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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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in $D_{1}D'$. Così sarà in primo luogo

${\frac {\cos \varphi }{\sqrt {E}}}{\frac {\partial {\sqrt {G}}}{\partial u}}=0.$

Per $\varphi ={\frac {\pi }{2}}$ si riconosce subito che $K=0$ e si hanno le normali a una superficie di curvatura nulla; per $\cos \varphi \neq 0$, deve essere $G$ funzione solo di $v$; dovendo poi esser nullo anche il coefficiente di $D'$, sarà ${\frac {\partial \varphi }{\partial u}}=0$. Analogamente otteniamo infine

${\frac {\partial \log \cos \varphi }{\partial v}}={\frac {\partial \log {\sqrt {E}}}{\partial v}}$

${\frac {\cos \varphi }{\sqrt {G}}}{\frac {\partial {\sqrt {E}}}{\partial v}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}-\operatorname {sen} \varphi K{\sqrt {EG}}\pm {\sqrt {EG}}\left({\frac {\cos \varphi }{\sqrt {EG}}}{\frac {\partial {\sqrt {E}}}{\partial v}}-{\frac {\operatorname {sen} \varphi }{\sqrt {G}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right)=0.$

Se $\varphi$ è costante (che però noi supporremo sempre non nulla) si può fare $E=G=1$ e si ottengono le rette inclinate d’un angolo costante su una superficie $\Sigma$ a curvatura nulla e normali nel punto comune con $\Sigma$ alla geodetica di un sistema (di $\infty '$ geodetiche parallele) che passa per il punto stesso.

Se $\varphi$ non è costante, si pone $\varphi =v$, $E=\cos ^{2}\varphi =\cos ^{2}v$ e l’ultima equazione diventa successivamente:

${\frac {\operatorname {sen} v\cos v}{\sqrt {G}}}+\operatorname {sen} v{\frac {\partial }{\partial v}}\left({\frac {\operatorname {sen} v}{\sqrt {G}}}\right)\pm 2\operatorname {sen} v\cos v=0$

${\frac {\partial }{\partial v}}\left({\frac {\operatorname {sen} v}{\sqrt {G}}}\right)+\operatorname {cotg} v\left({\frac {\operatorname {sen} v}{\sqrt {G}}}\right)\pm 2\cos v=0.$

Da cui

$\left({\frac {\operatorname {sen} v}{\sqrt {G}}}\right)=\pm {\frac {1}{\operatorname {sen} v}}\left(2\int \operatorname {sen} v\cos vdv+C\right)$

${\sqrt {G}}=\pm {\frac {2\operatorname {sen} ^{2}v}{\cos 2v+C}},$

dove $C$ è una costante.