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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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Ma noi vorremo esaminare più precisamente questo risultato, e vedremo il fatto notevolissimo che delle due condizioni “$f=cost.$„ ed “$e$ funzione di $g$„, l’una è conseguenza dell’altra quando già si sappia che

$edu^{2}+2fdudv+gdv^{2}$

è l’elemento lineare di una delle immagini di una superficie riferita alle linee di curvatura. Infatti poichè le $u,v$ sono le linee immagini delle linee di curvatura, l’elemento sferico

$edu^{2}+2fdudv+gdv^{2}$

deve rimanere a curvatura $+1$, cambiando il segno di $f$. Ricordando che $f$ è costante, e sottraendo l’una dall’altra le equazioni che esprimono essere uguali a $+1$ le curvature delle forme

$edu^{2}\pm 2fdudv+gdv^{2},$

otteniamo (ponendo per semplicità $f=1$)

${\frac {\partial }{\partial u}}\left({\frac {1}{e{\sqrt {eg-1}}}}{\frac {\partial e}{\partial v}}\right)-{\frac {\partial }{\partial v}}\left({\frac {1}{e{\sqrt {eg-1}}}}{\frac {\partial e}{\partial u}}\right)=0$

cioè:

${\frac {\partial (e{\sqrt {eg-1}})}{\partial u}}{\frac {\partial e}{\partial v}}-{\frac {\partial (e{\sqrt {eg-1}})}{\partial v}}{\frac {\partial e}{\partial u}}=0$

donde

${\frac {\partial (eg)}{\partial u}}{\frac {\partial e}{\partial v}}-{\frac {\partial (eg)}{\partial v}}{\frac {\partial e}{\partial u}}=0$

ossia

${\begin{vmatrix}{\frac {\partial e}{\partial u}}&{\frac {\partial g}{\partial u}}\\{\frac {\partial e}{\partial v}}&{\frac {\partial g}{\partial v}}\end{vmatrix}}=0.$

Dunque il nostro teorema si può enunciare nella forma seguente:

La ricerca delle superficie $W$ dello spazio ellittico si riconduce alla ricerca degli elementi lineari della sfera euclidea per cui $f$ è costante e che restano a curvatura $+1$ mutando il segno di $f$.