Pagina:Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici.djvu/63

Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

57

e per il punto generico $(x)$ di una delle $\infty '$ corrispondenti superficie, avremo allora

$X_{i}=x_{i}\cos w+\xi \operatorname {sen} w$

dove in $w$ entra una costante arbitraria additiva.

Vogliamo ora interpretare questi fatti in metrica euclidea; preso un punto $(x_{i})$ dello spazio ellittico poniamo $x={\frac {x_{1}}{x_{4}}}$, $y={\frac {x_{2}}{x_{4}}}$, $z={\frac {x_{3}}{x_{4}}}$ dove gli assi delle $x$, $y$, $z$ formino un triedro trirettangolo; un punto per cui $x_{4}=0$ rappresenta un punto del piano all’infinito e i valori di $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ danno i coseni di direzione corrispondenti; osserviamo che la metrica sul piano all’infinito essendo relativa alla conica $x^{2}+y^{2}+z^{2}=0$, essa coincide con l’analoga del piano $x_{4}=0$ nello spazio curvo, che è riferita alla conica $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0$. Cosicchè la coppia di elementi $edu^{2}\pm 2fdudv+gdv^{2}$ del piano $x_{4}=0$ corrisponde alla coppia stessa di elementi lineari per la sfera dello spazio piano se per un momento facciamo corrispondere un punto $A$ del piano $x_{4}=0$ a quel punto della sfera che determina la direzione corrispondente nella suddetta proiettività al punto $A$. L’assoluto resta poi mutato nella sfera immaginaria

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+1=0$

cosicchè abbiamo infine:

Data una coppia di elementi sferici $edu^{2}\pm 2fdudvgdv^{2}$ con $f$ costante, le rette parallele al raggio determinato dal punto di mezzo di uno degli archi terminati a una coppia di punti $A$, $A'$ corrispondenti, e passanti per un punto $B$ posto sul diametro normale a quest’arco e distante dal centro della sfera di $\operatorname {tang.} {\frac {\varphi }{2}}$ (dove $\varphi$ sia la distanza dei punti $A$, $A'$) genera una congruenza $W$, i cui piani focali sono antipolari rispetto alla sfera stessa.

§.21. Ritornando allo spazio curvo, daremo alcuni esempii semplici di questi teoremi, che ci condurranno anche a interessanti conseguenze.