il numero poi (1) dicesi la Base della potenza.

5. Volendo per digressione notare alcune cose intorno alle potenze per servirsene all’uopo, siccome ci occorrerà spesso usare, come quì sopra, la frase è eguale, così per maggior brevità di scrittura gli sostituiremo il doppio segno =, interposto ai simboli o numeri, trai quali dovrà sussistere uguaglianza.

Con questa convenzione in luogo delle precedenti espressioni scriveremo queste altre

$(1)^{2}=(1)(1)$, $(1)^{3}=(1)(1)(1)$,...;

$(1)={\sqrt {(1)}}\cdot {\sqrt {(1)}}={\sqrt[{3}]{(1)}}\cdot {\sqrt[{3}]{(1)}}\cdot {\sqrt[{3}]{(1)}}=$......,

dalle prime delle quali è facil persuadersi, ché se ne possono trarre per esempio anche le seguenti

${\sqrt[{3}]{(1)^{2}}}={\sqrt[{3}]{(1)}}\cdot {\sqrt[{3}]{(1)}}$, ${\sqrt {(1)^{3}}}={\sqrt {(1)}}\cdot {\sqrt {(1)}}\cdot {\sqrt {(1)}}$,....

Perciò, chiamandosi semplici quei radicali, che hanno per base (1), e composti quelli, che hanno per base una potenza qualunque di (1), si dice

«Che un radicale composto si decompone per moltiplicazione in tanti radicali semplici del medesimo indice, quante unità contiene l’esponente della sua base»

Coteste espressioni sogliono chiamarsi Eguaglianze, e ciò che in esse trovasi scritto a sinistra del segno =, dicesi Primo Membro, e ciò ch’è a destra, dicesi Secondo Membro. È sommamente utile il rendersi familiare cotesta maniera di scrivere simbolica.

Adesso noi diciamo, che sussiste per un esempio la Eguaglianza

$(1)^{2}\times (1)^{3}=(1)^{5}$,

ove l’esponente 5 di (1) nel secondo membro

è la somma degli esponenti 2 e 3 di (1) nel primo.

Infatti per quello, che sappiamo,

$(1)^{2}\times (1)^{3}=(1)\times (1)\times (1)^{3}=(1)^{3}\times (1)\times (1)=$

$(1)\times (1)\times (1)\times (1)\times (1)=(1)(1)(1)(1)(1)=(1)^{5}$.

Nello stesso modo per un’altro esempio si dimostrerebbe, che

$(1)^{2}\times (1)^{3}\times (1)^{5}=(1)^{10}$,

ove l’esponente 10 di (1) nel secondo membro è pure la somma degli esponenti 2, 3, 5, di (1) nel primo.

E così di seguito.

Però, chiamandosi simili le potenze della stessa base, qualunque sia l’esponente, si dice generalmente

«Che il prodotto di più potenze simili è una nuova potenza simile, di cui l’esponente è la somma degli esponenti di quelle»

od in altri termini

«II prodotto di più potenze simili si fà col sommare gli esponenti»

d’onde si conclude generalmente

«In quanti modi un numero intiero dato può decomporsi per addizione in altri numeri intieri, trà loro uguali o nò, in altrettanti una potenza di una base qualunque, che abbia per esponente il primo numero, può decomporsi per moltiplicazione in potenze simili, che abbiano per esponenti i secondi numeri».

Nel caso particolare, in cui gli esponenti delle potenze simili, che si moltiplicano, fossero trà loro uguali (nel qual caso si eleverebbe potenza a potenza), siccome la loro somma sarebbe il prodotto di uno pel numero di tutti, così si dice

«Che per elevare una potenza a potenza si moltiplica il di lei esponente per quello del grado, a cui vuolsi elevare»

Per esempio la terza potenza di (1)² sarà (1)^3.2, ossia (1)⁶

Dividendo dunque (quando è possibile esattamente) l’esponente di una potenza per un numero intiero, il resultato, ossìa la nuova potenza, sarà viceversa la radice della prima del nome o grado denotato da cotesto numero.

Così (1)³, o (1)² sarà la radice quadrata o cubica respettiva di (1)⁶, mentre (1)¹, ossìa (1), n’è la sesta. Osservando, che questa ultima radice è anche la quadrata di (1)², o la cubica di (1)³, si vede, che, ponendo (1)⁵ sotto la forma (2)^2.3, si può ottener la sua radice sesta coll’estrarne prima la quadrata e poi la cubica; o viceversa.

Riunendo la precedente conseguenza con quella di sopra (pag. 54) si hà un mezzo per ridurre, quando è possibile, i radicali alla loro più semplice espressione.

Avendosi per esempio il radicale cubico ${\sqrt[{3}]{(1)^{5}}}$, se si stabilisce la eguaglianza

$(1)^{5}=(1)^{3}\cdot (1)^{2}$,

e poi se n’estrae da ambi i membri la radice cubica, resulterà

${\sqrt[{3}]{(1)^{5}}}=(1)\cdot {\sqrt[{3}]{(1)^{2}}}$.

Parimente avendosi il radicale quadrato ${\sqrt {(1)^{5}}}$, se si stabilisce la eguaglianza

$(1)^{5}=(1)^{4}\cdot (1)$,

e poi se n’estrae la radice quadrata, si avrà

${\sqrt {(1)^{5}}}=(1)^{2}\cdot {\sqrt {(1)}}$.

Generalmente, quando la base di un radicale hà un’esponente superiore al di lui indice, dividendo quello per questo, e dando alla base per esponente prima il quoziente, e poi il resto, il prodotto della prima potenza, che ne risulta, pel radicale del medesimo nome, che abbia per base la seconda, rappresenterà il proposto radicale ridotto alla sua più semplice espressione.

In questa operazione consiste la Estrazione dal segno radicale dei fattori della sua base.

Nel caso di una base particolare, di cui qualche fattore sia potenza perfetta, questo si trarrà fuori dal segno radicale, nel modo che segue

Avendosi per es. il radicale quadrato o cubico ${\sqrt {5880}}$, ${\sqrt[{3}]{5880}}$, siccome $5880=7^{2}.2^{3}.3.5=7^{2}.2^{2}.2.3.5$ (Tema terzo, pag. 24), sarà ${\sqrt {5880}}=7.2.{\sqrt {2.3.5}}=14.{\sqrt {30}}$, e ${\sqrt[{3}]{5880}}=2.{\sqrt[{3}]{7^{2}.3.5}}=2.{\sqrt[{3}]{735}}$.

Nello stesso modo avendosi per esempio il radicale cubico ${\sqrt[{3}]{\frac {24}{1715}}}$, siccome $24=2^{3}.3$; $1715=7^{3}.5$, e però ${\frac {24}{1715}}={\frac {2^{3}}{7^{3}}}\cdot {\frac {3}{5}}$, sarà ${\sqrt[{3}]{\frac {24}{1715}}}={\frac {2}{7}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {3}{5}}}$ (ivi, pag. 73)

Un numero intiero o fratto, fuori del segno radicale a sinistra, dicesi Coefficiente del radicale a destra, ove qualche volta il punto interposto si tralascia.

Del resto, come la Moltiplicazione di due potenze simili si fà col sommare gli esponenti di esse, così la Divisione di una potenza per un’altra simile di esponente più piccolo si farà col sottrarre dall’esponente della prima quello della seconda. Il quoziente della divisione per esempio di (1)⁵ per (1)² sarà (1)³, ove l’esponente 3 è la differenza de’ due esponenti 5 e 2.

Volendosi poi tener ferma la medesima regola anche nel caso particolare, in cui i due esponenti fossero trà loro uguali, siccome allora non vi sarebbe trà loro differenza alcuna, così, denotandosi questa circostanza colla cifra 0, resulterebbe per quoziente della divisione il simbolo (1)°, il quale dovrebbe interpetrarsi come equivalente ad 1 ciocchè si esprime per mezzo della eguaglianza

$(1)^{\circ }=1$,

giacchè è chiaro, che il quoziente esatto della divisione di una potenza qualunque per se stessa non può essere che la unità.

6. Ripigliamo adesso la considerazione dei Radicali; e siccome in seguito ci occorrerà anche usare spesso la frase è maggiore, oppure la frase è minore, egualmentechè la frase è eguale, avendo a questa già sostituiti i due segni orizzontali =, così inclinando l’uno sull’altro, alla prima di quelle sostituiremo per maggior brevità di scrittura il segno >, ed alla seconda il segno <, scrivendo come si deve, il numero ch’è, o si reputa minore, a destra del primo od a sinistra del secondo segno; e viceversa il maggiore. Così per denotare per esempio, che 5 è maggiore di 3, scriveremo 5 > 3, e per denotare che 3 è minore di 5, scriveremo 3 < 5.

Posto ciò, considerando quei Radicali composti, nei quali la base è una potenza qualunque del numero generale (1), ecco alcune delle loro principali proprietà.

«1^a Secondochè l’esponente della base di un Radicale proposto è minore o maggiore dell’indice di lui, il valor numerico di un tal Radicale riesce pure respettivamente minore o maggiore di quello di (1), se (1) > 1; ma se (1) < 1, riescirà al contrario maggiore o minore»

Infatti decomponendosi il radicale proposto per moltiplicazione in tanti radicali semplici del suo indice, quante unità contiene l’esponente della sua base (pag. 53), ed il numero generale (1) potendosi pure decomporre per moltiplicazione in tanti de’ medesimi radicali semplici, quante unità contiene il medesimo indice (pag. 51), si vede subito, che, secondochè cotesto esponente è minore o maggiore di cotetesto indice, i fattori semplici del radicale proposto saranno meno o più di quelli di (1). Ma il valor numerico di un prodotto riesce evidentemente più piccolo o più grande di quello, che ha più o meno fattori compagni di lui, se il valore di ciascun fattore è superiore a quello di 1; e viceversa riesce più grande o più piccolo, se il valore di ciascun fattore è inferiore a quello di 1 (Terna terzo, pag. 66). Ora, come si è già di sopra osservato (pag. 26), secondochè (1) hà un valore superiore od inferiore a quello di 1, anche un radicale semplice di (1) di un indice qualunque hà pure respettivamente un valore superiore od inferiore a quello di 1. Dunque ec.

Il radicale per es. ${\sqrt[{3}]{(1)^{2}}}$ decomponendosi nei due fattori ${\sqrt[{3}]{(1)}}.{\sqrt[{3}]{(1)}}$, ed (1) decomponendosi nei tre ${\sqrt[{3}]{(1)}}.{\sqrt[{3}]{(1)}}.{\sqrt[{3}]{(1)}}$, se (1) > 1, siccome anche ${\sqrt[{3}]{(1)}}>1$, il primo prodotto riesce più piccolo del secondo, e però ${\sqrt[{3}]{(1)^{2}}}<(1)$; ma se (1) < 1, siccome anche ${\sqrt[{3}]{(1)}}<(1)$, il primo prodotto riescirà più grande del secondo, e però ${\sqrt[{3}]{(1)^{2}}}>(1)$.

Il radicale poi per esempio ${\sqrt {(1)^{3}}}$ decomponendosi nei trè fàttori ${\sqrt {(1)}}.{\sqrt {(1)}}.{\sqrt {(1)}}$, ed (1) nei due ${\sqrt {(1)}}.{\sqrt {(1)}}$, se (1) > 1, siccome anche ${\sqrt {(1)}}>1$, il primo prodotto riesce più grande del secondo, e però ${\sqrt {(1)^{3}}}>(1)$; ma se (1) < 1, siccome anche ${\sqrt {(1)}}<1$, il primo prodotto riescirà più piccolo del secondo, e però ${\sqrt {(1)^{3}}}<(1)$.

«2^a Secondochè cresce o diminuisce l’ esponente della base di un radicale, restando fisso, o costante, l’ indice, il di lui valor numerico pure respettivamente cresce o diminuisce, se (1) > 1; ma se (1) < 1, al contrario diminuirà o crescerà.

«Viceversa, secondochè cresce o diminuisce l’indice di un radicale, restando fisso, o costante, l’esponente della sua base, il di lui valor numerico respettivamente diminuisce o cresce, se (1) > 1; ma se (1) < 1, al contrario crescerà o diminuirà»

Ed infatti, imaginandosi il proposto radicale decomposto per moltiplicazione in radicali semplici, nel primo caso crescerà o diminuirà il loro numero restando fisso, o costante, il loro indice comune; e nel secondo crescerà o diminuirà quest’indice, restando fisso, o costante, il loro numero. Ora, se (1) > 1, siccome lo è anche un radicale qualunque semplice di (1), è evidente nel primo caso, che il valor del prodotto sarà più o meno grande, secondochè è composto di più o meno fattori, cioè crescerà o diminuirà; ma se (1) < 1, siccome lo è anche un radicale qualunque semplice di (1), il valore di cotesto prodotto riescirà più o meno piccolo, cioè diminuirà o crescerà.

Il radicale per esempio ${\sqrt[{3}]{(1)^{4}}}$ decomponendosi in quattro fattori, ed il radicale ${\sqrt[{3}]{(1)^{5}}}$ in cinque, uguali ciascuno a ${\sqrt[{3}]{(1)}}$, si vede subito, che se (1) > 1, siccome anche ${\sqrt[{3}]{(1)>1}}$, il valore del secondo radicale supererà quello del primo; ma se (1) < 1, siccome anche ${\sqrt[{3}]{(1)}}<1$, il valore del primo radicale supererà quello del secondo.

Nel secondo caso, siccome (1) si decompone per moltiplicazione in più o meno radicali semplici, secondochè è respettivamente più o meno grande il loro indice comune, si vede, che, se (1) > 1, il valor numerico di uno di questi radicali, ed in conseguenza anche quello di un numero costante dei medesimi, diminuisce o cresce, secondochè cresce o diminuisce respettivamente il loro indice, ed al contrario cotesto valore cresce o diminuisce, se (1) < 1.

Il valore per esempio del radicale ${\sqrt {(1)}}$ sarà superiore a quello di ${\sqrt[{3}]{(1)}}$, se (1) > 1; ma, se (1) < 1, sarà inferiore; perchè (1) decomponendosi in ${\sqrt {(1)}}.{\sqrt {(1)}}$, egualmentechè in ${\sqrt[{3}]{(1)}}.{\sqrt[{3}]{(1)}}.{\sqrt[{3}]{(1)}}$, quando (1) > 1, essendo anche ${\sqrt {(1)}}>1$ e ${\sqrt[{3}]{(1)}}>1$, bisogna, che uno dei due primi fattori superi uno dei trè secondi; e quando (1) < 1, essendo anche ${\sqrt {(1)}}<1$, e ${\sqrt[{3}]{(1)}}<1$, bisogna che uno dei trè secondi superi uno dei due primi.

Se l’esponente della base di un radicale, restando costante l’indice, crescesse o diminuisse in modo da divenire multiplo o submultiplo (esatto, quando è possibile) di se stesso, il nuovo radicale si decomporrebbe per moltiplicazione in un numero di radicali semplici parimente multiplo o submultiplo del numero di quelli, nei quali si decompone il proposto, e del medesimo indice di lui; e se inoltre anche quest’indice diventasse contemporaneamente un medesimo multiplo o submultiplo (esatto, quando è possibile) di se stesso, il nuovo radicale, in cui l’esponente della base, egualmentechè il suo indice, sarebbe respettivamente un medesimo multiplo o submultiplo di quello del primo, si decomporrebbe per moltiplicazione in un numero di radicali semplici, multiplo o submultiplo del numero di quelli, nei quali si decompone il primo, e nello stesso tempo di un’indice parimente multiplo o submultiplo medesimo dell’indice di lui. Ora è facil vedere, che il valore di quest’ultimo prodotto riesce le stesso di quello, in cui si decompone primitivamente il radicale proposto.

Infatti essendo per esempio ${\sqrt {(1)^{3}}}$, o ${\sqrt[{4}]{(1)^{6}}}$ il radicale proposto, mentre ${\sqrt {(1)^{3}}}$ si decompone in ${\sqrt {(1)}}.{\sqrt {(1)}}.{\sqrt {(1)}}$, ${\sqrt[{4}]{(1)^{6}}}$ si decompone in ${\sqrt[{4}]{(1)}}.{\sqrt[{4}]{(1)}}.{\sqrt[{4}]{(1)}}.{\sqrt[{4}]{(1)}}.{\sqrt[{4}]{(1)}}.{\sqrt[{4}]{(1)}}$; ma dall’essere $(1)={\sqrt {(1)}}.{\sqrt {(1)}}={\sqrt[{4}]{(1)}}.{\sqrt[{4}]{(1)}}.{\sqrt[{4}]{(1)}}.{\sqrt[{4}]{(1)}}$, resulta ${\sqrt {(1)}}={\sqrt[{4}]{(1)}}.{\sqrt[{4}]{(1)}}.$; dunque ${\sqrt[{4}]{(1)^{6}}}={\sqrt {(1)^{3}}}$.

Quindi segue quest’altra generai proprietà dei Radicali

«3^a Moltiplicando, o dividendo (se si può esattamente), l’esponente della base di un Radicale, egualmentechè l’indice, per uno stesso numero, il di lui valore non si altera»

In virtù di questa ultima proprietà più Radicali d’indice diverso si possono ridur tutti ad aver l’indice stesso, senza che il loro respettivo valore si alteri.

Denotando al solito (1), (2), (3), (4),... dei numeri generali, siano per esempio proposti i seguenti radicali

${\sqrt {(1)}},{\sqrt[{3}]{(2)^{2}}},{\sqrt[{4}]{(3)^{3}}},{\sqrt[{5}]{(4)^{4}}},$....

ove i numeri particolari scritti in testa ai generali sono pure al solito esponenti delle basi.

Per cotesta proprietà i primi due radicali, senz’alterarsi il loro valore, si cangiano nei due seguenti respettivamente

${\sqrt[{3.2}]{(1)^{3.}}},{\sqrt[{2.3}]{(2)^{2.2}}}$

I trè, ${\sqrt[{3.2}]{(1)^{3}}}$, ${\sqrt[{2.3}]{(2)^{2.2}}}$, ${\sqrt[{4}]{(3)^{3}}}$ nei trè seguenti respettivamente

${\sqrt[{4.3.2}]{(1)^{4.3}}},{\sqrt[{4.2.3}]{(2)^{4.2.2}}},{\sqrt[{2.3.4}]{(3)^{2.3.3}}}$

E così di seguito,

D’ onde si conclude

«Che più radicali d’indice o specie diversa si riducono tutti alla specie medesima col moltiplicare respettivamente l’indice di ognuno pel prodotto di tutti gli altri, purchè per questo stesso prodotto si moltiplichi contemporaneamente l’esponente di ciascuna respettiva base»

Si capisce bene, che cercando, come per le frazioni (Tema terzo, pag. 22), il numero più piccolo possibile, quando ciò hà luogo, capace di esser diviso esattamente per ciascun’ indice, se per ciascun quoziente, che ne risulta, si moltiplica l’esponente di ciascuna base respettiva, si avranno i radicali trasformati più semplici, che avranno per indice comune cotesto numero più piccolo. Così il primo per esempio de’ due radicali ${\sqrt {(1)^{3}}}$, ${\sqrt[{4}]{(2)^{5}}}$ si trasforma nell’equivalente ${\sqrt[{4}]{(1)^{6}}}$ del medesimo indice del secondo.

7. Passando adesso a dir qualche cosa intorno alle Operazioni sù i Radicali, e parlando congiuntamente di ciascuna operazione e della sua inversa, noi ci limiteremo a notare soltanto ciò, che segue.

1.° Quanto all’Addizione dei Radicali, supponendoli ridotti tutti al medesimo indice, nel caso particolare, che le basi riescano tutte trà loro uguali, noi scriveremo a sinistra di uno di essi, a guisa di coefficiente, il numero di tutti. Così per somma per esempio de’ due radicali ${\sqrt {2}}$, ${\sqrt {2}}$ scriveremo $2{\sqrt {2}}$.

Se i radicali da addizionarsi, d’indice e di base medesima, avessero già dei coefficienti intieri o fratti, la loro somma si otterrebbe col dare ad uno di essi per coefficiente la somma di tutti i coefficienti. Così per somma per esempio dei trè radicali ${\sqrt {2}}$, $3{\sqrt {2}}$, $5{\sqrt {2}}$, al primo dei quali si sottintende per coefficiente 1 resulterà $9{\sqrt {2}}$; e per somma dei trè radicali, per esempio ${\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}$, ${\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}$, ${\frac {2}{5}}{\sqrt {2}}$ si avrà ${\frac {37}{30}}{\sqrt {2}}$, ove il coefficiente ${\frac {37}{30}}$ è la somma dei trè ${\frac {1}{2}}$, ${\frac {1}{3}}$, ${\frac {2}{5}}$.

Quanto alla Sottrazione di un radicale con un certo coefficiente da un’altro radicale del medesimo indice e della medesima base, ma con un coefficiente più grande, è chiaro, che essa si eseguirà col sottrarre coefficiente da coefficiente, e dando il resto per coefficiente ad uno di cotesti radicali. Così, se dal radicale per esempio $5{\sqrt {2}}$ dovrà sottrarsi il radicale $4{\sqrt {2}}$, avremo per resto o differenza il radicale $1{\sqrt {2}}$, oppure ${\sqrt {2}}$.

Parimente la sottrazione per esempio di ${\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{7}}$, da ${\frac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{7}}$, ci darà per resto ${\frac {1}{15}}{\sqrt[{3}]{7}}$.

Dell’Addizione e Sottrazione di Radicali, che ridotti alla medesima specie ed alla loro più semplice espressione non acquistassero la medesima base, quì non se ne parla.

2°. Passando alla Moltiplicazione dei Radicali di basi qualunque, ma dello stesso indice, se si osserva, che prendendo da ambi i membri della eguaglianza

$(1)\times (2)\times (3)..=(1)(2)(3)...$

una radice qualunque, per esempio la quadrata, ne resulta quest’altra

${\sqrt {(1)}}\times {\sqrt {(2)}}\times {\sqrt {(3)}}...={\sqrt {(1)(2)(3)...,}}$

si vede ch’essa si eseguisce col moltiplicare trà loro le basi, ed affettando il prodotto con un segno radicale dell’indice stesso, di cui si prolunga orizzontalmente il secondo ramo per cuoprirne la base.

Se i radicali proposti avessero indici diversi, è facil persuadersi per ciò che precede, che, senza stare a ridurli prima all’indice stesso, il loro prodotto si farà immediatamente collo scrivere un segno radicale con un’indice il più piccolo possibile, capace di esser diviso esattamente per ciascuno di quelli; e poi, per ciascun quoziente respettivo moltiplicando l’esponente di ciascuna base corrispondente, col dare il prodotto di tutte le nuove basi per base al segno radicale scritto.

Così essendo proposti per esempio i trè radicali ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt[{3}]{3}}$, ${\sqrt[{4}]{4}}$ siccome 12 è il numero più piccolo divisibile esattamente per gl’indici 2, 3, 4, per ciascuno de’ respettivi quozienti 6, 4, 3 moltiplicando l’esponente sottinteso 1 di ciascuna delle respettive basi 2, 3, 4 di cotesti radicali, al segno radicale ${\sqrt[{12}]{}}$ si darà per base il prodotto 2.⁶ 3.⁴ 4³, ossia 331776; e però si avrá

${\sqrt {2}}\times {\sqrt[{3}]{3}}\times {\sqrt[{4}]{4}}={\sqrt[{12}]{331776}}$

Se avessim’osservato, che ${\sqrt[{4}]{4}}={\sqrt[{2.2}]{2^{2}}}={\sqrt {2}}$, e che ${\sqrt {2}}\times {\sqrt {2}}={\sqrt {2^{2}}}=2$, pel prodotto di quei trè radicali avremmo ottenuto il resultato più semplice $2{\sqrt[{3}]{3}}$.

Del resto, quando i radicali proposti avessero dei coefficienti numerici, il prodotto di questi si darebbe per coefficiente al radicale precedente che si fosse ottenuto per prodotto, astrazion fatta da cotesti coefficienti.

Quanto alla Divisione dei Radicali, siccome questa si ravvisa come una operazione inversa alla Moltiplicazione, si concepisce, che, quando il radicale divisore siasi ridotto allo stesso indice del radicale dividendo, essa si farà col dividere sotto il segno radicale la base di questo per la base di quello.

Così il quoziente, per esempio di ${\sqrt {5}}$ diviso per ${\sqrt {7}}$ sarà ${\sqrt {\frac {5}{7}}}$; e quello di ${\sqrt {5}}$ diviso per ${\sqrt[{3}]{7}}$ sarebbe ${\sqrt[{6}]{\frac {5^{3}}{7^{2}}}}$, ossia ${\sqrt[{6}]{\frac {125}{49}}}$.

3.° Venendo alla Elevazione a potenze dei Radicali, se si osserva come sopra (pag. 53) che per es. ${\sqrt[{5}]{(1)^{3}}}={\sqrt[{5}]{(1)}}.{\sqrt[{5}]{(1)}}.{\sqrt[{5}]{(1)}}$, ${\sqrt[{5}]{(1)^{6}}}={\sqrt[{5}]{(1)^{5.1}}}={\sqrt[{5}]{(1)^{2}}}.{\sqrt[{5}]{(1)^{2}}}.{\sqrt[{5}]{(1)^{2}}}$, e che il prodotto ${\sqrt[{5}]{(1)}}.{\sqrt[{5}]{(1)}}.{\sqrt[{5}]{(1)}}$ è la terza potenza di ${\sqrt[{5}]{(1)}}$, come il prodotto ${\sqrt[{5}]{(2)^{2}}}.{\sqrt[{5}]{(3)^{2}}}.{\sqrt[{5}]{(4)^{2}}}$ lo è di ${\sqrt[{5}]{(1)^{2}}}$, si vede che basta elevare a cotesta potenza medesima le loro basi.

Finalmente quanto alla Estrazione delle Radici dai Radicali, da ciò che fin quì abbiamo detto, è facil rilevare, che basterà eseguirla sulle basi, quando è possibile esattamente; oppure moltiplicare l’indice del segno radicale pel grado della radice, che vuolsi estrarre, quando ci si contenti soltanto di notarla.