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G. Fubini

dove

η)	${\frac {\partial (\theta -\omega )}{\partial u}}=\operatorname {tg} {\frac {\sigma }{2}}\cos(\theta +\omega )$, ${\frac {\partial (\theta +\omega )}{\partial v}}=-\operatorname {cotg} {\frac {\sigma }{2}}\cos(\theta -\omega )$.

Ora noi abbiamo fatto l’osservazione che quando il coefficiente di $dudv$ è costante, e il coefficiente di $du^{2}$ è funzione del coefficiente di $dv^{2}$, l’elemento lineare resta sferico mutando il segno di $f$.

E ci proponiamo così la questione seguente:

Qual relazione geometrica passa tra le due congruenze $W$ determinate secondo il metodo del prof. Bianchi partendo dall’elemento (ε) e dall’elemento

ε')	$e^{-2\tau }d\alpha ^{2}-2\cos \sigma d\alpha d\beta +e^{2\tau }d\beta ^{2}$

che se ne deduce mutando il segno di $\cos \sigma$?

L’elemento (ε') si deduce da (ε) mutando $\sigma$ in $\pi -\sigma$; cosicchè l’elemento (α') che si deduce da (ε') come (α) da (ε) sarà

α')	$ds^{2}=Edu'^{2}+Gdv'^{2}$

e avranno luogo le relazioni:

δ')	$\left\lbrace {\begin{array}{c}{\sqrt {E}}du'=\operatorname {sen} {\frac {\sigma }{2}}(e^{-\tau }d\alpha +e^{\tau }d\beta )\\{\sqrt {G}}dv'=\cos {\frac {\sigma }{2}}(e^{-\tau }d\alpha -e^{\tau }d\beta )\end{array}}\right.$

ζ')	${\sqrt {E}}={\frac {\cos(\theta _{1}+\omega _{1})}{\operatorname {sen} {\frac {\sigma }{2}}}}$, ${\sqrt {G}}={\frac {\cos(\theta _{1}-\omega _{1})}{\cos {\frac {\sigma }{2}}}}$

dove gli angoli $\theta _{1}$ $\omega _{1}$ soddisfanno alle

η')	${\frac {\partial (\theta _{1}+\omega _{1})}{\partial v'}}=-\operatorname {tg} {\frac {\sigma }{2}}\cos(\theta _{1}-\omega _{1})$, ${\frac {\partial (\theta _{1}-\omega _{1})}{\partial u'}}=\operatorname {cotg} {\frac {\sigma }{2}}\cos(\theta _{1}+\omega _{1})$.

Le (δ)' confrontate con le (δ) ci dicono che $u'$ è funzione della sola $u$ e $v'$ della sola $v$; confrontando i valori di

$e^{-\tau }d\alpha \pm e^{\tau }d\beta$