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54 G. Fubini


cioè da

Per le superficie minime si ha ; dunque:

Per le superficie ad area minima le assintotiche, che formano un sistema ortogonale sulla superficie tali si conservano nelle immagini piane.


§. 20. Ora, seguendo i consigli del prof. Bianchi, applicherò i risultati precedenti alle superficie .

Sia

l’elemento lineare di una tal superficie, quando le siano le linee di curvatura; essendo identiche le formule di Codazzi per lo spazio nostro e per lo spazio ellittico, le formule di Weingarten varranno anche qui; cosicchè posto

,

con

,

avremo per l’elemento lineare dell’immagine piana:

, ,

cioè:

Per una superficie è , ed “e„ è funzione di “g„; la determinazione delle superficie è così ricondotta alla ricerca di tutti i siffatti elementi lineari del piano ellittico o della sfera euclidea.

Viceversa, soddisfatte queste condizioni, si potranno scrivere le formule precedenti; e allora per l’osservazione di Weingarten sono soddisfatte le equazioni di Codazzi, e per un calcolo precedente è soddisfatta l’equazione di Gauss.