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| 62 | G. Fubini |
Le (μ) danno appunto il seguente teorema:
Le immagini di Clifford di una congruenza normale pseudosferica dello spazio curvo riferita alle sviluppabili ammettono come elementi lineari gli elementi lineari delle immagini sferiche di due congruenze pseudosferiche dello spazio piano, riferite alle traiettorie ortogonali delle sviluppabili (che quindi si corrispondono sulle due congruenze); le falde focali di una delle due congruenze sono trasformate di Lie delle falde focali dell’altra; e la trasformazione di Lie per cui si passa dalle une alle altre è subito determinata appena sia data una delle due congruenze.
Così la geometria dello spazio ellittico dà una interpretazione geometrica di una qualunque trasformazione di Lie applicata a una superficie pseudosferica, quando questa si immagini come falda focale di una opportuna congruenza pseudosferica. E la più generale trasformazione di Bäcklund per lo spazio piano si ottiene così dalla sola trasformazione complementare dello spazio ellittico, mentre la trasformazione di Lie nasce di per sè stessa per il fatto del doppio senso del parallelismo. E, con un linguaggio meno corretto, noi vediamo sdoppiarsi la trasformazione di Bäcklund in una trasformazione complementare e in trasformazioni di Lie.
Notiamo ancora che da una congruenza pseudosferica dello spazio piano si ha tosto un elemento lineare sferico
La sola risoluzione di un’equazione di Riccati basta per determinare l’elemento associato
e quindi la più generale congruenza normale pseudosferica dello spazio curvo. Quindi:
Nota una congruenza pseudosferica dello spazio piano si hanno con la sola risoluzione di un’equazione di Riccati due superficie pseudosferiche complementari dello spazio curvo e un’altra congruenza pseudosferica dello spazio piano.
