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G. Fubini

cosicchè si ha in fine (poichè $A\neq 0$)

$-{\frac {\partial A}{\partial u}}{\frac {\partial A}{\partial v}}+2A^{2}\left[{\begin{Bmatrix}11\\1\end{Bmatrix}}{\frac {\partial A}{\partial v}}+{\begin{Bmatrix}11\\2\end{Bmatrix}}\right]{\frac {\partial C}{\partial u}}=0$

e poichè

$AC-B^{2}\neq 0$, $A\neq 0$

si ha

${\begin{Bmatrix}12\\2\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}11\\2\end{Bmatrix}}=0.$

Se ${\begin{Bmatrix}11\\2\end{Bmatrix}}=0$ le $v=cost.$ sono geodetiche e la congr. è normale; se ${\begin{Bmatrix}12\\2\end{Bmatrix}}=0$ sarà per la superficie duale ${\begin{Bmatrix}22\\1\end{Bmatrix}}=0$ e la congruenza duale è normale.

Basta adunque far vedere che, come si ammise, le linee d’ugual lunghezza in una tale corrispondenza d’una sfera euclidea in sè stessa sono reali (nel qual caso si ha certo, come si suppose, $A\neq 0$); infatti supposti i due elementi lineari riferiti al sistema reale ortogonale comune, essi assumono la forma ${\bar {E}}du^{2}+{\bar {G}}dv$, ${\bar {E}}'du^{2}+{\bar {G}}'dv$; e le linee in discorso sono date da

$({\bar {E}}-{\bar {E}}')du^{2}+({\bar {G}}-{\bar {G}}')dv^{2}=0.$

Poichè ${\bar {E}}{\bar {G}}={\bar {E}}'{\bar {G}}'$ non possono le differenze ${\bar {E}}-{\bar {E}}'$, ${\bar {G}}-{\bar {G}}'$ avere lo stesso segno, essendo ${\bar {E}}$, ${\bar {G}}$, ${\bar {E}}'$, ${\bar {G}}'$ positive; quindi queste linee sono certo reali. Questa dimostrazione della realità di tali linee mi fu gentilmente comunicata dal prof. Bianchi.

§. 17. Noi abbiamo dato in generale le condizioni cui devono soddisfare le forme del Fibbi perchè corrispondano realmente a una congruenza; non sarà quindi inopportuno il verificarle per la congruenza delle normali a una superficie, almeno quando per le $u=cost.$, e le $v=cost.$ si siano scelte le linee di curvatura. Esprimiamo infatti che il complesso dei termini che compaiono nell’espressione