Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici/Sulla teoria delle superficie

by Guido Fubini

Sulla teoria delle superficie

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Guido Fubini - Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici (1900)

Sulla teoria delle superficie

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Sulla rappresentazione Riemanniana di rette parallele e sulle superficie isocicliche

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Sulla teoria delle superficie.

§. 14. Già abbiamo dai paragrafi precedenti alcuni teoremi sulle superficie, che noi ritroveremo qui in modo diretto, senza valerci delle formule generali ottenute nella breve scorsa sulla teoria delle congruenze.

Siano con le notazioni solite

$Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}$, $Ddu^{2}+2D'dudv+D''dv^{2}$

le due forme fondamentali di una superficie (Bianchi A); e ne siano $(x_{i})$ e $(\xi _{i})$ le coordinate di un punto generico e del corrispondente piano tangente. Avremo per elemento lineare dell’immagine di Clifford della corrispondente congruenza normale:

$ds'^{2}=\sum \left(d[x,\xi ]_{i}\right)^{2}=\sum \left([dx,\xi ]_{i}\right)^{2}+\sum \left([x,d\xi ]_{i}\right)^{2}+2\sum [dx,\xi ]_{i}[x,d\xi ]_{i}.$

Si sviluppi con le solite identità, lasciando i determinanti con due linee uguali; avremo

$ds'_{2}=\sum dx^{1}+\sum d\xi ^{2}\pm 2{\begin{vmatrix}dx_{1}&dx_{2}&dx_{3}&dx_{4}\\\xi _{1}&\xi _{2}&\xi _{3}&\xi _{4}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\d\xi _{1}&d\xi _{2}&d\xi _{3}&d\xi _{4}\end{vmatrix}}$

dove è facile verificare che il doppio segno è dovuto al doppio senso del parallelismo. Ora è (Bianchi, loc. cit.).

${\frac {\partial \xi _{i}}{\partial u}}={\frac {FD'-GD}{EG-F^{2}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial u}}+{\frac {FD-ED'}{EG-F^{2}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial v}}$

${\frac {\partial \xi _{i}}{\partial v}}={\frac {FD''-GD}{EG-F^{2}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial u}}+{\frac {FD'-ED''}{EG-F^{2}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial v}}.$

Usando di queste formule e ricordando che

${\begin{vmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial u}}&\cdots &\cdots &{\frac {\partial x_{4}}{\partial u}}\\{\frac {\partial x_{1}}{\partial v}}&\cdots &\cdots &{\frac {\partial x_{4}}{\partial v}}\\x_{1}&\cdots &\cdots &x_{4}\\\xi _{1}&\cdots &\cdots &\xi _{4}\end{vmatrix}}=EG-F^{2}$

si ottiene che

${\begin{vmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial u}}&\cdots &\cdots &{\frac {\partial x_{4}}{\partial u}}\\x_{1}&\cdots &\cdots &x_{4}\\\xi _{1}&\cdots &\cdots &\xi _{4}\\{\frac {\partial \xi _{1}}{\partial u}}&\cdots &\cdots &{\frac {\partial \xi _{4}}{\partial u}}\end{vmatrix}}=\pm {\frac {FD-ED'}{\sqrt {EG-F^{2}}}}$

${\begin{vmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial u}}&\cdots &\cdots &{\frac {\partial x_{4}}{\partial u}}\\x_{1}&\cdots &\cdots &x_{4}\\\xi _{1}&\cdots &\cdots &\xi _{4}\\{\frac {\partial \xi _{1}}{\partial v}}&\cdots &\cdots &{\frac {\partial \xi _{4}}{\partial v}}\end{vmatrix}}=\pm {\frac {FD'-ED''}{\sqrt {EG-F^{2}}}}$

Analogamente

${\begin{vmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial v}}&\cdots &\cdots &{\frac {\partial x_{4}}{\partial v}}\\x_{1}&\cdots &\cdots &x_{4}\\\xi _{1}&\cdots &\cdots &\xi _{4}\\{\frac {\partial \xi _{1}}{\partial v}}&\cdots &\cdots &{\frac {\partial \xi _{4}}{\partial v}}\end{vmatrix}}=\mp {\frac {FD''-GD'}{\sqrt {EG-F^{2}}}}$

${\begin{vmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial v}}&\cdots &\cdots &{\frac {\partial x_{4}}{\partial v}}\\x_{1}&\cdots &\cdots &x_{4}\\\xi _{1}&\cdots &\cdots &\xi _{4}\\{\frac {\partial \xi _{1}}{\partial u}}&\cdots &\cdots &{\frac {\partial \xi _{4}}{\partial u}}\end{vmatrix}}=\mp {\frac {FD'-GD}{\sqrt {EG-F^{2}}}}$

dove i segni superiori (inferiori) vanno presi insieme. Sviluppando il valore di $ds'^{2}$ con le formule or ora ottenute abbiamo infine:

$ds'^{2}=edu^{2}+2fdudv+gdv^{2}$

dove, con le solite notazioni delle superficie,

$e=E+E'\pm 2{\frac {FD-ED'}{\sqrt {EG-F^{2}}}}$

$f=F+F'\pm {\frac {GD-ED''}{\sqrt {EG-F^{2}}}}$

$g=G+G'\mp 2{\frac {FD''-GD'}{\sqrt {EG-F^{2}}}}.$

Qui di nuovo vanno insieme i segni superiori (inferiori) e l’ambiguità del segno è dovuta al doppio senso del parallelismo. E si noti che:

La parte di segno costante e la parte di segno variabile di $ds'^{2}$ potrebbero servire come forme individuanti un sistema di superficie parallele.

La parte di segno costante è evidentemente la somma dei quadrati degli elementi lineari corrispondenti sulle due superficie polari; quanto alla parte di segno variabile si verifica facilmente che anche nello spazio ellittico la torsione geodetica di una curva nel punto $A$ (torsione della geodetica tangente in $A$) è data da ${\frac {1}{T}}+{\frac {d\sigma }{ds}}$ (dove $T$ è la torsione, $s$ l’arco, $\sigma$ l’angolo con la normale alla superficie della normale principale della curva stessa) che essa è nulla per le linee di curvatura ed è data anche da

${\frac {(FD-ED')du^{2}+(GD-ED'')dudv+(GD'-FD'')dv^{2}}{{\sqrt {EG-F^{2}}}(Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2})}}$

Si ha allora che la torsione geodetica di un elemento di curva è uguale a meno di un fattore numerico alla parte variabile dei quadrati degli elementi lineari di Clifford della superficie (cioè alla differenza dei quadrati dei due archetti immagine) divisa per il quadrato della lunghezza dell’elemento stesso.

Siano ora le $u$, $v$ le linee di curvatura della superficie; ricordando le equazioni di Codazzi, otteniamo in tal caso

$e={\frac {E}{\operatorname {sen} ^{2}w_{2}}}=E\left(1+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}\right)$

$f=\pm {\sqrt {EG}}(\operatorname {cotg} w_{1}-\operatorname {cotg} w_{2})=\pm {\sqrt {EG}}\left({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}\right)$

$g={\frac {G}{\operatorname {sen} ^{2}w_{1}}}=G\left(1+{\frac {1}{r_{1}^{2}}}\right)$

dove $r_{1}$, $r_{2}$ sono i raggi di curvatura della superficie.

Queste formule sono tanto importanti per noi che non sarà male il ritrovarle in un altro modo, che avrà il vantaggio di mostrarci quanto sia conforme alla natura intima dello spazio ellittico il concetto di parametri di scorrimento di una retta.

§. 15. Formino le $u=cost.$ e le $v=cost$ un sistema ortogonale e siano rispettivamente $(X_{1}Y_{1}Z_{1})$, $(X_{2}Y_{2}Z_{2})$, $(X_{3}Y_{3}Z_{3})$ i parametri di scorrimento (in un certo verso) della tangente alla $v=cost.$, della tangente alla $u=cost.$, e della normale alla superficie in un suo punto generico $(x_{i})$. È facile scriverne l’espressione effettiva; e se ne formiamo le derivate rispetto $u,v$ ricordando le relazioni tra i parametri di rette polari e le formule che danno le derivate seconde delle $x_{i}$ e le derivate prime delle $\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\xi _{4}$ otteniamo il seguente quadro di formule:

$dX_{1}=\left[-{\frac {1}{2{\sqrt {EG}}}}{\frac {\partial E}{\partial v}}X_{2}+{\frac {D}{\sqrt {E}}}X_{3}\right]du+\left[{\frac {1}{2{\sqrt {EG}}}}{\frac {\partial G}{\partial u}}X_{2}+\left({\frac {D'}{\sqrt {E}}}\pm {\sqrt {G}}\right)X_{3}\right]dv$

$dX_{2}=\left[{\frac {1}{2{\sqrt {EG}}}}{\frac {\partial E}{\partial v}}X_{1}+\left({\frac {D'}{\sqrt {G}}}\mp {\sqrt {E}}\right)X_{3}\right]du+\left[-{\frac {1}{2{\sqrt {EG}}}}{\frac {\partial G}{\partial u}}X_{1}+{\frac {D''}{\sqrt {G}}}X_{3}\right]dv$

$dX_{3}=\left[\left(\pm {\sqrt {E}}-{\frac {D'}{\sqrt {G}}}\right)X_{2}-{\frac {D}{\sqrt {E}}}X_{1}\right]du+\left[\left(\mp {\sqrt {G}}-{\frac {D'}{\sqrt {E}}}\right)X_{1}-{\frac {D''}{\sqrt {G}}}X_{2}\right]dv$

con le solite considerazioni riguardo ai segni. Queste formule sono perfettamente analoghe alle corrispondenti dello spazio euclideo che se ne deducono ponendo $D'$ per $D'\pm {\sqrt {EG}}$.

La determinazione effettiva di una superficie di cui siano date le forme fondamentali si riduce all’integrazione di due sistemi di equazioni ai differenziali totali, ciascuno riducibile poi a un equazione di Riccati.

Così anche nello spazio curvo, come nell’euclideo, si ha

$Ddu^{2}+2D'dudv+D''dv^{2}=-\sum ({\sqrt {E}}X_{1}du+{\sqrt {G}}X_{2}dv)dX_{3}.$

Così affinchè una retta di parametri $\lambda X_{1}+\mu X_{2}+\nu X_{3}$ ($\lambda$, $\mu$, $\nu$ costanti) per il punto $(x_{i})$ generi una sviluppabile quando ci si sposti lungo una $v=cost.$ devono essere uguali le immagini sferiche della rigata generata, cioè se $D'=F=0$

$\lambda \left(\mu D+\nu {\frac {\frac {\partial E}{\partial v}}{2{\sqrt {G}}}}\right)=0.$

E se ciò avviene invece spostandoci lungo una $u=cost.$ è 2

$\mu \left(\lambda D''+\nu {\frac {\frac {\partial G}{\partial v}}{2{\sqrt {E}}}}\right)=0.$

Con l’aiuto del quadro di formule precedente possiamo risolvere un’altra questione: determinare cioè le congruenze i cui raggi trascinati in una qualunque deformazione di una superficie di partenza alla quale si immaginino invariabilmente collegati, formano sempre $\infty '$ rigate di Clifford o, ciò che è lo stesso, formano una congruenza per cui una delle immagini di Clifford è degenere. Se le $u,v$ sono rispettivamente le linee normali ai raggi tracciate sulla superficie $\Sigma$ di partenza e le loro traiettorie ortogonali, i parametri di scorrimento di un raggio generico della congruenza sono

$X=\cos \varphi X_{1}+sen\varphi X_{3}$, $Y=\cos \varphi Y_{1}+sen\varphi Y_{3}$, $Z=\cos \varphi Z_{1}+sen\varphi Z_{3}$

dove $\varphi$ è funzione di $u,v$. L’elemento lineare della immagine di Clifford ottenuta nel senso in cui si sono calcolati $X,Y,Z$ è dato da

$ds'^{2}=\left[\sum \left({\frac {\partial X}{\partial u}}\right)^{2}\right]du^{2}+2\sum {\frac {\partial X}{\partial u}}{\frac {\partial X}{\partial v}}dudv+\sum \left({\frac {\partial X}{\partial v}}\right)^{2}dv^{2};$

ora è facile calcolare, appunto col quadro di formule di questo paragrafo, che

$\sum \left({\frac {\partial X}{\partial u}}\right)^{2}={\frac {D^{2}}{E}}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\right)^{2}+2{\frac {D}{\sqrt {E}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\left({\frac {\cos \varphi }{\sqrt {G}}}{\frac {\partial {\sqrt {E}}}{\partial v}}+\operatorname {sen} \varphi {\frac {D'\mp {\sqrt {EG}}}{\sqrt {G}}}\right)^{2}$

$\sum \left({\frac {\partial X}{\partial v}}\right)^{2}=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+{\frac {D'\pm {\sqrt {EG}}}{\sqrt {E}}}\right)^{2}+\left({\frac {\cos \varphi }{\sqrt {E}}}{\frac {\partial {\sqrt {G}}}{\partial u}}-\operatorname {sen} \varphi {\frac {D''}{\sqrt {G}}}\right)^{2}$

$\sum {\frac {\partial X}{\partial u}}{\frac {\partial X}{\partial v}}=\left({\frac {D}{\sqrt {E}}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\right)\left({\frac {D'\pm {\sqrt {EG}}}{\sqrt {E}}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right)-$

$-\left({\frac {\cos \varphi }{\sqrt {G}}}{\frac {\partial {\sqrt {E}}}{\partial v}}+\operatorname {sen} \varphi {\frac {D'\mp {\sqrt {EG}}}{\sqrt {EG}}}\right)\left({\frac {\cos \varphi }{\sqrt {E}}}{\frac {\partial {\sqrt {G}}}{\partial u}}-\operatorname {sen} \varphi {\frac {D''}{\sqrt {G}}}\right).$

Affinchè l’immagine di Clifford corrispondente sia degenere, deve essere

$\left[\sum \left({\frac {\partial X}{\partial u}}\right)^{2}\right]\left[\sum \left({\frac {\partial X}{\partial v}}\right)^{2}\right]-\left(\sum {\frac {\partial X}{\partial u}}{\frac {\partial X}{\partial v}}\right)^{3}=0$

cioè deve essere nullo (il quadrato di)

$\left({\frac {D}{\sqrt {E}}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\right)\left(\cos \varphi {\frac {1}{\sqrt {E}}}{\frac {\partial {\sqrt {G}}}{\partial u}}-\operatorname {sen} \varphi {\frac {D''}{\sqrt {G}}}\right)+$

$+\left({\frac {D'\pm {\sqrt {EG}}}{\sqrt {E}}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right)\left({\frac {\cos \varphi }{\sqrt {G}}}{\frac {\partial {\sqrt {E}}}{\partial v}}+\operatorname {sen} \varphi {\frac {D'\mp {\sqrt {EG}}}{\sqrt {G}}}\right).$

Si sviluppi ricordando che, se $K$ è la curvatura della superficie di partenza, è

${\frac {DD''}{\sqrt {EG}}}-{\frac {D'\pm {\sqrt {EG}}}{\sqrt {E}}}{\frac {D'\mp {\sqrt {EG}}}{\sqrt {G}}}={\sqrt {EG}}K$

e si avrà

$-\operatorname {sen} \varphi {\frac {\partial \varphi }{\partial u}}{\frac {D''}{\sqrt {G}}}+{\frac {\cos \varphi }{E}}D{\frac {\partial {\sqrt {G}}}{\partial u}}+{\frac {\cos \varphi }{\sqrt {E}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}{\frac {\partial {\sqrt {G}}}{\partial u}}+{\frac {\cos \varphi }{\sqrt {G}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}{\frac {\partial {\sqrt {E}}}{\partial u}}+$

$+\operatorname {sen} \varphi {\frac {\partial \varphi }{\partial v}}{\frac {D'\mp {\sqrt {EG}}}{\sqrt {G}}}+{\frac {\cos \varphi }{\sqrt {G}}}{\frac {\partial {\sqrt {E}}}{\partial v}}{\frac {D'\pm {\sqrt {EG}}}{\sqrt {E}}}-\operatorname {sen} \varphi K{\sqrt {EG}}=0.$

Si moltiplichi per $D$, si sostituisca a $DD''$ il suo valore dedotto dalla penultima formula; il risultato dovrà esser identicamente nullo in $D_{1}D'$. Così sarà in primo luogo

${\frac {\cos \varphi }{\sqrt {E}}}{\frac {\partial {\sqrt {G}}}{\partial u}}=0.$

Per $\varphi ={\frac {\pi }{2}}$ si riconosce subito che $K=0$ e si hanno le normali a una superficie di curvatura nulla; per $\cos \varphi \neq 0$, deve essere $G$ funzione solo di $v$; dovendo poi esser nullo anche il coefficiente di $D'$, sarà ${\frac {\partial \varphi }{\partial u}}=0$. Analogamente otteniamo infine

${\frac {\partial \log \cos \varphi }{\partial v}}={\frac {\partial \log {\sqrt {E}}}{\partial v}}$

${\frac {\cos \varphi }{\sqrt {G}}}{\frac {\partial {\sqrt {E}}}{\partial v}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}-\operatorname {sen} \varphi K{\sqrt {EG}}\pm {\sqrt {EG}}\left({\frac {\cos \varphi }{\sqrt {EG}}}{\frac {\partial {\sqrt {E}}}{\partial v}}-{\frac {\operatorname {sen} \varphi }{\sqrt {G}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right)=0.$

Se $\varphi$ è costante (che però noi supporremo sempre non nulla) si può fare $E=G=1$ e si ottengono le rette inclinate d’un angolo costante su una superficie $\Sigma$ a curvatura nulla e normali nel punto comune con $\Sigma$ alla geodetica di un sistema (di $\infty '$ geodetiche parallele) che passa per il punto stesso.

Se $\varphi$ non è costante, si pone $\varphi =v$, $E=\cos ^{2}\varphi =\cos ^{2}v$ e l’ultima equazione diventa successivamente:

${\frac {\operatorname {sen} v\cos v}{\sqrt {G}}}+\operatorname {sen} v{\frac {\partial }{\partial v}}\left({\frac {\operatorname {sen} v}{\sqrt {G}}}\right)\pm 2\operatorname {sen} v\cos v=0$

${\frac {\partial }{\partial v}}\left({\frac {\operatorname {sen} v}{\sqrt {G}}}\right)+\operatorname {cotg} v\left({\frac {\operatorname {sen} v}{\sqrt {G}}}\right)\pm 2\cos v=0.$

Da cui

$\left({\frac {\operatorname {sen} v}{\sqrt {G}}}\right)=\pm {\frac {1}{\operatorname {sen} v}}\left(2\int \operatorname {sen} v\cos vdv+C\right)$

${\sqrt {G}}=\pm {\frac {2\operatorname {sen} ^{2}v}{\cos 2v+C}},$

dove $C$ è una costante.

Otteniamo così come superficie di partenza una superficie di rotazione (o una sua deformata) che al limite diventa appunto una delle superficie di Weingarten che si presentano nello studio diretto per lo spazio euclideo.

Dopo questa ricerca, osserviamo ora che basta porre

$D'=0$

nel quadro di formule di questo paragrafo e formare la somma $\Sigma dX_{3}^{2}$ per ottenere appunto di nuovo l’elemento lineare del §. 14, come volevamo.

E qui osserviamo che il termine in $dudv$ col doppio segno, che a prima vista può fare meraviglia quando si ricordino le cose analoghe per lo spazio euclideo e iperbolico, è invece cosa prevedibile “a priori„ perchè le $u=cost.$, $v=cost.$ sono appunto le sviluppabili della congruenza delle normali alla superficie (§. 11).

§. 16. Ora noi ci facciamo la seguente domanda:

Date le due immagini piane di una congruenza (in corrispondenza biunivoca) come riconosceremo se la congruenza è normale?

Intanto dallo studio fatto, quando per le $u=cost.$, $v=cost.$ siano prese le linee di curvatura di una superficie, vediamo che è condizione necessaria che le immagini si corrispondano con equivalenza delle aree. Dimostriamo ora viceversa che, se le immagini sono tali che siano equivalenti due parti corrispondenti qualunque, la congruenza è normale oppure duale di una congruenza normale (questa ultima proprietà non è per nulla contraria alla generalità del risultato, perchè congruenze duali hanno le stesse immagini di Clifford). (Cf. §. 13). Infatti, se le $u=cost.$ e le $v=cost.$ sono le sviluppabili della nostra congruenza (le linee che corrispondono con uguaglianza d’arco sulle due immagini di Clifford e che dimostreremo reali) allora la parte di segno variabile dell’elemento lineare delle immagini di Clifford si riduce al più al termine in $dudv$; e se le due immagini si corrispondono nel modo supposto, sarà nullo il termine in “$dudv$„ o nella parte di segno costante, o in quella di segno variabile. In quest’ultimo caso la congruenza è a sviluppabili indeterminate, cioè è formata dalle rette normali a un piano; nell’altro caso è $F+F'=0$; siano ora

$ds^{2}=Adu^{2}+2Bdudv+Cdv^{2}$, $Ddu^{2}+2D'dudv+D''dv^{2}$

le forme fondamentali di una delle falde focali della congruenza luogo del fuoco $(x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})$ e siano $\xi _{i}={\frac {1}{\sqrt {A}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial u}}$ i coseni di direzione del raggio per $x_{i}$; sarà $E=F=0$; e affinchè $F+F'=0$ dovrà essere

$F'=\sum {\frac {\partial \xi }{\partial u}}{\frac {\partial \xi }{\partial v}}-\left(\sum x{\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\left(\sum x{\frac {\partial \xi }{\partial v}}\right)=$

$=\sum {\frac {\partial }{\partial u}}\left[{\frac {1}{\sqrt {A}}}{\frac {\partial x}{\partial u}}\right]{\frac {\partial }{\partial v}}\left[{\frac {1}{\sqrt {A}}}{\frac {\partial x}{\partial u}}\right]-\left(\sum \xi {\frac {\partial x}{\partial u}}\right)\left(\sum \xi {\frac {\partial x}{\partial v}}\right)=0.$

Ora è

$\left(\sum \xi {\frac {\partial x}{\partial u}}\right)={\sqrt {A}}$; $\left(\sum \xi {\frac {\partial x}{\partial v}}\right)={\frac {B}{\sqrt {A}}}$; $\left(\sum \xi {\frac {\partial x}{\partial u}}\right)\left(\sum \xi {\frac {\partial x}{\partial v}}\right)=B$.

E così si ha:

${\frac {1}{4A^{2}}}{\frac {\partial A}{\partial u}}{\frac {\partial A}{\partial v}}+{\frac {1}{A}}\sum {\frac {\partial ^{2}x}{\partial u^{2}}}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial u\partial v}}-B=0.$

Ricordando che $D'=0$ si ha, detti $(X_{1}X_{2}X_{3}X_{4})$ i coseni di direzione della normale alla superficie, che:

${\frac {\partial ^{2}x}{\partial u^{2}}}={\begin{Bmatrix}11\\1\end{Bmatrix}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\begin{Bmatrix}11\\2\end{Bmatrix}}{\frac {\partial x}{\partial v}}-Ax+DX$

dove i simboli di Christoffel sono riferiti alla forma

$Adu^{2}+2Bdudv+Cdv^{2}.$

Si ricava:

$\sum {\frac {\partial ^{2}x}{\partial u^{2}}}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial u\partial v}}={\frac {1}{2}}{\begin{Bmatrix}11\\1\end{Bmatrix}}{\frac {\partial A}{\partial v}}+{\frac {1}{2}}{\begin{Bmatrix}11\\2\end{Bmatrix}}{\frac {\partial C}{\partial u}}+AB$

cosicchè si ha in fine (poichè $A\neq 0$)

$-{\frac {\partial A}{\partial u}}{\frac {\partial A}{\partial v}}+2A^{2}\left[{\begin{Bmatrix}11\\1\end{Bmatrix}}{\frac {\partial A}{\partial v}}+{\begin{Bmatrix}11\\2\end{Bmatrix}}\right]{\frac {\partial C}{\partial u}}=0$

e poichè

$AC-B^{2}\neq 0$, $A\neq 0$

si ha

${\begin{Bmatrix}12\\2\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}11\\2\end{Bmatrix}}=0.$

Se ${\begin{Bmatrix}11\\2\end{Bmatrix}}=0$ le $v=cost.$ sono geodetiche e la congr. è normale; se ${\begin{Bmatrix}12\\2\end{Bmatrix}}=0$ sarà per la superficie duale ${\begin{Bmatrix}22\\1\end{Bmatrix}}=0$ e la congruenza duale è normale.

Basta adunque far vedere che, come si ammise, le linee d’ugual lunghezza in una tale corrispondenza d’una sfera euclidea in sè stessa sono reali (nel qual caso si ha certo, come si suppose, $A\neq 0$); infatti supposti i due elementi lineari riferiti al sistema reale ortogonale comune, essi assumono la forma ${\bar {E}}du^{2}+{\bar {G}}dv$, ${\bar {E}}'du^{2}+{\bar {G}}'dv$; e le linee in discorso sono date da

$({\bar {E}}-{\bar {E}}')du^{2}+({\bar {G}}-{\bar {G}}')dv^{2}=0.$

Poichè ${\bar {E}}{\bar {G}}={\bar {E}}'{\bar {G}}'$ non possono le differenze ${\bar {E}}-{\bar {E}}'$, ${\bar {G}}-{\bar {G}}'$ avere lo stesso segno, essendo ${\bar {E}}$, ${\bar {G}}$, ${\bar {E}}'$, ${\bar {G}}'$ positive; quindi queste linee sono certo reali. Questa dimostrazione della realità di tali linee mi fu gentilmente comunicata dal prof. Bianchi.

§. 17. Noi abbiamo dato in generale le condizioni cui devono soddisfare le forme del Fibbi perchè corrispondano realmente a una congruenza; non sarà quindi inopportuno il verificarle per la congruenza delle normali a una superficie, almeno quando per le $u=cost.$, e le $v=cost.$ si siano scelte le linee di curvatura. Esprimiamo infatti che il complesso dei termini che compaiono nell’espressione della curvatura di

$edu^{2}+2fdudv+gdv^{2}$

e che contengono linearmente “$f$„ e le sue derivate è nullo; ciò che deve avvenire nel nostro caso perchè scambiando il segno di $f$ l’elemento resta ancora un elemento sferico; otterremo

${\frac {\partial }{\partial u}}\left[{\frac {{\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}}{1+{\frac {1}{r_{1}r_{2}}}}}\right]{\frac {\partial \log \left[E\left(1+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}\right)\right]}{\partial v}}-{\frac {\partial }{\partial v}}\left[{\frac {{\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}}{1+{\frac {1}{r_{1}r_{2}}}}}\right]{\frac {\partial \log \left[E\left(1+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}\right)\right]}{\partial u}}+$

$+2{\frac {\partial }{\partial v}}\left[{\frac {{\frac {\partial }{\partial u}}\left[{\sqrt {EG}}\left({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}\right)\right]}{{\sqrt {EG}}\left({\frac {1}{r_{1}r_{2}}}\right)}}\right]=0.$

Il terzo termine di questa somma è

${\frac {{\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}}{1+{\frac {1}{r_{1}r_{2}}}}}\left\{{\frac {\partial ^{2}\log E}{\partial u\partial v}}+2{\frac {\partial ^{2}\log \left[{\sqrt {G}}\left({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}\right)\right]}{\partial u\partial v}}\right\}+$

$+{\frac {\partial }{\partial v}}\left[{\frac {{\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}}{1+{\frac {1}{r_{1}r_{2}}}}}\right]\left\{{\frac {\partial \log E}{\partial u}}+2{\frac {\partial \log \left[{\sqrt {G}}\left({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}\right)\right]}{\partial u}}\right\}.$

Unendo i termini che contengono $E$ e quelli che contengono $G$, l’uguaglianza precedente diventa dunque

${\frac {\partial }{\partial u}}\left[{\frac {{\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}}{1+{\frac {1}{r_{1}r_{2}}}}}{\frac {\partial \log E}{\partial v}}\right]+2{\frac {\partial }{\partial v}}\left[{\frac {{\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}}{1+{\frac {1}{r_{1}r_{2}}}}}{\frac {\partial \log \left\{{\sqrt {G}}\left({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}\right)\right\}}{\partial u}}\right]+$

$+{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\frac {{\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}}{1+{\frac {1}{r_{1}r_{2}}}}}\right){\frac {\partial \log \left(1+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}\right)}{\partial v}}-{\frac {\partial }{\partial v}}\left({\frac {{\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}}{1+{\frac {1}{r_{1}r_{2}}}}}\right){\frac {\partial \log \left(1+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}\right)}{\partial u}}=0.$

Sostituendo poi a ${\frac {\partial \log E}{\partial v}}$, ${\frac {\partial \log G}{\partial u}}$ i valori dati dalle formule di Codazzi si ottiene un’identità in ${\frac {1}{r_{1}}}$, ${\frac {1}{r_{2}}}$.

Tolti i termini così dimostrati nulli, per far vedere che la curvatura dell’elemento è $+1$, basta far vedere che:

$1={\frac {-1}{2{\sqrt {EG}}\left(1+{\frac {1}{r_{1}r_{2}}}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial u}}\left[{\frac {1}{{\sqrt {EG}}\left(1+{\frac {1}{r_{1}r_{2}}}\right)}}{\frac {\partial \left[G\left(1+{\frac {1}{r_{1}^{2}}}\right)\right]}{\partial u}}\right]\right.+$

$\left.+{\frac {\partial }{\partial v}}\left[{\frac {1}{{\sqrt {EG}}\left(1+{\frac {1}{r_{1}r_{2}}}\right)}}{\frac {\partial \left[E\left(1+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}\right)\right]}{\partial v}}\right]\right\}.$

Sostituendo a ${\frac {\partial }{\partial u}}\left({\frac {1}{r_{1}}}\right)$, ${\frac {\partial }{\partial v}}\left({\frac {1}{r_{2}}}\right)$ i valori ricavati dalle equazioni di Codazzi, l’equazione precedente diventa l’equazione di Gauss

$1+{\frac {1}{r_{1}r_{2}}}=-{\frac {1}{\sqrt {EG}}}\left\{{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\frac {1}{\sqrt {E}}}{\frac {\partial {\sqrt {G}}}{\partial u}}\right)+{\frac {\partial }{\partial v}}\left({\frac {1}{\sqrt {G}}}{\frac {\partial {\sqrt {E}}}{\partial v}}\right)\right\}.$

L’avere qui 2 equazioni in luogo di 3 (2 di Codazzi e 1 di Gauss) è dovuto all’essere sottintesa la $f+f'=0$ che esprime essere equivalenti parti corrispondenti delle due immagini.

§. 18. L’angolo che due elementi corrispondenti (su due superficie polari) $AA'$, $BB'$ formano tra di loro è subito misurato quando si pensi (§.2) che la direzione $BB''$ coniugata di $BB'$ in $B$ è appunto la retta duale di $AA'$ ed è quindi parallela ad $AA'$ nei due sensi; quindi gli angoli di $AA'$ con $BB'$ sono uguali o supplementari a quelli di $BB'$ con $BB''$.

Se $AA'$ è tangente a una linea di curvatura per $A$, essa è normale a $BB'$ in ambedue in sensi (e quindi incontra $BB'$). Ora noi vogliamo studiare ciò che avviene per l’angolo $\varphi$ di elementi corrispondenti su una superficie e sulla immagine piana (costruita in un certo senso). Prenderemo a linee $u$, $v$ le linee di curvatura e misureremo $\varphi$ nel medesimo senso con cui fu costruita l’immagine piana. Per la singolarità del risultato faremo i calcoli in due modi, di cui l’uno darà sotto forma razionale $\cos \varphi$, l’altro $\operatorname {sen} \varphi$. Sia $(Y_{1}Y_{2}Y_{3}0)$ il punto immagine del punto $(x_{i})$ della superficie relativamente al piano $x_{4}=0$ e siano $(X_{i})$ i coseni di direzione della parallela condotta per $(Y)$ all’elemento uscente da $(x)$ coi coseni di direzione $\left({\frac {dx}{ds}}\right)$; avremo, indicando con $d\sigma$ l’arco corrispondente dell’immagine piana

$cos\varphi ={\frac {\sum XdY}{d\sigma }}={\frac {1}{dsd\sigma }}{\begin{vmatrix}dY_{1}&Y_{1}&[dx,x]_{1}\\dY_{2}&Y_{2}&[dx,x]_{2}\\dY_{3}&Y_{3}&[dx,x]_{3}\end{vmatrix}}$

$\cos ^{2}\varphi ={\frac {1}{ds^{2}d\sigma ^{2}}}{\begin{vmatrix}d\sigma ^{2}&0&\sum [dx,x]d[\xi ,x]\\0&1&\sum [dx,x][\xi ,x]\\\sum [dx,x]d[\xi ,x]&\sum [\xi ,x][dx,x]&ds^{2}\end{vmatrix}}$

e, ricordando le solite identità:

$\cos \varphi =1-\left({\frac {\sum (dx,x)d(\xi ,x)}{dsd\sigma }}\right)^{2}=1-\left({\frac {\sum [dx,x][x,d\xi ]}{d\sigma ds}}\right)^{2}=$

$=1-\left({\frac {\sum dxd\xi }{dsd\sigma }}\right)^{2},$

donde

$\operatorname {sen} \varphi =\pm {\frac {\sum dxd\xi }{dsd\sigma }}.$

Valendoci ora delle notazioni e delle formule nel quadro del §. 15 troveremo $\cos \varphi$ sotto forma razionale.

La terza formula di questo quadro dà

${\frac {dX_{3}}{d\sigma }}=\left(\pm {\sqrt {E}}X_{2}-{\frac {D}{\sqrt {E}}}X_{1}\right){\frac {du}{d\sigma }}+\left(\mp {\sqrt {G}}X_{1}-{\frac {D''}{\sqrt {G}}}X_{2}\right){\frac {dv}{d\sigma }}.$

I parametri di scorrimento della retta unente il punto $(u,v)$ della superficie al punto $(u+du,v+dv)$ sono

${\sqrt {E}}{\frac {du}{ds}}X_{1}+{\sqrt {G}}{\frac {dv}{ds}}X_{2}.$

Si ha con le nuove notazioni

$\cos \varphi ={\frac {1}{dsd\sigma }}{\begin{vmatrix}dX_{3}&X_{3}&{\sqrt {E}}duX_{1}+{\sqrt {G}}dvX_{2}\\dY_{3}&Y_{3}&{\sqrt {E}}duY_{1}+{\sqrt {G}}dvY_{2}\\dZ_{3}&Z_{3}&{\sqrt {E}}duZ_{1}+{\sqrt {G}}dvZ_{2}\end{vmatrix}}.$

Si sdoppi in due determinanti il secondo membro, sostituendo poi a $dX_{3}$, $dY_{3}$, $dZ_{3}$ i loro valori; otterremo

$\cos \varphi ={\frac {1}{dsd\sigma }}\left\{{\sqrt {E}}du\left(\pm {\sqrt {E}}du-{\frac {D''}{\sqrt {G}}}dv\right){\begin{vmatrix}X_{2}&X_{3}&X_{1}\\Y_{2}&Y_{3}&Y_{1}\\Z_{2}&Z_{3}&Z_{1}\end{vmatrix}}+\right.$

$+\left.{\sqrt {G}}dv\left(-{\frac {D}{\sqrt {E}}}du\mp {\sqrt {G}}dv\right){\begin{vmatrix}X_{1}&X_{3}&X_{2}\\Y_{1}&Y_{3}&Y_{2}\\Z_{1}&Z_{3}&Z_{2}\end{vmatrix}}+\right\}.$

Questi due determinanti sono uguali uno a $+1$, l’altro a $-1$; dunque

$\cos \varphi =\pm {\frac {1}{dsd\sigma }}\left(Edu^{2}\pm {\sqrt {EG}}\left({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}\right)dudv+Gdv^{2}\right).$

Dalle formule che danno $\cos \varphi$, $\operatorname {sen} \varphi$ (che immediatamente si riconoscono equivalenti) abbiamo:

Le assintotiche sono caratterizzate da ciò che la tangente in un punto è parallela alla tangente nel punto corrispondente alla curva immagine.

Le linee di curvatura sono caratterizzate dal venir spostate di angoli uguali nelle due immagini piane.

Per le assintotiche essendo dunque $\cos \varphi =1$, si vede che queste proprietà sono affatto differenti dalle analoghe per lo spazio euclideo.

§. 19. Notiamo che

$eg-f^{2}=EG\left(1+{\frac {1}{r_{1}r_{2}}}\right)^{2}.$

Dunque

Il rapporto delle aree dei due elementi infinitesimi corrispondenti sul piano immagine e sulla superficie (intomi dei punti $A'$, $A$ corrispondenti), è uguale alla curvatura della forma quadratica dante l’elemento lineare della superficie nel punto $A$, cioè alla curvatura assoluta della superficie.

Invece la curvatura relativa è data dal rapporto di elementi infinitesimi di due superficie duali.

Come si vede avviene un fatto analogo a quello che si presenta per la torsione delle curve; ciò che unito ai fatti enumerati in questi paragrafi, dà luogo all’osservazione che le proprietà della parallele dello spazio euclideo sembrano in molti casi sdoppiarsi in due classi, l’una di proprietà che si conservano nello spazio iperbolico, l’altra di proprietà che si conservano nello spazio ellittico. Si osservi ora che:

L’angolo delle linee immagini delle linee di curvatura è dato dal complemento di $\pm (w_{1}-w_{2})$ a seconda del senso del parallelismo.

Notiamo ancora esplicitamente un risultato altrove accennato:

Per le superficie a curvatura nulla e per esse sole l’immagine piana è degenere. La prima parte di questo teorema si poteva prevedere, notando che le assintotiche di una tal superficie sono a torsione $\pm 1$.

Così, come la media dei quadrati delle torsioni delle assintotiche in $A$ è uguale alla curvatura relativa della superficie in $A$, così la media dei quadrati delle torsioni di Clifford è uguale alla curvatura assoluta.

I sistemi ortogonali della superficie che tali si conservano nell’immagine piana sono dati da

${\begin{vmatrix}Edu&Gdv\\{\frac {E}{\operatorname {sen} ^{2}w_{2}}}du\pm {\sqrt {EG}}\left({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}\right)dv&{\frac {G}{\operatorname {sen} ^{2}w_{1}}}dv\pm {\sqrt {EG}}\left({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}\right)du\end{vmatrix}}=0$

cioè da

$\pm {\sqrt {EG}}\left({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}\right)(Edu^{2}-Gdv^{2})+EGdudv\left({\frac {1}{\operatorname {sen} ^{2}w_{1}}}-{\frac {1}{\operatorname {sen} ^{2}w_{2}}}\right)=0.$

Per le superficie minime si ha $w_{1}+w_{2}=0$; dunque:

Per le superficie ad area minima le assintotiche, che formano un sistema ortogonale sulla superficie tali si conservano nelle immagini piane.

§. 20. Ora, seguendo i consigli del prof. Bianchi, applicherò i risultati precedenti alle superficie $W$.

Sia

$ds^{2}=Edu^{2}+Gdv^{2}$

l’elemento lineare di una tal superficie, quando le $u,v$ siano le linee di curvatura; essendo identiche le formule di Codazzi per lo spazio nostro e per lo spazio ellittico, le formule di Weingarten varranno anche qui; cosicchè posto

$E={\frac {1}{\beta ^{2}}}$, $G={\frac {1}{\theta '^{2}(\beta )}}$

con

${\frac {1}{r_{2}}}=\theta (\beta )$, ${\frac {1}{r_{1}}}=\theta (\beta )-\beta \theta '(\beta )$

avremo per l’elemento lineare dell’immagine piana:

$e={\frac {1+\theta ^{2}(\beta )}{\beta ^{2}}}$, $f=\pm 1$, $g={\frac {1+[\theta (\beta )-\beta \theta '(\beta )]^{2}}{\theta '^{2}(\beta )}}$

cioè:

Per una superficie $W$ è $f=cost.$, ed “e„ è funzione di “g„; la determinazione delle superficie $W$ è così ricondotta alla ricerca di tutti i siffatti elementi lineari del piano ellittico o della sfera euclidea.

Viceversa, soddisfatte queste condizioni, si potranno scrivere le formule precedenti; e allora per l’osservazione di Weingarten sono soddisfatte le equazioni di Codazzi, e per un calcolo precedente è soddisfatta l’equazione di Gauss.

Ma noi vorremo esaminare più precisamente questo risultato, e vedremo il fatto notevolissimo che delle due condizioni “$f=cost.$„ ed “$e$ funzione di $g$„, l’una è conseguenza dell’altra quando già si sappia che

$edu^{2}+2fdudv+gdv^{2}$

è l’elemento lineare di una delle immagini di una superficie riferita alle linee di curvatura. Infatti poichè le $u,v$ sono le linee immagini delle linee di curvatura, l’elemento sferico

$edu^{2}+2fdudv+gdv^{2}$

deve rimanere a curvatura $+1$, cambiando il segno di $f$. Ricordando che $f$ è costante, e sottraendo l’una dall’altra le equazioni che esprimono essere uguali a $+1$ le curvature delle forme

$edu^{2}\pm 2fdudv+gdv^{2},$

otteniamo (ponendo per semplicità $f=1$)

${\frac {\partial }{\partial u}}\left({\frac {1}{e{\sqrt {eg-1}}}}{\frac {\partial e}{\partial v}}\right)-{\frac {\partial }{\partial v}}\left({\frac {1}{e{\sqrt {eg-1}}}}{\frac {\partial e}{\partial u}}\right)=0$

cioè:

${\frac {\partial (e{\sqrt {eg-1}})}{\partial u}}{\frac {\partial e}{\partial v}}-{\frac {\partial (e{\sqrt {eg-1}})}{\partial v}}{\frac {\partial e}{\partial u}}=0$

donde

${\frac {\partial (eg)}{\partial u}}{\frac {\partial e}{\partial v}}-{\frac {\partial (eg)}{\partial v}}{\frac {\partial e}{\partial u}}=0$

ossia

${\begin{vmatrix}{\frac {\partial e}{\partial u}}&{\frac {\partial g}{\partial u}}\\{\frac {\partial e}{\partial v}}&{\frac {\partial g}{\partial v}}\end{vmatrix}}=0.$

Dunque il nostro teorema si può enunciare nella forma seguente:

La ricerca delle superficie $W$ dello spazio ellittico si riconduce alla ricerca degli elementi lineari della sfera euclidea per cui $f$ è costante e che restano a curvatura $+1$ mutando il segno di $f$.

Così si spiega l’origine della condizione dei teoremi di Weingarten dello spazio euclideo “che sia e funzione di g„.

Di più noi vediamo:

Condizione necessaria e sufficiente affinchè una superficie sia $W$ è che si possa fare:

${\sqrt {EG}}\left({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}\right)=cost.\neq 0$

Se $f$ è costante non nulla ed $e$ e $g$ sono funzioni tali della $u$ o della $v$, che non mutano valore scambiando “$u$„ in “$-u$„ o “$v$„ in “$-v$„, l’elemento lineare corrisponde all’immagine piana di una superficie $W$.

Infatti scambiando $u$ in $-u$ (oppure $v$ in $-v$) $e$ e $g$ non mutano di valore, mentre $f$ cambia solo di segno; e ci troviamo quindi in presenza di due forme a curvatura $+1$ che differiscono solo per il segno di $f$ costante.

Dobbiamo ora risolvere esplicitamente una questione, già accennata altre volte, di costruire cioè per quadrature una superficie di cui siano date le immagini piane; il processo è affatto differente da quello che si segue nello spazio euclideo, ma ancora più semplice.

Siano $(Y_{1}Y_{2}Y_{3}0)$ e $(Z_{1}Z_{2}Z_{3}0)$ due punti corrispondenti delle due immagini piane sul piano $x_{4}=0$. Scegliendo il piano $x_{4}=0$ come superficie di partenza della corrispondente congruenza normale avremo (§. 4) per un raggio generico di questa congruenza

$x_{1}={\frac {Y_{1}+Z_{1}}{\sqrt {2(1+\Sigma YZ)}}}$, $x_{2}={\frac {Y_{2}+Z_{2}}{\sqrt {2(1+\Sigma YZ)}}}$, $x_{3}={\frac {Y_{3}+Z_{3}}{\sqrt {2(1+\Sigma YZ)}}}$, $x_{4}=0$

$\xi _{1}={\frac {Y_{3}Z_{2}-Y_{2}Z_{3}}{\sqrt {2(1+\Sigma YZ)}}}$, $\xi _{2}={\frac {Y_{1}Z_{3}-Z_{1}Y_{3}}{\sqrt {2(1+\Sigma YZ)}}}$, $\xi _{3}={\frac {Y_{2}Z_{1}+Y_{1}Z_{2}}{\sqrt {2(1+\Sigma YZ)}}}$, $\xi _{4}=-{\sqrt {\frac {1+\Sigma YZ}{2}}}.$

Per essere questa congruenza normale, potremo porre

$dw=-\sum \xi _{i}dx_{i}$

$w=\int {\frac {\begin{vmatrix}d(Y_{1}+Z_{1})&d(Y_{2}+Z_{2})&d(Y_{3}+Z_{3})\\Y_{1}&Y_{2}&Y_{3}\\Z_{1}&Z_{2}&Z_{3}\end{vmatrix}}{2(1+\Sigma YZ)}}$

e per il punto generico $(x)$ di una delle $\infty '$ corrispondenti superficie, avremo allora

$X_{i}=x_{i}\cos w+\xi \operatorname {sen} w$

dove in $w$ entra una costante arbitraria additiva.

Vogliamo ora interpretare questi fatti in metrica euclidea; preso un punto $(x_{i})$ dello spazio ellittico poniamo $x={\frac {x_{1}}{x_{4}}}$, $y={\frac {x_{2}}{x_{4}}}$, $z={\frac {x_{3}}{x_{4}}}$ dove gli assi delle $x$, $y$, $z$ formino un triedro trirettangolo; un punto per cui $x_{4}=0$ rappresenta un punto del piano all’infinito e i valori di $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ danno i coseni di direzione corrispondenti; osserviamo che la metrica sul piano all’infinito essendo relativa alla conica $x^{2}+y^{2}+z^{2}=0$, essa coincide con l’analoga del piano $x_{4}=0$ nello spazio curvo, che è riferita alla conica $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0$. Cosicchè la coppia di elementi $edu^{2}\pm 2fdudv+gdv^{2}$ del piano $x_{4}=0$ corrisponde alla coppia stessa di elementi lineari per la sfera dello spazio piano se per un momento facciamo corrispondere un punto $A$ del piano $x_{4}=0$ a quel punto della sfera che determina la direzione corrispondente nella suddetta proiettività al punto $A$. L’assoluto resta poi mutato nella sfera immaginaria

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+1=0$

cosicchè abbiamo infine:

Data una coppia di elementi sferici $edu^{2}\pm 2fdudvgdv^{2}$ con $f$ costante, le rette parallele al raggio determinato dal punto di mezzo di uno degli archi terminati a una coppia di punti $A$, $A'$ corrispondenti, e passanti per un punto $B$ posto sul diametro normale a quest’arco e distante dal centro della sfera di $\operatorname {tang.} {\frac {\varphi }{2}}$ (dove $\varphi$ sia la distanza dei punti $A$, $A'$) genera una congruenza $W$, i cui piani focali sono antipolari rispetto alla sfera stessa.

§.21. Ritornando allo spazio curvo, daremo alcuni esempii semplici di questi teoremi, che ci condurranno anche a interessanti conseguenze.

Il problema di determinare le sviluppabili dello spazio ellittico è equivalente a quello di determinare i nostri elementi sferici per cui $\theta (\beta )=\beta$ cioè $f=g=1$ cioè gli elementi $edu^{2}+2dudv+dv^{2}$; poniamo $u'=u$, $v'=u+v$; questo elemento diventa l’altro

$(e-1)du'^{2}+dv'^{2}$

cioè quello relativo alle superficie canali dello spazio piano che, come si deduce dalle formule di Weingarten o da quelle di Codazzi hanno costante o la $e$ o la $g$ purchè si scelga opportunamente il parametro del corrispondente linea di curvatura; del resto è cosa nota che tutte le sviluppabili dello spazio ellittico sono conosciute.

Un altro caso ben più interessante è quello, per cui $w_{1}-w_{2}=cost.$, perchè le evolute di una tal superficie sono superficie pseudosferiche complementari; l’angolo delle immagini sferiche delle linee di curvatura dovendo (§. 19) essere costante, il problema della determinazione di tali superficie è identico al problema di determinare gli elementi sferici della forma

$ed\alpha ^{2}+2d\alpha d\beta +{\frac {K}{e}}d\beta ^{2}$

con $K$ costante, ossia della forma

$e^{-2\tau }d\alpha ^{2}+2cos\sigma d\alpha d\beta +e^{2\tau }d\beta ^{2}$

dove $\sigma$ è costante (complemento di $\pm (w_{1}-w_{2})$).

La torsione geodetica di un elemento d’una tal superficie è proporzionale così a ${\frac {d\alpha d\beta }{ds^{2}}}$; di più osserviamo che il nostro risultato si può enunciare:

Per trovare tutti i sistemi di linee che dividono la sfera in $\infty ^{2}$ parallelogrammi infinitesimi equivalenti basta trovare le immagini di Clifford della più generale congruenza normale pseudosferica dello spazio curvo.

Confrontando questi risultati ottenuti su tali elementi lineari sferici con quelli ottenuti dal prof. Bianchi nella sua memoria del T. XVIII degli Annali di matematica (1890) si ottengono alcune conseguenze a mio parere notevoli.

Il prof. Bianchi vi dimostra che ogni elemento sferico

α)	$ds^{2}=H_{1}^{2}du^{2}+H_{2}^{2}dv$

con

β)	$\operatorname {tg} {\frac {\sigma }{2}}{\frac {\partial }{\partial v}}\left({\frac {1}{H_{1}}}{\frac {\partial H_{2}}{\partial v}}\right)=\operatorname {cotg} {\frac {\sigma }{2}}{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\frac {1}{H_{2}}}{\frac {\partial H_{1}}{\partial v}}\right)$

dove $\sigma$ sia costante è l’elemento lineare della immagine sferica di una congruenza pseudosferica euclidea riferita alle linee corrispondenti alle assintotiche delle falde focali; e che posto

$\tau =\int \left(\operatorname {tg} {\frac {\sigma }{2}}{\frac {1}{H_{2}}}{\frac {\partial H_{1}}{\partial v}}du+\operatorname {cotg} {\frac {\sigma }{2}}{\frac {1}{H_{1}}}{\frac {\partial H_{2}}{\partial u}}dv\right)$

si può porre

γ)

$\left\lbrace {\begin{array}{c}e^{\tau }\left(H_{1}\operatorname {sen} {\frac {\sigma }{2}}du+H_{2}\cos {\frac {\sigma }{2}}dv\right)=\operatorname {sen} \sigma d\alpha \\e^{-\tau }\left(H_{1}\operatorname {sen} {\frac {\sigma }{2}}du-H_{2}\cos {\frac {\sigma }{2}}dv\right)=\operatorname {sen} \sigma d\beta \end{array}}\right.$

cioè

δ)	$\left\lbrace {\begin{array}{c}H_{1}du=\cos {\frac {\sigma }{2}}\left(e^{-\tau }d\alpha +e^{\tau }d\beta \right)\\H_{2}dv=\operatorname {sen} {\frac {\sigma }{2}}\left(e^{-\tau }d\alpha -e^{\tau }d\beta \right)\end{array}}\right.$

cosicchè l’elemento (α) si può anche scrivere

ε)	$ds^{2}=e^{-2\tau }d\alpha ^{2}+2\cos \sigma d\alpha d\beta +e^{2\tau }d\beta ^{2}$

dove le $\alpha =cost.$ $\beta =cost.$ sono le traiettorie ortogonali delle immagini piane delle sviluppabili della congruenza; e che viceversa ogni elemento (ε) si può porre sotto la forma (α), dove sussista (β). Di più detti $2\theta$, $2\omega$ gli angoli tra le assintotiche sulle due falde focali della suddetta congruenza pseudosferica, si ha che:

ζ)	$H_{1}={\frac {\cos(\theta +\omega )}{\cos {\frac {\sigma }{2}}}}$, $H_{2}={\frac {\cos(\theta -\omega )}{\operatorname {sen} {\frac {\sigma }{2}}}}$

dove

η)	${\frac {\partial (\theta -\omega )}{\partial u}}=\operatorname {tg} {\frac {\sigma }{2}}\cos(\theta +\omega )$, ${\frac {\partial (\theta +\omega )}{\partial v}}=-\operatorname {cotg} {\frac {\sigma }{2}}\cos(\theta -\omega )$.

Ora noi abbiamo fatto l’osservazione che quando il coefficiente di $dudv$ è costante, e il coefficiente di $du^{2}$ è funzione del coefficiente di $dv^{2}$, l’elemento lineare resta sferico mutando il segno di $f$.

E ci proponiamo così la questione seguente:

Qual relazione geometrica passa tra le due congruenze $W$ determinate secondo il metodo del prof. Bianchi partendo dall’elemento (ε) e dall’elemento

ε')	$e^{-2\tau }d\alpha ^{2}-2\cos \sigma d\alpha d\beta +e^{2\tau }d\beta ^{2}$

che se ne deduce mutando il segno di $\cos \sigma$?

L’elemento (ε') si deduce da (ε) mutando $\sigma$ in $\pi -\sigma$; cosicchè l’elemento (α') che si deduce da (ε') come (α) da (ε) sarà

α')	$ds^{2}=Edu'^{2}+Gdv'^{2}$

e avranno luogo le relazioni:

δ')	$\left\lbrace {\begin{array}{c}{\sqrt {E}}du'=\operatorname {sen} {\frac {\sigma }{2}}(e^{-\tau }d\alpha +e^{\tau }d\beta )\\{\sqrt {G}}dv'=\cos {\frac {\sigma }{2}}(e^{-\tau }d\alpha -e^{\tau }d\beta )\end{array}}\right.$

ζ')	${\sqrt {E}}={\frac {\cos(\theta _{1}+\omega _{1})}{\operatorname {sen} {\frac {\sigma }{2}}}}$, ${\sqrt {G}}={\frac {\cos(\theta _{1}-\omega _{1})}{\cos {\frac {\sigma }{2}}}}$

dove gli angoli $\theta _{1}$ $\omega _{1}$ soddisfanno alle

η')	${\frac {\partial (\theta _{1}+\omega _{1})}{\partial v'}}=-\operatorname {tg} {\frac {\sigma }{2}}\cos(\theta _{1}-\omega _{1})$, ${\frac {\partial (\theta _{1}-\omega _{1})}{\partial u'}}=\operatorname {cotg} {\frac {\sigma }{2}}\cos(\theta _{1}+\omega _{1})$.

Le (δ)' confrontate con le (δ) ci dicono che $u'$ è funzione della sola $u$ e $v'$ della sola $v$; confrontando i valori di

$e^{-\tau }d\alpha \pm e^{\tau }d\beta$

ricavati dalle (δ), (δ') e ricordando le (ζ), (ζ') si ottiene

θ)

$\left\lbrace {\begin{array}{c}\operatorname {cotg} {\frac {\sigma }{2}}\cos(\theta _{1}+\omega _{1})du'=\operatorname {tg} {\frac {\sigma }{2}}\cos(\theta +\omega )du'\\\operatorname {tg} {\frac {\sigma }{2}}\cos(\theta _{1}-\omega _{1})dv'=\operatorname {cotg} {\frac {\sigma }{2}}\cos(\theta -\omega )dv.\end{array}}\right.$

Nei secondi membri di (η)' portiamo i valori dati dalle (θ) e quindi poniamo per $\operatorname {tg} {\frac {\sigma }{2}}\cos(\theta +\omega )$ e per $\operatorname {cotg} {\frac {\sigma }{2}}\cos(\theta -\omega )$ i valori ricavati dalle (η). Otterremo

χ)

$\left\lbrace {\begin{array}{c}{\frac {\partial (\theta _{1}+\omega _{1})}{\partial v'}}={\frac {\partial (\theta +\omega )}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial v'}}\\{\frac {\partial (\theta _{1}-\omega _{1})}{\partial u'}}={\frac {\partial (\theta -\omega )}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial u'}}.\end{array}}\right.$

È quindi naturale porre

$\theta _{1}(u',v')=\theta (u,v)$; $\omega _{1}(u',v')=\omega (u,v)$

che per le (θ) danno

λ)	$u'=u\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\sigma }{2}}$, $v'=v\operatorname {cotg} ^{2}{\frac {\sigma }{2}}$

e quindi

μ)

$\left\lbrace {\begin{array}{c}\theta _{1}(u',v')=\theta (u,v)=\theta \left(u'\operatorname {cotg} ^{2}{\frac {\sigma }{2}},v'\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\sigma }{2}}\right)\\\omega _{1}(u',v')=\omega (u,v)=\omega \left(u'\operatorname {cotg} ^{2}{\frac {\sigma }{2}},v'\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\sigma }{2}}\right).\end{array}}\right.$

E del resto si verifica subito che questi valori di $\theta _{1}$ e di $\omega _{1}$, soddisfanno alle (η') e allora per i teoremi del prof. Bianchi e per le (ζ') si ha l’elemento sferico (α') che si deduce da (ε') nel modo stesso che (ε) da (α).

Le (μ) danno appunto il seguente teorema:

Le immagini di Clifford di una congruenza normale pseudosferica dello spazio curvo riferita alle sviluppabili ammettono come elementi lineari gli elementi lineari delle immagini sferiche di due congruenze pseudosferiche dello spazio piano, riferite alle traiettorie ortogonali delle sviluppabili (che quindi si corrispondono sulle due congruenze); le falde focali di una delle due congruenze sono trasformate di Lie delle falde focali dell’altra; e la trasformazione di Lie per cui si passa dalle une alle altre è subito determinata appena sia data una delle due congruenze.

Così la geometria dello spazio ellittico dà una interpretazione geometrica di una qualunque trasformazione di Lie applicata a una superficie pseudosferica, quando questa si immagini come falda focale di una opportuna congruenza pseudosferica. E la più generale trasformazione di Bäcklund per lo spazio piano si ottiene così dalla sola trasformazione complementare dello spazio ellittico, mentre la trasformazione di Lie nasce di per sè stessa per il fatto del doppio senso del parallelismo. E, con un linguaggio meno corretto, noi vediamo sdoppiarsi la trasformazione di Bäcklund in una trasformazione complementare e in trasformazioni di Lie.

Notiamo ancora che da una congruenza pseudosferica dello spazio piano si ha tosto un elemento lineare sferico

$e^{-2\tau }du^{2}+2\cos \sigma dudv+e^{2\tau }dv^{2}.$

La sola risoluzione di un’equazione di Riccati basta per determinare l’elemento associato

$e^{-2\tau }du^{2}-2\cos \sigma dudv+e^{2\tau }dv^{2}.$

e quindi la più generale congruenza normale pseudosferica dello spazio curvo. Quindi:

Nota una congruenza pseudosferica dello spazio piano si hanno con la sola risoluzione di un’equazione di Riccati due superficie pseudosferiche complementari dello spazio curvo e un’altra congruenza pseudosferica dello spazio piano.

Viceversa sia data una superficie $S$ dello spazio ellittico per cui $w_{2}-w_{1}=cost$, cioè una congruenza normale pseudosferica e si conoscano le linee bisettrici delle immagini piane delle sviluppabili. Si avrà allora un sistema ortogonale di linee tale che il doppio sistema delle sue traiettorie isogonali sotto un certo angolo dividono la sfera in parallelogrammi infinitesimi equivalenti. Con quadrature si ottiene (Bianchi loc. cit., §. 33) un sistema ciclico ortogonale alla sfera tale che gli assi dei suoi circoli formano una congruenza di Ribaucour a generatrice pseudosferica; donde si deduce una superficie pseudosferica e una sua deformazione infinitamente piccola e quindi una congruenza pseudosferica.

Così da una congruenza pseudosferica normale dello spazio curvo, cioè da una superficie dello spazio curvo, per cui sia

$w_{1}-w_{2}=cost.$

si deducono due congruenze pseudosferiche dello spazio euclideo e quindi una tetrade di superficie pseudosferiche dello spazio stesso, appena si conoscano le linee bisettrici delle immagini piane delle sviluppabili.

§. 22. Il quadro delle formule del §. 15 ci dà infine un’altra conseguenza.

Sia

$ds^{2}=H_{1}^{2}d\rho _{1}^{2}+H_{2}^{2}d\rho _{2}^{2}+H_{3}^{2}d\rho _{3}^{2}$

l’elemento lineare dello spazio curvo riferito a un sistema triplo ortogonale e indichiamo con $(X_{1},X_{2},X_{3})$ $(Y_{1}Y_{2}Y_{3})$ $(Z_{1}Z_{2}Z_{3})$ i parametri di scorrimento delle normali rispettivamente alle $\rho _{1}-cost.$, alle $\rho _{2}-cost.$, alle $\rho _{3}-cost.$ Avremo subito per il quadro di formule suddetto

$\left.{\begin{array}{l}{\frac {\partial X_{k}}{\partial \rho _{k}}}=-{\frac {1}{H_{i}}}{\frac {\partial H_{k}}{\partial \rho _{i}}}X_{i}-{\frac {1}{H_{k}}}{\frac {\partial H_{k}}{\partial \rho _{l}}}X_{i}\\{\frac {\partial X_{k}}{\partial \rho _{i}}}={\frac {1}{H_{k}}}{\frac {\partial H_{i}}{\partial \rho _{k}}}X_{i}\pm H_{i}X_{l}\\{\frac {\partial X_{k}}{\partial \rho _{l}}}={\frac {1}{H_{k}}}{\frac {\partial H_{l}}{\partial \rho _{k}}}X_{l}\mp H_{l}X_{i}\end{array}}\right\rbrace (i\neq k\neq l).$

In queste formule, da cui si dedurrebbero subito le relazioni che legano $H_{1}$ $H_{2}$, $H_{3}$ il doppio segno è da attribuirsi al doppio senso del parallelismo; e fissato questo si ricordi che si prenderanno i segni superiori o i segni inferiori a seconda che $(ikl)$ è una permutazione pari o dispari (dispari o pari).

Poichè risulta così $H_{i}^{2}=\left(\sum x_{i}{\frac {\partial X_{k}}{\partial \rho _{i}}}\right)^{2}$ ecc. si ha:

Due sistemi tripli ortogonali corrispondentesi punto a punto con parallelismo in un verso del triedro fondamentale sono uguali tra loro.