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G. Fubini

Queste formule sono tanto importanti per noi che non sarà male il ritrovarle in un altro modo, che avrà il vantaggio di mostrarci quanto sia conforme alla natura intima dello spazio ellittico il concetto di parametri di scorrimento di una retta.

§. 15. Formino le $u=cost.$ e le $v=cost$ un sistema ortogonale e siano rispettivamente $(X_{1}Y_{1}Z_{1})$, $(X_{2}Y_{2}Z_{2})$, $(X_{3}Y_{3}Z_{3})$ i parametri di scorrimento (in un certo verso) della tangente alla $v=cost.$, della tangente alla $u=cost.$, e della normale alla superficie in un suo punto generico $(x_{i})$. È facile scriverne l’espressione effettiva; e se ne formiamo le derivate rispetto $u,v$ ricordando le relazioni tra i parametri di rette polari e le formule che danno le derivate seconde delle $x_{i}$ e le derivate prime delle $\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\xi _{4}$ otteniamo il seguente quadro di formule:

$dX_{1}=\left[-{\frac {1}{2{\sqrt {EG}}}}{\frac {\partial E}{\partial v}}X_{2}+{\frac {D}{\sqrt {E}}}X_{3}\right]du+\left[{\frac {1}{2{\sqrt {EG}}}}{\frac {\partial G}{\partial u}}X_{2}+\left({\frac {D'}{\sqrt {E}}}\pm {\sqrt {G}}\right)X_{3}\right]dv$

$dX_{2}=\left[{\frac {1}{2{\sqrt {EG}}}}{\frac {\partial E}{\partial v}}X_{1}+\left({\frac {D'}{\sqrt {G}}}\mp {\sqrt {E}}\right)X_{3}\right]du+\left[-{\frac {1}{2{\sqrt {EG}}}}{\frac {\partial G}{\partial u}}X_{1}+{\frac {D''}{\sqrt {G}}}X_{3}\right]dv$

$dX_{3}=\left[\left(\pm {\sqrt {E}}-{\frac {D'}{\sqrt {G}}}\right)X_{2}-{\frac {D}{\sqrt {E}}}X_{1}\right]du+\left[\left(\mp {\sqrt {G}}-{\frac {D'}{\sqrt {E}}}\right)X_{1}-{\frac {D''}{\sqrt {G}}}X_{2}\right]dv$

con le solite considerazioni riguardo ai segni. Queste formule sono perfettamente analoghe alle corrispondenti dello spazio euclideo che se ne deducono ponendo $D'$ per $D'\pm {\sqrt {EG}}$.

La determinazione effettiva di una superficie di cui siano date le forme fondamentali si riduce all’integrazione di due sistemi di equazioni ai differenziali totali, ciascuno riducibile poi a un equazione di Riccati.

Così anche nello spazio curvo, come nell’euclideo, si ha

$Ddu^{2}+2D'dudv+D''dv^{2}=-\sum ({\sqrt {E}}X_{1}du+{\sqrt {G}}X_{2}dv)dX_{3}.$

Così affinchè una retta di parametri $\lambda X_{1}+\mu X_{2}+\nu X_{3}$ ($\lambda$, $\mu$, $\nu$ costanti) per il punto $(x_{i})$ generi una sviluppabile quando ci si sposti