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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici 55


Ma noi vorremo esaminare più precisamente questo risultato, e vedremo il fatto notevolissimo che delle due condizioni “„ ed “ funzione di „, l’una è conseguenza dell’altra quando già si sappia che

è l’elemento lineare di una delle immagini di una superficie riferita alle linee di curvatura. Infatti poichè le sono le linee immagini delle linee di curvatura, l’elemento sferico

deve rimanere a curvatura , cambiando il segno di . Ricordando che è costante, e sottraendo l’una dall’altra le equazioni che esprimono essere uguali a le curvature delle forme

otteniamo (ponendo per semplicità )

cioè:

donde

ossia

Dunque il nostro teorema si può enunciare nella forma seguente:

La ricerca delle superficie dello spazio ellittico si riconduce alla ricerca degli elementi lineari della sfera euclidea per cui è costante e che restano a curvatura mutando il segno di .