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G. Fubini

cioè da

$\pm {\sqrt {EG}}\left({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}\right)(Edu^{2}-Gdv^{2})+EGdudv\left({\frac {1}{\operatorname {sen} ^{2}w_{1}}}-{\frac {1}{\operatorname {sen} ^{2}w_{2}}}\right)=0.$

Per le superficie minime si ha $w_{1}+w_{2}=0$; dunque:

Per le superficie ad area minima le assintotiche, che formano un sistema ortogonale sulla superficie tali si conservano nelle immagini piane.

§. 20. Ora, seguendo i consigli del prof. Bianchi, applicherò i risultati precedenti alle superficie $W$.

Sia

$ds^{2}=Edu^{2}+Gdv^{2}$

l’elemento lineare di una tal superficie, quando le $u,v$ siano le linee di curvatura; essendo identiche le formule di Codazzi per lo spazio nostro e per lo spazio ellittico, le formule di Weingarten varranno anche qui; cosicchè posto

$E={\frac {1}{\beta ^{2}}}$, $G={\frac {1}{\theta '^{2}(\beta )}}$

con

${\frac {1}{r_{2}}}=\theta (\beta )$, ${\frac {1}{r_{1}}}=\theta (\beta )-\beta \theta '(\beta )$

avremo per l’elemento lineare dell’immagine piana:

$e={\frac {1+\theta ^{2}(\beta )}{\beta ^{2}}}$, $f=\pm 1$, $g={\frac {1+[\theta (\beta )-\beta \theta '(\beta )]^{2}}{\theta '^{2}(\beta )}}$

cioè:

Per una superficie $W$ è $f=cost.$, ed “e„ è funzione di “g„; la determinazione delle superficie $W$ è così ricondotta alla ricerca di tutti i siffatti elementi lineari del piano ellittico o della sfera euclidea.

Viceversa, soddisfatte queste condizioni, si potranno scrivere le formule precedenti; e allora per l’osservazione di Weingarten sono soddisfatte le equazioni di Codazzi, e per un calcolo precedente è soddisfatta l’equazione di Gauss.