Matematiche Fascicolo quarto/Tema quarto - Capitolo II
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§. II.
Traduzione approssimativa od esatta delle frazioni ordinarie in decimali.1. Essendoci abbastanza convinti nel § precedente della utilità, che si può ritrarre nel calcolo dalla introduzione delle frazioni decimali in luogo delle ordinarie, importa assai il far vedere, come queste, essendoci date o come elementi o come resultati finali di un calcolo, si possano in ogni caso tradurre in quelle, se non esattamente, almeno per approssimazione.
A quest’oggetto riflettendo, che un numero intiero si può porre sotto l’aspetto di decimale, scrivendogli di seguito a destra, quanti mai si voglian zeri, separati da una virgola (pag. 13), se si divide poi cotesto numero per un’altro intiero, siccome ciascuno dei resti successivi, che si trovano nel corso della operazione, è più piccolo di ogni altro, che fosse quello della sottrazione del prodotto di un numero diverso dal quoziente corrispondente, e d’altrettante cifre, pel divisore stesso (pag. 22), così si concepisce, che cotesto quoziente, trascurato il resto, s’accosterà più d’ogni altro numero decimale d’altrettante cifre ad esprimere il valore della frazione, che abbia per numeratore il primo, e per denominatore il secondo numero intiero.
Quindi è, che per ottenere un numero decimali di quante mai si voglian cifre, il quale più d’ogni altro di altrettante s’approssimi ad esprimere il valore di una proposta frazione ordinaria, si propone la seguente regola.
«Se la frazione è impropria, dopo aver fatta nel modo solito (Tema secondo, pag. 26 e seg.) la divisione del numeratore pel denominatore, si scriva una virgola a destra del quoziente ottenuto sopra il frego, ed uno zero a destra dell’ultimo resto ch’è sotto. Se è propria si scriva sopra il frego uno zero per quoziente con una virgola a destra, ed un’altro zero a destra del numeratore, ch’è scritto sotto, considerato come un resto di divisione fatta.
Indi sù questo, o sù quel resultato, come sù parzial dividendo, eseguendo la divisione, si scriva la cifra, che si trova per quoziente, al suo posto dopo la virgola sopra il frego, e poi uno zero a destra del nuovo resto, ch’è sotto; e così si prosegua la operazione. Ciò, che resulterà scritto al quoziente sopra il frego, costituirà il numero decimale voluto di più o meno cifre.»
Nella esecuzione di questa regola consiste il processo per la traduzione approssimativa delle frazioni ordinarie in decimali.
Ecco il tipo del calcolo per la frazione ordinaria impropria
| 407,389502762430939 . . . . | |
| 362 | 147475 |
| 2675 | |
| 1410 | |
| 3240 | |
| 3440 | |
| 1820 | |
| 1000 | |
| 2760 | |
| 2260 | |
| 880 | |
| 1560 | |
| 1120 | |
| 3400 | |
| 1420 | |
| 3340 | |
| 82 | |
| . . . . . . . |
Si può osservare, che a questo processo di calcolo si riduce anche la divisione di un numero decimale per un numero intiero, quando a destra dell’ultimo resto trovato si scriva uno zero, e poi una nuova cifra al quoziente; e così successivamente proseguendo la operazione si otterrà per approssimazione un tal quoziente in decimali.
2. Siccome il processo per eseguir la precedente operazione, prescindendo dalla considerazione della virgola, consiste nel moltiplicare il numeratore di una proposta frazione successivamente per 10, ossìa per 2 e per 5, senza fine, e poi nel dividere il prodotto pel denominatore, è facil persuadersi, che ciò si riduce.
1.° A dividere il denominatore di cotesta frazione separatamente per 2 e per 5, finchè si può (Tema prec. pag. 47), ed a moltiplicare il numeratore separatamente per 2 e per 5, finchè il numero delle moltiplicazioni insieme e delle divisioni per 2 sia lo stesso, che quello per 5.
2.° A considerare la nuova frazione resultante, come se fosse la proposta stessa.
Ma il Denominatore della frazione proposta essendo numero primo col numeratore, come si suppone, è facil persuadersi pure, che anche il denominatore della nuova frazione sarà sempre numero primo separatamente con ciascuno dei fattori del suo numeratore, anche quando si moltiplichi questo per 10 senza fine; d’onde si conclude, che la precedente operazione per tradurre in decimali una frazione ordinaria generalmente non terminerà giammai (ivi pag. 35).
V’è però un caso, in cui cotesta operazione si termina, ed è quello, in cui, dopo di aver diviso esattamente tante volte, quante si può, per 2 e per 5 il denominatore della frazione proposta, si trovasse 1 per definitivo quoziente, ossìa, in cui cotesto denominatore fosse precisamente od una certa potenza del 2, o del 5 separatamente, oppure il prodotto di due potenze diverse di questi due numeri.
Infatti in questo caso, per avere in decimali il valore della proposta frazione, in luogo di seguir la regola precedente, basterà moltiplicare ambedue i suoi termini per una potenza tale di 2 o di 5, per cui quello di questi numeri, che nel denominatore non ve n’hà alcuna, o ve l’hà minore, l’acquisti uguale a quella dell’altro; e poi sopprimendo il nuovo denominatore (che sarà la unità seguita da uno o più zeri), separar nel numerator nuovo con una virgola tante cifre a destra, quant’erano le unità del grado della potenza del 2,0 del 5 maggiore nel denominatore antico. È visibile, che la moltiplicazione di questo denominatore ci si potrà anche risparmiare.
Così per esempio nella frazione in cui il denominatore 8 è la terza potenza di 2, sopprimendo questo, e moltiplicando soltanto il numeratore 3 per la terza potenza di 5, ossìa per 125, si avrà il numero intiero 375,oppure 0375, in cui si separeranno a destra con una virgola trè cifre; e però si avrà il numero decimale esatto 0,375, equivalente alla frazione
Reciprocamente, se la operazione per tradurre una frazione ordinaria in decimali si termina, possiamo esser sicuri, che cotesta frazione è compresa nel caso precedente.
Ed infatti, se il quoziente esatto avuto si pone sotto l’aspetto di frazione ordinaria, il denominatore riuscendo la unità seguita da uno o più zeri, ossìa una potenza di 10, non è difficile persuadersi, ch’esso sarà il prodotto di una certa potenza del numero 2 per una potenza uguale del numero 5; dividendo dunque separatamente per 2 e per 5 ambe due i termini di cotesta frazione, finchè si può, acciò diventino identici, come deve accadere, con quelli della proposta equivalente, primi per ipotesi trà loro (Tema prec. pag. 39), si vede, che il denominatore di questa sarà necessariamente una potenza o del numero 2 o del numero 5 separatamente, oppure il prodotto di due potenze diverse di questi due numeri.
Eseguendo per esempio la operazione relativamente alla frazione propria, , come segue
| 0,013671875 | |
| 512 | 700 |
| 1880 | |
| 3440 | |
| 3680 | |
| 960 | |
| 4480 | |
| 3840 | |
| 2560 | |
| 0 |
3. Eccettuato il caso precedente, in cui la operazione per tradurre in decimali una frazione ordinaria si termina, parrebbe, che a misura che si volesse al quoziente una cifra più remota, bisognasse per determinarla spinger sempre più oltre la operazione. Ma è facil persuadersi, che basterà spingerla sino ad un certo limite, oltre il quale non è necessario progredire, perchè al quoziente alcune delle cifre si ripeteranno costantemente l’una dopo l’altra, formandovi un periodo, conosciuto il quale, vi potremo scrivere quante altre mai cifre si vorranno; per lo che si potrà riguardar la frazione proposta come tradotta in un numero indefinito di cifre decimali. Ed infatti, siccome in cotesta operazione il Divisore è sempre costante, cioè lo stesso, ed i successivi resti parziali della medesima devon riuscir tutti minori di lui (Tema secondo, pag. 20 e seg. ), è chiaro, che, dopo averne avuti al più tanti, quante unità, meno una, contiene cotesto Divisore, si dovrà ritrovare uno dei resti precedenti. Scrivendo dunque uno zero a destra di quest’ultimo resto, come già sen’era scritto un’altro a destra del precedente uguale, si avrà un secondo dividendo parziale, che ci darà al quoziente una cifra uguale alla corrispondente dataci dal primo; e così di seguito fino all’ultimo resto precedente. Segue inoltre che le cifre del periodo saranno anch’esse sempre meno delle unità del Divisore.
Eseguendo per esempio la operazione sulla frazione , come segue
| 0,714285. . . | |
| 7 | 50 |
| 10 | |
| 30 | |
| 20 | |
| 60 | |
| 40 | |
| 5 |
Per un’altro esempio eseguendo la operazione sulla frazione , come segue
| 0,583 . . . | |
| 12 | 70 |
| 100 | |
| 40 | |
| 4 |
Si conclude pertanto, che sebbene, quando il Divisore è molto grande, la prima cifra del secondo periodo, che si desidera, possa esser molto remota, come accade nell’esempio di sopra (pag. 28), pure, spingendo più oltre la operazione, noi siamo sempre sicuri di poterla una volta ottenere.
Del resto è chiaro, che il numero decimale, il quale risulta al quoziente, per quante cifre vi si prendano, ha un valore approssimato sempre minor di quello della frazione proposta.
4. Volendosi formare una idea adequata del grado di approssimazione, che si ottiene, quando ad una frazione ordinaria si sostituisce il numero decimale, che resulta al quoziente, a misura che vi si scrive un più gran numero di cifre, si osservi in primo luogo, che se nella operazione per ottenerlo si fosse aumentata una cifra qualunque anche di una unità sola, allora il prodotto della nuova cifra pel divisore non si sarebbe potuto più sottrarre dal parzial dividendo corrispondente. D’onde si conclude.
Che, come prendendo al quoziente un certo numero di cifre si hà un numero decimale, il quale si accosta più di ogni altro di altrettante ad esprimere, come suol dirsi, per difetto il valore della frazione proposta (pag. 27), così, aumentandovi d’una unità l’ultima cifra, si avrà un’altro numero decimale, il quale più d’ogni altro d’altrettante cifre s’accosterà pure ad esprimere, come suol dirsi, per eccesso il valore della frazione proposta medesima; e che perciò l’uno o l’altro di cotesti due numeri, a misura che vi si considerano più cifre, esprimerà, per difetto, o per eccesso, il valore della frazione proposta, a meno di una unità decimale di un ordine relativo inferiore comunque elevato.
Riflettendo in secondo luogo, che il valore di quest’ultima unità si può imaginare così piccolo da divenire inferiore a quello della differenza comunque piccola trà due frazioni date, se ne deduce, che i due numeri decimali precedenti, a misura che vi si considereranno più cifre, si avvicineranno trà loro in modo da escluder fuori dei loro valori quello di qualunque altra frazione, data diversa dalla proposta medesima.
Finalmente per accertarsi in quali circostanze il grado di approssimazione è maggiore, allorchè alla frazione proposta si sostituisce il numero decimale approssimato per eccesso, in luogo di quello approssimato per difetto, si osservi, che la unità aggiunta alla ultima cifra di questo, potendosi riguardare come la somma dell’eccesso dell’uno sopra la frazione proposta e dell’eccesso di questa sull’altro, nella ipotesi che il primo di questi eccessi sia minore del secondo, bisognerà che cotesta unità abbia un valore più piccolo del doppio di questo secondo eccesso, e però un tal secondo eccesso, moltiplicato per 10, acquisterà un valore superiore a quello di 5 unità simili alla precedente.
Ora l’eccesso di una frazione proposta sopra un numero decimale, approssimato per difetto, è visibilmente il resto della parzial divisione, che si fà per ottener l’ultima cifra di un tal decimale, resto però da dividersi poi pel denominatore della frazione stessa. D’onde si vede, che nella operazione scrivendo di seguito a cotesto resto uno zero (con che si fà una moltiplicazione per 10), se la cifra ulteriore resultante al quoziente è 5, o supera 5, quando si aumenti di una unità la cifra precedente, siamo sicuri, che il nuovo numero decimale esprimerà per eccesso più da vicino di quello per difetto il valore della proposta frazione.
Però si prescrive la seguente Regola
«Fermandosi nel quoziente ad una certa cifra, aumentatela di una unità, se la seguente non riesce inferiore a 5, per avere un numero decimale, approssimato più per eccesso, che per difetto».
Del resto, se si osserva, che in un numero decimale indefinito una unità sola di qualunque sua cifra hà un valore costantemente superiore a quello di tutte le altre, che la seguono a destra (pag. 13); e che perciò, secondochè la prima di queste seconde cifre è più piccola o nò di 5, il loro valore è respettivamente inferiore o superiore a quello di 0,5 della precedente unità, si vede, che, qualunque possa essere stata la operazione, che ci avesse condotti ad aver per resultato cotesto numero decimale indefinito, avrebbe avuto sempre luogo la medesima Regola, affine di ottenere un numero decimale finito, approssimato più per eccesso, che per difetto.