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G. Fubini

Così si spiega l’origine della condizione dei teoremi di Weingarten dello spazio euclideo “che sia e funzione di g„.

Di più noi vediamo:

Condizione necessaria e sufficiente affinchè una superficie sia $W$ è che si possa fare:

${\sqrt {EG}}\left({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}\right)=cost.\neq 0$

Se $f$ è costante non nulla ed $e$ e $g$ sono funzioni tali della $u$ o della $v$, che non mutano valore scambiando “$u$„ in “$-u$„ o “$v$„ in “$-v$„, l’elemento lineare corrisponde all’immagine piana di una superficie $W$.

Infatti scambiando $u$ in $-u$ (oppure $v$ in $-v$) $e$ e $g$ non mutano di valore, mentre $f$ cambia solo di segno; e ci troviamo quindi in presenza di due forme a curvatura $+1$ che differiscono solo per il segno di $f$ costante.

Dobbiamo ora risolvere esplicitamente una questione, già accennata altre volte, di costruire cioè per quadrature una superficie di cui siano date le immagini piane; il processo è affatto differente da quello che si segue nello spazio euclideo, ma ancora più semplice.

Siano $(Y_{1}Y_{2}Y_{3}0)$ e $(Z_{1}Z_{2}Z_{3}0)$ due punti corrispondenti delle due immagini piane sul piano $x_{4}=0$. Scegliendo il piano $x_{4}=0$ come superficie di partenza della corrispondente congruenza normale avremo (§. 4) per un raggio generico di questa congruenza

$x_{1}={\frac {Y_{1}+Z_{1}}{\sqrt {2(1+\Sigma YZ)}}}$, $x_{2}={\frac {Y_{2}+Z_{2}}{\sqrt {2(1+\Sigma YZ)}}}$, $x_{3}={\frac {Y_{3}+Z_{3}}{\sqrt {2(1+\Sigma YZ)}}}$, $x_{4}=0$

$\xi _{1}={\frac {Y_{3}Z_{2}-Y_{2}Z_{3}}{\sqrt {2(1+\Sigma YZ)}}}$, $\xi _{2}={\frac {Y_{1}Z_{3}-Z_{1}Y_{3}}{\sqrt {2(1+\Sigma YZ)}}}$, $\xi _{3}={\frac {Y_{2}Z_{1}+Y_{1}Z_{2}}{\sqrt {2(1+\Sigma YZ)}}}$, $\xi _{4}=-{\sqrt {\frac {1+\Sigma YZ}{2}}}.$

Per essere questa congruenza normale, potremo porre

$dw=-\sum \xi _{i}dx_{i}$

$w=\int {\frac {\begin{vmatrix}d(Y_{1}+Z_{1})&d(Y_{2}+Z_{2})&d(Y_{3}+Z_{3})\\Y_{1}&Y_{2}&Y_{3}\\Z_{1}&Z_{2}&Z_{3}\end{vmatrix}}{2(1+\Sigma YZ)}}$