Pagina:Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici.djvu/64

58

G. Fubini

Il problema di determinare le sviluppabili dello spazio ellittico è equivalente a quello di determinare i nostri elementi sferici per cui $\theta (\beta )=\beta$ cioè $f=g=1$ cioè gli elementi $edu^{2}+2dudv+dv^{2}$; poniamo $u'=u$, $v'=u+v$; questo elemento diventa l’altro

$(e-1)du'^{2}+dv'^{2}$

cioè quello relativo alle superficie canali dello spazio piano che, come si deduce dalle formule di Weingarten o da quelle di Codazzi hanno costante o la $e$ o la $g$ purchè si scelga opportunamente il parametro del corrispondente linea di curvatura; del resto è cosa nota che tutte le sviluppabili dello spazio ellittico sono conosciute.

Un altro caso ben più interessante è quello, per cui $w_{1}-w_{2}=cost.$, perchè le evolute di una tal superficie sono superficie pseudosferiche complementari; l’angolo delle immagini sferiche delle linee di curvatura dovendo (§. 19) essere costante, il problema della determinazione di tali superficie è identico al problema di determinare gli elementi sferici della forma

$ed\alpha ^{2}+2d\alpha d\beta +{\frac {K}{e}}d\beta ^{2}$

con $K$ costante, ossia della forma

$e^{-2\tau }d\alpha ^{2}+2cos\sigma d\alpha d\beta +e^{2\tau }d\beta ^{2}$

dove $\sigma$ è costante (complemento di $\pm (w_{1}-w_{2})$).

La torsione geodetica di un elemento d’una tal superficie è proporzionale così a ${\frac {d\alpha d\beta }{ds^{2}}}$; di più osserviamo che il nostro risultato si può enunciare:

Per trovare tutti i sistemi di linee che dividono la sfera in $\infty ^{2}$ parallelogrammi infinitesimi equivalenti basta trovare le immagini di Clifford della più generale congruenza normale pseudosferica dello spazio curvo.

Confrontando questi risultati ottenuti su tali elementi lineari sferici con quelli ottenuti dal prof. Bianchi nella sua memoria del T. XVIII degli Annali di matematica (1890) si ottengono alcune conseguenze a mio parere notevoli.