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G. Fubini

I parametri di scorrimento della retta unente il punto $(u,v)$ della superficie al punto $(u+du,v+dv)$ sono

${\sqrt {E}}{\frac {du}{ds}}X_{1}+{\sqrt {G}}{\frac {dv}{ds}}X_{2}.$

Si ha con le nuove notazioni

$\cos \varphi ={\frac {1}{dsd\sigma }}{\begin{vmatrix}dX_{3}&X_{3}&{\sqrt {E}}duX_{1}+{\sqrt {G}}dvX_{2}\\dY_{3}&Y_{3}&{\sqrt {E}}duY_{1}+{\sqrt {G}}dvY_{2}\\dZ_{3}&Z_{3}&{\sqrt {E}}duZ_{1}+{\sqrt {G}}dvZ_{2}\end{vmatrix}}.$

Si sdoppi in due determinanti il secondo membro, sostituendo poi a $dX_{3}$, $dY_{3}$, $dZ_{3}$ i loro valori; otterremo

$\cos \varphi ={\frac {1}{dsd\sigma }}\left\{{\sqrt {E}}du\left(\pm {\sqrt {E}}du-{\frac {D''}{\sqrt {G}}}dv\right){\begin{vmatrix}X_{2}&X_{3}&X_{1}\\Y_{2}&Y_{3}&Y_{1}\\Z_{2}&Z_{3}&Z_{1}\end{vmatrix}}+\right.$

$+\left.{\sqrt {G}}dv\left(-{\frac {D}{\sqrt {E}}}du\mp {\sqrt {G}}dv\right){\begin{vmatrix}X_{1}&X_{3}&X_{2}\\Y_{1}&Y_{3}&Y_{2}\\Z_{1}&Z_{3}&Z_{2}\end{vmatrix}}+\right\}.$

Questi due determinanti sono uguali uno a $+1$, l’altro a $-1$; dunque

$\cos \varphi =\pm {\frac {1}{dsd\sigma }}\left(Edu^{2}\pm {\sqrt {EG}}\left({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}\right)dudv+Gdv^{2}\right).$

Dalle formule che danno $\cos \varphi$, $\operatorname {sen} \varphi$ (che immediatamente si riconoscono equivalenti) abbiamo:

Le assintotiche sono caratterizzate da ciò che la tangente in un punto è parallela alla tangente nel punto corrispondente alla curva immagine.

Le linee di curvatura sono caratterizzate dal venir spostate di angoli uguali nelle due immagini piane.

Per le assintotiche essendo dunque $\cos \varphi =1$, si vede che queste proprietà sono affatto differenti dalle analoghe per lo spazio euclideo.