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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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§. 19. Notiamo che

$eg-f^{2}=EG\left(1+{\frac {1}{r_{1}r_{2}}}\right)^{2}.$

Dunque

Il rapporto delle aree dei due elementi infinitesimi corrispondenti sul piano immagine e sulla superficie (intomi dei punti $A'$, $A$ corrispondenti), è uguale alla curvatura della forma quadratica dante l’elemento lineare della superficie nel punto $A$, cioè alla curvatura assoluta della superficie.

Invece la curvatura relativa è data dal rapporto di elementi infinitesimi di due superficie duali.

Come si vede avviene un fatto analogo a quello che si presenta per la torsione delle curve; ciò che unito ai fatti enumerati in questi paragrafi, dà luogo all’osservazione che le proprietà della parallele dello spazio euclideo sembrano in molti casi sdoppiarsi in due classi, l’una di proprietà che si conservano nello spazio iperbolico, l’altra di proprietà che si conservano nello spazio ellittico. Si osservi ora che:

L’angolo delle linee immagini delle linee di curvatura è dato dal complemento di $\pm (w_{1}-w_{2})$ a seconda del senso del parallelismo.

Notiamo ancora esplicitamente un risultato altrove accennato:

Per le superficie a curvatura nulla e per esse sole l’immagine piana è degenere. La prima parte di questo teorema si poteva prevedere, notando che le assintotiche di una tal superficie sono a torsione $\pm 1$.

Così, come la media dei quadrati delle torsioni delle assintotiche in $A$ è uguale alla curvatura relativa della superficie in $A$, così la media dei quadrati delle torsioni di Clifford è uguale alla curvatura assoluta.

I sistemi ortogonali della superficie che tali si conservano nell’immagine piana sono dati da

${\begin{vmatrix}Edu&Gdv\\{\frac {E}{\operatorname {sen} ^{2}w_{2}}}du\pm {\sqrt {EG}}\left({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}\right)dv&{\frac {G}{\operatorname {sen} ^{2}w_{1}}}dv\pm {\sqrt {EG}}\left({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}\right)du\end{vmatrix}}=0$