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G. Fubini

In queste formule, da cui si dedurrebbero subito le relazioni che legano $H_{1}$ $H_{2}$, $H_{3}$ il doppio segno è da attribuirsi al doppio senso del parallelismo; e fissato questo si ricordi che si prenderanno i segni superiori o i segni inferiori a seconda che $(ikl)$ è una permutazione pari o dispari (dispari o pari).

Poichè risulta così $H_{i}^{2}=\left(\sum x_{i}{\frac {\partial X_{k}}{\partial \rho _{i}}}\right)^{2}$ ecc. si ha:

Due sistemi tripli ortogonali corrispondentesi punto a punto con parallelismo in un verso del triedro fondamentale sono uguali tra loro.

Sulla rappresentazione Riemanniana di rette parallele e sulle superficie isocicliche.

23. Le formule che danno la trasformazione da coordinate di Riemann a coordinate di Weierstrass sono le seguenti:

$x_{1}={\frac {{\frac {1}{4}}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{{\frac {1}{4}}+(x^{2}+y^{2}+z^{2})}}$; $x_{2}={\frac {x}{{\frac {1}{4}}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$; $x_{3}={\frac {y}{{\frac {1}{4}}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$; $x_{4}={\frac {z}{{\frac {1}{4}}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$.

Un piano generico è rappresentato dalla sfera dello spazio euclideo

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z={\frac {1}{4}}$

con $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$ costanti arbitrarie; e tutte queste sfere tagliano secondo un circolo massimo la sfera

$x^{2}+y^{2}+z^{2}={\frac {1}{4}}.$

Un sistema di generatrici della sfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}+{\frac {1}{4}}=0$ è dato da

α)	$\left\lbrace {\begin{array}{l}x+{\frac {i}{2}}+\lambda (y-iz)=0\\y+iz-\lambda \left(x-{\frac {i}{2}}\right)=0.\end{array}}\right.$