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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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certo senso). Prenderemo a linee $u$, $v$ le linee di curvatura e misureremo $\varphi$ nel medesimo senso con cui fu costruita l’immagine piana. Per la singolarità del risultato faremo i calcoli in due modi, di cui l’uno darà sotto forma razionale $\cos \varphi$, l’altro $\operatorname {sen} \varphi$. Sia $(Y_{1}Y_{2}Y_{3}0)$ il punto immagine del punto $(x_{i})$ della superficie relativamente al piano $x_{4}=0$ e siano $(X_{i})$ i coseni di direzione della parallela condotta per $(Y)$ all’elemento uscente da $(x)$ coi coseni di direzione $\left({\frac {dx}{ds}}\right)$; avremo, indicando con $d\sigma$ l’arco corrispondente dell’immagine piana

$cos\varphi ={\frac {\sum XdY}{d\sigma }}={\frac {1}{dsd\sigma }}{\begin{vmatrix}dY_{1}&Y_{1}&[dx,x]_{1}\\dY_{2}&Y_{2}&[dx,x]_{2}\\dY_{3}&Y_{3}&[dx,x]_{3}\end{vmatrix}}$

$\cos ^{2}\varphi ={\frac {1}{ds^{2}d\sigma ^{2}}}{\begin{vmatrix}d\sigma ^{2}&0&\sum [dx,x]d[\xi ,x]\\0&1&\sum [dx,x][\xi ,x]\\\sum [dx,x]d[\xi ,x]&\sum [\xi ,x][dx,x]&ds^{2}\end{vmatrix}}$

e, ricordando le solite identità:

$\cos \varphi =1-\left({\frac {\sum (dx,x)d(\xi ,x)}{dsd\sigma }}\right)^{2}=1-\left({\frac {\sum [dx,x][x,d\xi ]}{d\sigma ds}}\right)^{2}=$

$=1-\left({\frac {\sum dxd\xi }{dsd\sigma }}\right)^{2},$

donde

$\operatorname {sen} \varphi =\pm {\frac {\sum dxd\xi }{dsd\sigma }}.$

Valendoci ora delle notazioni e delle formule nel quadro del §. 15 troveremo $\cos \varphi$ sotto forma razionale.

La terza formula di questo quadro dà

${\frac {dX_{3}}{d\sigma }}=\left(\pm {\sqrt {E}}X_{2}-{\frac {D}{\sqrt {E}}}X_{1}\right){\frac {du}{d\sigma }}+\left(\mp {\sqrt {G}}X_{1}-{\frac {D''}{\sqrt {G}}}X_{2}\right){\frac {dv}{d\sigma }}.$