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| 50 | G. Fubini |
Sostituendo poi a , i valori dati dalle formule di Codazzi si ottiene un’identità in , .
Tolti i termini così dimostrati nulli, per far vedere che la curvatura dell’elemento è , basta far vedere che:
![{\displaystyle 1={\frac {-1}{2{\sqrt {EG}}\left(1+{\frac {1}{r_{1}r_{2}}}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial u}}\left[{\frac {1}{{\sqrt {EG}}\left(1+{\frac {1}{r_{1}r_{2}}}\right)}}{\frac {\partial \left[G\left(1+{\frac {1}{r_{1}^{2}}}\right)\right]}{\partial u}}\right]\right.+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31c58bf1d39ee6a1dbcb26279059c85be1dc19fc)
![{\displaystyle \left.+{\frac {\partial }{\partial v}}\left[{\frac {1}{{\sqrt {EG}}\left(1+{\frac {1}{r_{1}r_{2}}}\right)}}{\frac {\partial \left[E\left(1+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}\right)\right]}{\partial v}}\right]\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45b374aa5b7f6ecadd70671fb43190b151762388)
Sostituendo a , i valori ricavati dalle equazioni di Codazzi, l’equazione precedente diventa l’equazione di Gauss
L’avere qui 2 equazioni in luogo di 3 (2 di Codazzi e 1 di Gauss) è dovuto all’essere sottintesa la che esprime essere equivalenti parti corrispondenti delle due immagini.
§. 18. L’angolo che due elementi corrispondenti (su due superficie polari) , formano tra di loro è subito misurato quando si pensi (§.2) che la direzione coniugata di in è appunto la retta duale di ed è quindi parallela ad nei due sensi; quindi gli angoli di con sono uguali o supplementari a quelli di con .
Se è tangente a una linea di curvatura per , essa è normale a in ambedue in sensi (e quindi incontra ). Ora noi vogliamo studiare ciò che avviene per l’angolo di elementi corrispondenti su una superficie e sulla immagine piana (costruita in un
