Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici/Prime formule

by Guido Fubini

Prime formule

../Prefazione ../Il parallelismo di Clifford e la teoria delle curve IncludiIntestazione 27 marzo 2020 75% Da definire

Questo testo è completo.

Guido Fubini - Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici (1900)

Prime formule

◄

Prefazione

Il parallelismo di Clifford e la teoria delle curve

►

PRIME FORMULE

---

§ 1. Noi sappiamo che nello spazio ellittico esistono certi movimenti speciali, per cui è costante la distanza tra la posizione iniziale e la finale di un punto qualunque, e che ricevettero il nome di scorrimenti. A questi movimenti corrispondono nello spazio euclideo (dove si immagini rappresentato geodeticamente lo spazio curvo) le omografie biassiali che hanno per assi due generatrici d’una medesima serie rigata dell’assoluto e che fanno perciò scorrere su sè stesse le generatrici dell’altra serie rigata. E, conformemente all’esistenza di due serie rigate su una quadrica, gli scorrimenti di uno spazio curvo si scindono in due sistemi affatto distinti: gli scorrimenti destrorsi e gli scorrimenti sinistrorsi.

Da questi speciali movimenti, Clifford partì per definire il parallelismo di rette in uno spazio curvo; e noi ora daremo alcune proprietà fondamentali delle rette parallele, facilmente deducibili le une dalle altre e di cui ciascuna può servire come definizione di rette parallele. Diremo dunque con Clifford che due o più rette sono parallele, quando

α) uniscono le posizioni iniziali e finali dei punti di un sistema rigido relative a uno scorrimento

oppure quando

β) si appoggiano alla medesima coppia di generatrici sghembe dell’assoluto

oppure quando

γ) sono esse stesse la posizione iniziale e la posizione finale di una retta sottoposta a uno scorrimento.

L’esistenza di due specie di scorrimenti dimostra l’esistenza di due specie di rette parallele: parallele destrorse e parallele sinistrorse; osserviamo però che da un solo scorrimento noi possiamo dedurre tanto parallele destrorse, quanto sinistrorse; e ciò secondo che ci serviamo della generazione α) o della generazione γ) di rette parallele.

Noi riporteremo qui le formule definenti uno scorrimento, nelle quali supporremo, come si farà sempre d’ora in poi, uguale a $+1$ la curvatura dello spazio ambiente, indicheremo con $(x_{i})$ e $(x'_{i})$ le coordinate di Weierstrass della posizione iniziale e della posizione finale di uno stesso punto, e indicheremo con $A,B,C,D$ e con $(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )$ otto costanti legate dalle relazioni

$A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}=1.$

Avremo per scorrimenti di prima specie¹:

1)	$\left\lbrace {\begin{array}{c}x'_{1}=Ax_{1}-Bx_{2}-Cx_{3}-Dx_{4}\\x'_{2}=Bx_{1}+Ax_{2}-Dx_{3}+Cx_{4}\\x'_{3}=Cx_{1}+Dx_{2}+Ax_{3}-Bx_{4}\\x'_{4}=Dx_{1}-Cx_{2}+Bx_{3}+Ax_{4}\end{array}}\right.$

per scorrimenti di seconda specie

2)	$\left\lbrace {\begin{array}{c}x'_{1}=\alpha x_{1}-\beta x_{2}-\gamma x_{3}-\delta x_{4}\\x'_{2}=\beta x_{1}+\alpha x_{2}+\delta x_{3}-\gamma x_{4}\\x'_{3}=\gamma x_{1}-\delta x_{2}+\alpha x_{3}+\beta x_{4}\\x'_{4}=\delta x_{1}+\gamma x_{2}-\beta x_{3}+\alpha x_{4}.\end{array}}\right.$

§. 2. Con le coordinate di Weierstrass di punto e di piano, una retta (geodetica) si definisce dando le coordinate $(x_{i})$ di un suo punto qualunque e le coordinate $(\xi _{i})$ piano normale in $(x_{i})$ alla retta stessa; quindi in una maniera che, sebbene sia molto comoda in alcuni studii, pure è tutt’altro che simmetrica. È principio fondamentale del presente lavoro l’introduzione di un nuovo sistema di coordinate, che, come spero, apparirà per le sue applicazioni assai appropriato alla natura dello spazio ellittico.

Sia dunque una retta definita al modo di Weierstrass, e ne siano $(x_{i})$ e $(\xi _{i})$ due punti coniugati $\left({\text{distanti}}\,{\frac {\pi }{2}}\right)$ tali cioè $\sum _{i=1}^{4}x_{i}\xi _{i}=0.$ Di scorrimenti che portino il punto $(x_{i})$ nel punto $(\xi _{i})$ ne abbiamo uno destrorso e uno sinistrorso; e, indicando con $A,B,C,D$ le costanti relative all’uno e con $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ le costanti relative all’altro, sarà intanto

$A=\alpha =0$

perchè

$\sum x\xi =0$

e quindi

$B^{2}+C^{2}+D^{2}=\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}=1.$

Noi assumeremo le $B,C,D,\beta ,\gamma ,\delta$ (che subito calcoleremo) come coordinate di una retta nello spazio ellittico e daremo loro il nome di “parametri di scorrimento„ della retta stessa. Essi, si vede subito, saranno indipendenti dalla coppia di punti $(x_{i}),(\xi _{i})$ coniugati scelti sulla retta.

Osserviamo intanto che una retta è individuata, appena ne siano dati i parametri di scorrimento (e lo dimostreremo del resto effettivamente col calcolo); infatti essi definiscono due scorrimenti di specie diversa che lasciano fissa la retta, e quindi definiscono insieme le quattro generatrici dell’assoluto cui essa si appoggia, ciò che basta a individuare la retta insieme alla sua retta polare; questa indeterminazione, che può anche essere utile quando si studiino insieme due figure polari, si toglierà più sotto con considerazioni di segni.

Per il calcolo effettivo dei sei parametri di scorrimento si osservi che le (1) diventano per noi

3)	$\left\lbrace {\begin{array}{c}\xi _{1}=-BX_{2}-Cx_{3}-Dx_{4}\\\xi _{2}=BX_{1}+Cx_{4}-Dx_{3}\\\xi _{3}=-BX_{4}+Cx_{1}+Dx_{2}\\\xi _{4}=Bx_{3}-Cx_{2}+Dx_{1}.\end{array}}\right.$

Risolvendo, ricordando le $\sum x^{2}=\sum \xi ^{2}=1,\sum x\xi =0,$ si ha

4)	$\left\lbrace {\begin{array}{c}B=\xi _{2}x_{1}-x_{2}\xi _{1}+\xi _{4}x_{3}-x_{4}\xi _{3}\\C=\xi _{2}x_{4}-\xi _{4}x_{2}+\xi _{3}x_{1}-x_{3}\xi _{1}\\D=\xi _{3}x_{2}-\xi _{2}x_{3}+\xi _{4}x_{1}-x_{4}\xi _{1}\end{array}}\right.$

legate appunto dalla

5)	$D^{2}+B^{2}+C^{2}=1$

Analogamente si ha

3')	$\left\lbrace {\begin{array}{c}\xi _{1}=-\beta x_{2}-\gamma x_{3}-\delta x_{4}\\\xi _{2}=\beta x_{1}+\delta x_{3}-\gamma x_{4}\\\xi _{3}=\gamma x_{1}-\delta x_{2}+\beta x_{4}\\\xi _{4}=\delta x_{1}+\gamma x_{2}-\beta x_{3}\end{array}}\right.$

donde si ricava

4')	$\left\lbrace {\begin{array}{c}\beta =\xi _{3}x_{4}-\xi _{4}x_{3}+\xi _{2}x_{1}-\xi _{1}x_{2}\\\gamma =\xi _{4}x_{2}-\xi _{2}x_{4}+\xi _{3}x_{1}-\xi _{1}x_{3}\\\delta =\xi _{4}x_{1}-\xi _{1}x_{4}+\xi _{2}x_{3}-\xi _{3}x_{2}\end{array}}\right.$

con la

5')	$\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}=1$

Prese le (4) e le (4') come formule definenti le $B,C,D,\beta ,\gamma ,\delta$ le (3) e le (3') danno le coordinate $(\xi _{i})$ del piano normale nel punto $(x_{i})$ alla nostra retta, appena sia noto questo punto $(x_{i})$.

È facile ora riconoscere ciò che distingue i paramenti di scorrimento di due rette polari. Prendiamo per es. la retta normale nel punto (1, 0, 0, 0) al piano (0, 1, 0, 0) e la retta polare normale nel punto (0, 0, 1, 0) al piano (0, 0, 0, 1).

Per l’una avremo

$B=1,C=D=0,\beta =1,\gamma =\delta =0;$

per l’altra

$B'=1,C'=D'=0,\beta =-1,\gamma '=\delta '=0.$

Quindi:

Cambiando i segni a una delle due terne dei parametri di scorrimento di una retta, si ottiene la retta polare.

Noi vedremo spesso che le rette polari hanno nello spazio ellittico l’uffizio che nello spazio piano hanno le direzioni opposte.

Il cangiare contemporaneamente i segni a tutti e 6 i parametri di scorrimento non muta la retta corrispondente, perchè ciò equivale a cambiare $(x_{i})$ in $(-x_{i})$ oppure $(\xi _{i})$ in $(-\xi _{i})$, oppure scambiando i punti $(x_{i})$, $(\xi _{i})$. (Cfr. le osservazioni finali).

§. 3. Ma i calcoli con le $B,C,D,\beta ,\gamma ,\delta$ riuscirebbero faticosissimi, se noi non introducessimo un algoritmo semplice, che ci permetterà di trattare poi con la massima sicurezza e facilità queste nuove coordinate di retta e di passare da queste alle usuali formole in coordinate di Weierstrass. Osserviamo perciò che si può scrivere:

6)

$\left\lbrace {\begin{array}{c}B={\begin{vmatrix}\xi _{2}&\xi _{1}\\x_{2}&x_{1}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\xi _{4}&\xi _{3}\\x_{4}&x_{3}\end{vmatrix}}\\C={\begin{vmatrix}\xi _{2}&\xi _{4}\\x_{2}&x_{4}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\xi _{3}&\xi _{1}\\x_{3}&x_{1}\end{vmatrix}}\\D={\begin{vmatrix}\xi _{3}&\xi _{2}\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\xi _{4}&\xi _{1}\\x_{4}&x_{1}\end{vmatrix}}\\\end{array}}\right.$

e analogamente

6')

$\left\lbrace {\begin{array}{c}\beta ={\begin{vmatrix}\xi _{2}&\xi _{1}\\x_{2}&x_{1}\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}\xi _{4}&\xi _{3}\\x_{4}&x_{3}\end{vmatrix}}\\\gamma ={\begin{vmatrix}\xi _{3}&\xi _{1}\\x_{3}&x_{1}\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}\xi _{2}&\xi _{4}\\x_{2}&x_{4}\end{vmatrix}}\\\delta ={\begin{vmatrix}\xi _{4}&\xi _{1}\\x_{4}&x_{1}\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}\xi _{3}&\xi _{2}\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}.\\\end{array}}\right.$

Se ora $(t_{1},t_{2},t_{3},t_{4})$ e $(d_{1},d_{2},d_{3},d_{4})$ sono due quaderne di variabili, noi indicheremo con $[td]_{2},[td]_{3},[td]_{4}$ tre espressioni formate con le $t$, e con le $d$ appunto come $B,C,D$ sono formate con $(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\xi _{4})$ e $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$; e analogamente indicheremo con $[td]'_{2},[td]'_{3},[td]'_{4}$ espressioni formate con $(t_{i})$ e $(d_{i})$ come le $\beta ,\gamma ,\delta$ con $(\xi _{i})$ e $(x_{i})$.

Se noi ricordiamo lo sviluppo del prodotto di due matrici a due linee nella somma dei prodotti dei loro minori corrispondenti, e lo sviluppo di un determinante del quarto ordine nella somma dei prodotti dei minori del II ordine staccati dalla matrice formata dalle prime due linee per i minori complementari, otteniamo facilmente la seguente identità fondamentale:

7)	$\sum _{i}\left\lbrace [td]_{i}[ef]_{i}\right\rbrace ={\begin{Vmatrix}t_{1}&t_{2}&t_{3}&t_{4}\\d_{1}&d_{2}&d_{3}&d_{4}\end{Vmatrix}}\cdot {\begin{Vmatrix}e_{1}&e_{2}&e_{3}&e_{4}\\f_{1}&f_{2}&f_{3}&f_{4}\end{Vmatrix}}+$

$+{\begin{vmatrix}t_{1}&t_{2}&t_{3}&t_{4}\\d_{1}&d_{2}&d_{3}&d_{4}\\e_{1}&e_{2}&e_{3}&e_{4}\\f_{1}&f_{2}&f_{3}&f_{4}\end{vmatrix}}.$

Indicando con $(tdef)$ il determinante del 2.° membro, questa identità si può scrivere:

8)	$\sum \left\lbrace [td]_{i}[ef]_{i}\right\rbrace =\sum te\sum df-\sum tf\sum de+(tdef).$

Se noi vogliamo trovare il valore di $(tdef)$ in funzione $\Sigma t^{2},\Sigma d^{2},....\Sigma td,\Sigma te....\Sigma de....$ basterà che noi lo innalziamo al quadrato; otterremo così un determinante i cui termini sono proprio della forma prescritta; estraendo poi la radice quadrata avremo, a meno del segno, il valore di $(tdef)$. E se ne deduce:

I. Se $t_{i}=e_{i},d_{i}=f_{i},\Sigma t^{2}=\Sigma d^{2}=1,\Sigma td=0$ si ha

$\sum \left\lbrace [td]_{i}[ef]_{i}\right\rbrace =1,$

come si poteva prevedere ricordando le (5) e (5').

II. Se le $t$ le $d$, le $e$, le $f$ formano quattro quaderne affatto distinte e $\Sigma t^{2}=\Sigma d^{2}=\Sigma e^{2}=\Sigma f^{2}=1$, mentre

$\sum td=\sum te=\sum tf=\sum de=\sum df=\sum ef=0,$

si ha

$\sum \left\lbrace [td]_{i}[ef]_{i}\right\rbrace =\pm 1.$

e, senza preoccuparci per ora del segno, basti osservare che esso cambia, scambiando due delle quattro quaderne.

III. Se $e_{i}=t_{i}$, ma $d_{i}\neq f_{i}$ e $\Sigma ed=\Sigma ef=\Sigma df=0$, mentre

$\sum e^{2}=\sum d^{2}=\sum f^{2}=1,$

si ha

$\sum \left\lbrace [td]_{i}[ef]_{i}\right\rbrace =0.$

L’ambiguità di segno che comparisce nel II di questi casi, e che deve sempre comparire per il modo in cui noi calcoliamo il determinante $(tdef)$ appena $(tdef)$ non sia nullo, non ci causa nessun imbarazzo; e ciò perchè scambiando i simboli $[td]_{i}$ coi simboli $[td]'_{i}$ si ha un’identità che differisce dalla (8), come un facile calcolo rivela, soltanto per il segno di $(tdef)$. Ora, siccome noi consideriamo sempre contemporaneamente le due specie di parallelismo e di simboli, ci basterà fare il calcolo con una sola specie di simboli, p. es. coi simboli non accentati; otterremo così, è vero, dei termini a segno indeterminato; ma sarà affatto inutile il conseguire la determinazione di questo segno, poichè se con parallelismo in un certo senso noi dobbiamo usare un segno, dobbiamo poi usare il segno opposto quando si consideri il parallelismo nell’altro verso.

Noi abbiamo già visto come per mezzo delle (6) e delle (6') si possano calcolare i parametri di scorrimento di una retta, definita al solito per mezzo di due suoi punti $(x_{i})$ e $(\xi _{i})$ distanti di ${\frac {\pi }{2}}$. Ora noi vogliamo mostrare come, dati i parametri di scorrimento di una retta, si possa tornare alla determinazione usuale della retta stessa. Cerchiamo, a tal fine, le coordinate del punto dove la retta, i cui parametri di scorrimento siano $B,C,D,\beta ,\gamma ,\delta ,$ incontra p. es. il piano $x_{i}=0$. Posto nelle (3) e (3') $x_{i}=0$ e confrontando i valori di $\xi _{2}\,\xi _{3}\,\xi _{4}$ che se ne ricavano, otteniamo

$x_{2}:x_{3}:x_{4}=B+\beta :C+\gamma :D+\delta .$

Poichè, essendo $x_{i}=0$, deve essere $x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=1$, si ha infine

9)	$x_{1}=0,x_{2}={\frac {B+\beta }{\sqrt {2(1+B\beta +C\gamma +D\delta )}}},x_{3}={\frac {C+\gamma }{\sqrt {2(1+B\beta +C\gamma +D\delta )}}},$

$x_{4}={\frac {D+\delta }{\sqrt {2(1+B\beta +C\gamma +D\delta )}}}.$

È facile allora per mezzo delle (3) o delle (3)' calcolare le corrispondenti $(\xi _{i})$.

§. 4. Ci proponiamo ora di studiare i significati geometrici dei parametri di scorrimento di una retta. La loro proprietà fondamentale è di essere “invarianti per parallelismo„, come ci dice il seguente teorema:

“Se due rette hanno uguali, oppure uguali e di senso opposto i tre parametri di una medesima terna esse sono parallele, in un senso o nell’altro, secondo che la terna in discorso è la prima o la seconda„.

Infatti in tal caso esiste uno scorrimento che le fa scorrere tutte e due sopra sè stesse. Questo teorema, che scaturisce immediatamente dalle nostre considerazioni, è per noi fondamentale; e non sarà perciò male stabilirlo in modo diretto sia a riprova dei calcoli, sia perchè così otterremo alcune formule che ci saranno assai utili in seguito.

Sia una retta intersezione di due piani $(a_{1}\,a_{2}\,a_{3}\,a_{4})$ e $(b_{1}\,b_{2}\,b_{3}\,b_{4})$ che per semplicità supporremo ortogonali. L’assoluto essendo definito da

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=0$

un sistema delle sue generatrici si può immaginare definito da

α)	$\left\lbrace {\begin{array}{c}(x_{1}+ix_{2})+\lambda (x_{3}+ix_{4})=0\\(x_{3}-ix_{4})-\lambda (x_{1}-ix_{2})=0\\\end{array}}\right.$

dove $\lambda$ varia da generatrice a generatrice. Ogni punto che appartenga ai due piani $(a_{i}),(b_{i})$ soddisfa alle:

β)	$\sum a_{i}x_{i}=0,\sum b_{i}x_{i}=0$

cosicchè per trovare a quali generatrici della serie (α) si appoggia la nostra retta basta eliminare le $(x_{i})$ fra le (α) e le (β); otteniamo così

${\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&b_{4}\\1&i&\lambda &i\lambda \\-\lambda &i\lambda &1&-i\end{vmatrix}}=0$

ossia:

$\lambda ^{2}{[(a_{1}b_{3}-b_{1}a_{3})+(a_{2}b_{4}-b_{2}a_{4})]+i[(b_{4}a_{1}-a_{4}b_{1})+(b_{2}a_{3}-a_{2}b_{3})]}+$ $+2i\lambda (a_{4}b_{3}-b_{4}a_{3}+b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2})+[(b_{3}a_{1}-a_{3}b_{1}+a_{2}b_{4}-b_{2}a_{4})-i(b_{4}a_{1}-a_{4}b_{1}+b_{2}a_{3}-a_{2}b_{3})]=0.$

Affinchè la retta di intersezione dei piani $(a'_{i})$ e $(b'_{i})$ si appoggi alla medesima coppia di generatrici, sia cioè parallela (nel senso determinato dalla serie rigata (α)) alla nostra retta, si deduce subito che deve essere:

$(a_{1}b_{3}-b_{1}a_{3}+a_{2}b_{4}-b_{2}a_{4}):(a_{1}b_{4}-b_{1}a_{4}+b_{2}a_{3}-a_{2}b_{3}):(a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}+a_{4}b_{3}-a_{3}b_{4})=$

$=(a'_{1}b'_{3}-b'_{1}a'_{3}+a'_{2}b'_{4}-b'_{2}a'_{4}):(a'_{1}b'_{4}-b'_{1}a'_{4}+b'_{2}a'_{3}-a'_{2}b'_{3}):(a'_{1}b'_{2}-b'_{1}a'_{2}+a'_{4}b'_{3}-a'_{3}b'_{4}).$

Analogamente si procederebbe per l’altra serie di generatrici dell’assoluto; le formule precedenti non solo ridimostrano il nostro teorema, ma danno l’espressione dei parametri di scorrimento di una retta in funzione delle coordinate di due piani perpendicolari passanti per la retta.

Noi spesso dovremo trovare le traccie su un piano $\alpha$ delle parallele tirate per il suo polo $A$ a una retta; e le chiameremo le “immagini di Clifford„ della retta relative al piano stesso; dette $S_{i}$ e $Z_{i}$ le coordinate delle due traccie, avremo, dalle (3) e (3') quando si prenda per punto $A$ il punto $(1,0,0,0)$

10)	$\left\lbrace {\begin{array}{c}S_{1}=0,S_{2}=B=[\xi x]_{2},S_{3}=C=[\xi x]_{3},S_{4}=D=[\xi x]_{4}\\Z_{1}=0,Z_{2}=\beta =[\xi x]'_{2},Z_{3}=\gamma =[\xi x]'_{3},Z_{4}=\delta =[\xi x]'_{4}.\end{array}}\right.$

Per mezzo di queste uguaglianze e indicando con $\varphi$ la distanza dei due punti $S,Z$ definita da $\cos \varphi =\Sigma S_{i}Z_{i},$ le (9) diventano

9')	$x_{1}=0\,x_{i}={\frac {S_{i}+Z_{i}}{2\cos {\frac {\varphi }{2}}}}\,[i=2,3,4]$

che per mezzo delle (3) o delle (3') ci danno:

11)	$\xi _{1}=-\cos {\frac {\varphi }{2}},\,\xi _{2}={\frac {1}{2\cos {\frac {\varphi }{2}}}}{\begin{vmatrix}S_{3}&S_{4}\\Z_{3}&Z_{4}\end{vmatrix}},\,\xi _{3}={\frac {1}{2\cos {\frac {\varphi }{2}}}}{\begin{vmatrix}S_{4}&S_{2}\\Z_{4}&Z_{2}\end{vmatrix}},\,$

$\xi _{4}={\frac {1}{2\cos {\frac {\varphi }{2}}}}{\begin{vmatrix}S_{2}&S_{3}\\Z_{2}&Z_{3}\end{vmatrix}}$

Si verifica subito che:

“Le due immagini di Clifford di due rette polari relative a un piano e le traccie su questo piano delle rette stesse si dividono armonicamente; una di queste traccie divide per metà un segmento terminato alle immagini„.

§ 5. Sarà per noi ancora opportuno di notare che i parametri di scorrimenti di una retta, anche moltiplicati per un qualunque fattore, soddisfanno alla:

$B^{2}+C^{2}+D^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}-\delta ^{2}=0.$

Dunque noi potremo sempre immaginare 6 quantità legate da questa relazione come coordinate omogenee di retta, in quanto che si può fissare a meno del segno un fattore di proporzionalità (in un modo solo) in tal guisa che esse divengano i 6 parametri di scorrimento di una retta. La forma delle $B,C,D,\beta ,\gamma ,\delta$ ci dà il seguente teorema:

“I parametri di scorrimento (invarianti per parallelismo) di una retta non sono altro che le coordinate di Klein (somme e differenze opportune delle coordinate di Plücker) della retta stessa, quando si prenda per tetraedro fondamentale un tetraedro autopolare rispetto all’assoluto.„

Questo teorema può venire utile per lo studio dei complessi algebrici di rette negli spazii ellittici; e noi ne daremo più tardi un esempio.

§. 6. Una prima notevolissima applicazione di queste coordinate è la definizione di angolo di due rette qualsiasi (ciò che finora non s’era fatto che per rette complanari). Noi chiameremo angolo $\varphi$ di due rette tanto l’angolo $\varphi$ definito da

$\cos \varphi =BB'+CC'+DD',$

quanto l’angolo $\varphi$ generalmente distinto dal precedente, che riesce definito dalla

$\cos \varphi =\beta \beta '+\gamma \gamma '+\delta \delta ',$

nelle quali formule intendiamo con $(B,C,D,\beta ,\gamma ,\delta )$ i parametri di una retta e con $(B',C',D',\beta ',\gamma ',\delta ')$ i parametri omologhi dell’altra. Questa definizione scaturisce spontanea dal seguente teorema:

“L’angolo di una coppia di rette complanari e quello delle parallele tirate ad esse da un punto $A$ qualunque sono uguali, purchè le due parallele siano tirate in un medesimo verso„.

Infatti, esiste allora uno scorrimento (destrorso o sinistrorso a secondo del senso del parallelismo) che porta il punto comune alla prima coppia di rette nel punto $A$, e la prima coppia di rette nella coppia di parallele per il punto $A$.

Il teorema si può dimostrare anche analiticamente: Se le rette date sono le rette $(x,\xi ),(x,\eta )$ il loro angolo $\varphi$ è definito da $\cos \varphi =\Sigma \xi \eta$; l’angolo $\varphi '$ delle parallele tirate dal punto $(1,0,0,0)$ è dato da

$\cos \varphi '=\sum [x\xi ]_{i}[x\eta ]_{i}$

oppure da

$\cos \varphi '=\sum [x\xi ]'_{i}[x\eta ]'_{i}$

a seconda del verso del parallelismo; l’identità (8) ci dimostra che è in ambi i casi $\cos \varphi '=\cos \varphi$.

E allora si vede che gli angoli $\varphi$ definiti dalle

12)	$\left\lbrace {\begin{array}{c}\cos \varphi =BB'+CC'+DD'\\\cos \varphi =\beta \beta '+\gamma \gamma '+\delta \delta '\end{array}}\right.$

non sono altro per le (10) che gli angoli formati dalle due coppie di parallele tirate dal punto $(1,0,0,0)$ alle due rette date in un verso o nell’altro; e per teor. precedente si vede che invece di tirare queste parallele dal punto $(1,0,0,0)$ si possono tirare queste parallele da un punto qualunque dello spazio, senza che per questo muti la determinazione dell’angolo.

Se le due rette sono le rette $(x,\xi )$ e $(y,\eta )$ abbiamo per l’angolo delle due rette la seguente formula:

$\cos \varphi =\sum [x\xi ]_{i}[y\eta ]_{i}$ oppure la $\cos \varphi =\sum [x\xi ]'_{i}[y\eta ]'_{i}$

a seconda che l’angolo si misura con parallele in un senso o nell’altro cioè per le identità (8) si ha

$\cos \varphi =\cos {\widehat {xy}}\cos {\widehat {\xi \eta }}-\cos {\widehat {\xi y}}\cos {\widehat {x\eta }}\pm (x\xi y\eta )$

dove con ${\widehat {xy}},{\widehat {\xi \eta }},{\widehat {\xi y}},{\widehat {x\eta }}$ intendiamo la distanza del punto $(x_{i})$ al punto $(y_{i})$, dal punto $(\xi _{i})$ al punto $(\eta _{i})$ ecc. Senza soffermarci al significato geometrico di $(x\xi y\eta )$ si osservi che:

“Il determinante $(x\xi y\eta )$ è nullo e l’angolo di due rette ammette una sola determinazione allora e allora soltanto che le due rette sono complanari„. (Cfr. le osserv. finali).

Questo teorema ammette un notevole corollario, quando sia applicato a rette infinitamente vicine complanari:

“Se noi delle generatrici di una rigata facciamo le immagini di Clifford relative a un piano qualunque, le due linee così ottenute si corrisponderanno in modo che archi corrispondenti siano uguali allora e allora soltanto che la rigata è sviluppabile„.

E se ricordiamo (Bianchi A) che una rigata è a curvatura nulla solo se è una rigata di Clifford, vediamo che a questo teorema si contrappone l’altro:

“Una rigata è a curvatura nulla soltanto se una delle sue immagini di Clifford si riduce a un punto„.

E noi vediamo subito un nuovo significato delle coordinate di Klein; esse misurano gli angoli, che in un verso e nell’altro una retta forma coi sei spigoli del tetraedro di riferimento o, come si può dire, con una terna di rette ortogonali.

Così, essendo i parametri di scorrimento nient’altro che coordinate proiettive di una retta, e potendosi perciò definire un complesso lineare con un’equazione

$lA+mB+nC=p\alpha +q\beta +r\gamma$

dove $l,m,n,p,q,r$ sono costanti, noi vediamo per le (12) che un complesso lineare ammette in uno spazio ellittico la seguente definizione metrica:

“Le rette di un complesso lineare sono quelle e tutte quelle, per cui è costante ${\frac {\cos \varphi }{\cos \psi }}$, dove $\varphi$ e $\psi$ sono gli angoli che una di esse forma con una retta fissa„.

Questa retta colle notazioni precedenti sarebbe la retta i cui parametri sono $\left({\frac {l}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}}\right.$, ${\frac {m}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}}$, ${\frac {n}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}}$, $\left.{\frac {p}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}}\right)$

Anche nello spazio curvo vale dunque il teorema:

“Un complesso lineare ammette sempre una retta tale che i movimenti elicoidali attorno a essa riportano il complesso in sè stesso„.

Si vedrebbe pure facilmente che il luogo dei punti tali che l’angolo delle parallele tirate per uno di essi a una retta fissa è costante, è una rigata di Clifford, e si avrebbe così una generazione delle rigate di Clifford, per mezzo dei movimenti elicoidali attorno a una retta; generazione identica in fondo a quella data dal prof. Bianchi nella memoria più volte citata; essa però, vista in questa forma differente, si può interpretare proiettivamente così:

“Le proiettività che lasciano fissa una quadrica e due suoi punti $A,B$ portano un punto qualunque dello spazio nei punti di una quadrica che ha comuni con la precedente le generatrici per $A,B$„.

Oss. Non è possibile, a mio credere, definire il parallelismo di piani, che, per la legge di dualità, porterebbe a definire insieme il parallelismo di punti; si può però definire il parallelismo di elementi (insieme di punto e piano che si appartengono). Diremo così che l’elemento $(A,\alpha )$ definito dal punto $A$ e del piano $\alpha$ è parallelo all’elemento $(B,\beta )$ quando esiste uno scorrimento che porti in $A$ in $B$, $\alpha$ in $\beta$.

Il piano $\beta$ è generato dalle parallele tirate per $B$ alle rette di $\alpha$ passanti per $A$.

La distanza da $A$ a $B$ è uguale all’angolo di $\alpha$ con $\beta$.

Le normali in $A$ ad $\alpha$ e in $B$ a $\beta$ sono parallele.

La cosa più interessante in tutto questo è l’esistenza di figure duali che si corrispondono con parallelismo di elementi corrispondenti e la conseguente dimostrazione del principio di dualità senza considerazione dell’assoluto.

Ma per brevità io ne dimostrerò l’esistenza, appunto partendo dall’assoluto; presa una figura $S$, consideriamone la figura polare $S'$, che uno scorrimento qualsiasi porti in $\Sigma$. Le figure $S,\Sigma$ sono appunto due figure duali che si corrispondono nel modo anzidetto.

Note

1. Bianchi (A).