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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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segno variabile. In quest’ultimo caso la congruenza è a sviluppabili indeterminate, cioè è formata dalle rette normali a un piano; nell’altro caso è $F+F'=0$; siano ora

$ds^{2}=Adu^{2}+2Bdudv+Cdv^{2}$, $Ddu^{2}+2D'dudv+D''dv^{2}$

le forme fondamentali di una delle falde focali della congruenza luogo del fuoco $(x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})$ e siano $\xi _{i}={\frac {1}{\sqrt {A}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial u}}$ i coseni di direzione del raggio per $x_{i}$; sarà $E=F=0$; e affinchè $F+F'=0$ dovrà essere

$F'=\sum {\frac {\partial \xi }{\partial u}}{\frac {\partial \xi }{\partial v}}-\left(\sum x{\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\left(\sum x{\frac {\partial \xi }{\partial v}}\right)=$

$=\sum {\frac {\partial }{\partial u}}\left[{\frac {1}{\sqrt {A}}}{\frac {\partial x}{\partial u}}\right]{\frac {\partial }{\partial v}}\left[{\frac {1}{\sqrt {A}}}{\frac {\partial x}{\partial u}}\right]-\left(\sum \xi {\frac {\partial x}{\partial u}}\right)\left(\sum \xi {\frac {\partial x}{\partial v}}\right)=0.$

Ora è

$\left(\sum \xi {\frac {\partial x}{\partial u}}\right)={\sqrt {A}}$; $\left(\sum \xi {\frac {\partial x}{\partial v}}\right)={\frac {B}{\sqrt {A}}}$; $\left(\sum \xi {\frac {\partial x}{\partial u}}\right)\left(\sum \xi {\frac {\partial x}{\partial v}}\right)=B$.

E così si ha:

${\frac {1}{4A^{2}}}{\frac {\partial A}{\partial u}}{\frac {\partial A}{\partial v}}+{\frac {1}{A}}\sum {\frac {\partial ^{2}x}{\partial u^{2}}}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial u\partial v}}-B=0.$

Ricordando che $D'=0$ si ha, detti $(X_{1}X_{2}X_{3}X_{4})$ i coseni di direzione della normale alla superficie, che:

${\frac {\partial ^{2}x}{\partial u^{2}}}={\begin{Bmatrix}11\\1\end{Bmatrix}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\begin{Bmatrix}11\\2\end{Bmatrix}}{\frac {\partial x}{\partial v}}-Ax+DX$

dove i simboli di Christoffel sono riferiti alla forma

$Adu^{2}+2Bdudv+Cdv^{2}.$

Si ricava:

$\sum {\frac {\partial ^{2}x}{\partial u^{2}}}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial u\partial v}}={\frac {1}{2}}{\begin{Bmatrix}11\\1\end{Bmatrix}}{\frac {\partial A}{\partial v}}+{\frac {1}{2}}{\begin{Bmatrix}11\\2\end{Bmatrix}}{\frac {\partial C}{\partial u}}+AB$