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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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lungo una $v=cost.$ devono essere uguali le immagini sferiche della rigata generata, cioè se $D'=F=0$

$\lambda \left(\mu D+\nu {\frac {\frac {\partial E}{\partial v}}{2{\sqrt {G}}}}\right)=0.$

E se ciò avviene invece spostandoci lungo una $u=cost.$ è 2

$\mu \left(\lambda D''+\nu {\frac {\frac {\partial G}{\partial v}}{2{\sqrt {E}}}}\right)=0.$

Con l’aiuto del quadro di formule precedente possiamo risolvere un’altra questione: determinare cioè le congruenze i cui raggi trascinati in una qualunque deformazione di una superficie di partenza alla quale si immaginino invariabilmente collegati, formano sempre $\infty '$ rigate di Clifford o, ciò che è lo stesso, formano una congruenza per cui una delle immagini di Clifford è degenere. Se le $u,v$ sono rispettivamente le linee normali ai raggi tracciate sulla superficie $\Sigma$ di partenza e le loro traiettorie ortogonali, i parametri di scorrimento di un raggio generico della congruenza sono

$X=\cos \varphi X_{1}+sen\varphi X_{3}$, $Y=\cos \varphi Y_{1}+sen\varphi Y_{3}$, $Z=\cos \varphi Z_{1}+sen\varphi Z_{3}$

dove $\varphi$ è funzione di $u,v$. L’elemento lineare della immagine di Clifford ottenuta nel senso in cui si sono calcolati $X,Y,Z$ è dato da

$ds'^{2}=\left[\sum \left({\frac {\partial X}{\partial u}}\right)^{2}\right]du^{2}+2\sum {\frac {\partial X}{\partial u}}{\frac {\partial X}{\partial v}}dudv+\sum \left({\frac {\partial X}{\partial v}}\right)^{2}dv^{2};$

ora è facile calcolare, appunto col quadro di formule di questo paragrafo, che

$\sum \left({\frac {\partial X}{\partial u}}\right)^{2}={\frac {D^{2}}{E}}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\right)^{2}+2{\frac {D}{\sqrt {E}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\left({\frac {\cos \varphi }{\sqrt {G}}}{\frac {\partial {\sqrt {E}}}{\partial v}}+\operatorname {sen} \varphi {\frac {D'\mp {\sqrt {EG}}}{\sqrt {G}}}\right)^{2}$

$\sum \left({\frac {\partial X}{\partial v}}\right)^{2}=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+{\frac {D'\pm {\sqrt {EG}}}{\sqrt {E}}}\right)^{2}+\left({\frac {\cos \varphi }{\sqrt {E}}}{\frac {\partial {\sqrt {G}}}{\partial u}}-\operatorname {sen} \varphi {\frac {D''}{\sqrt {G}}}\right)^{2}$