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| Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici | 63 |
Viceversa sia data una superficie Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikisource.org/v1/":): {\displaystyle S} dello spazio ellittico per cui Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikisource.org/v1/":): {\displaystyle w_2 - w_1 = cost} , cioè una congruenza normale pseudosferica e si conoscano le linee bisettrici delle immagini piane delle sviluppabili. Si avrà allora un sistema ortogonale di linee tale che il doppio sistema delle sue traiettorie isogonali sotto un certo angolo dividono la sfera in parallelogrammi infinitesimi equivalenti. Con quadrature si ottiene (Bianchi loc. cit., §. 33) un sistema ciclico ortogonale alla sfera tale che gli assi dei suoi circoli formano una congruenza di Ribaucour a generatrice pseudosferica; donde si deduce una superficie pseudosferica e una sua deformazione infinitamente piccola e quindi una congruenza pseudosferica.
Così da una congruenza pseudosferica normale dello spazio curvo, cioè da una superficie dello spazio curvo, per cui sia
Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikisource.org/v1/":): {\displaystyle w_1 - w_2 = cost.}
si deducono due congruenze pseudosferiche dello spazio euclideo e quindi una tetrade di superficie pseudosferiche dello spazio stesso, appena si conoscano le linee bisettrici delle immagini piane delle sviluppabili.
§. 22. Il quadro delle formule del §. 15 ci dà infine un’altra conseguenza.
Sia
Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikisource.org/v1/":): {\displaystyle ds^2 = H_1^2 d\rho_1^2 + H_2^2 d\rho_2^2 + H_3^2 d\rho_3^2}
l’elemento lineare dello spazio curvo riferito a un sistema triplo ortogonale e indichiamo con Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikisource.org/v1/":): {\displaystyle (X_1,X_2,X_3)} Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikisource.org/v1/":): {\displaystyle (Y_1 Y_2 Y_3)} Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikisource.org/v1/":): {\displaystyle (Z_1 Z_2 Z_3)} i parametri di scorrimento delle normali rispettivamente alle Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikisource.org/v1/":): {\displaystyle \rho_1-cost.} , alle Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikisource.org/v1/":): {\displaystyle \rho_2-cost.} , alle Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikisource.org/v1/":): {\displaystyle \rho_3-cost.} Avremo subito per il quadro di formule suddetto
Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikisource.org/v1/":): {\displaystyle \left. \begin{array}{l} \frac{\partial X_k}{\partial \rho_k} = -\frac{1}{H_i} \frac{\partial H_k}{\partial \rho_i} X_i -\frac{1}{H_k} \frac{\partial H_k}{\partial \rho_l} X_i \\ \frac{\partial X_k}{\partial \rho_i} = \frac{1}{H_k} \frac{\partial H_i}{\partial \rho_k} X_i \pm H_i X_l \\ \frac{\partial X_k}{\partial \rho_l} = \frac{1}{H_k} \frac{\partial H_l}{\partial \rho_k} X_l \mp H_l X_i \end{array} \right\rbrace (i \neq k \neq l).}
