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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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Se noi vogliamo trovare il valore di $(tdef)$ in funzione $\Sigma t^{2},\Sigma d^{2},....\Sigma td,\Sigma te....\Sigma de....$ basterà che noi lo innalziamo al quadrato; otterremo così un determinante i cui termini sono proprio della forma prescritta; estraendo poi la radice quadrata avremo, a meno del segno, il valore di $(tdef)$. E se ne deduce:

I. Se $t_{i}=e_{i},d_{i}=f_{i},\Sigma t^{2}=\Sigma d^{2}=1,\Sigma td=0$ si ha

$\sum \left\lbrace [td]_{i}[ef]_{i}\right\rbrace =1,$

come si poteva prevedere ricordando le (5) e (5').

II. Se le $t$ le $d$, le $e$, le $f$ formano quattro quaderne affatto distinte e $\Sigma t^{2}=\Sigma d^{2}=\Sigma e^{2}=\Sigma f^{2}=1$, mentre

$\sum td=\sum te=\sum tf=\sum de=\sum df=\sum ef=0,$

si ha

$\sum \left\lbrace [td]_{i}[ef]_{i}\right\rbrace =\pm 1.$

e, senza preoccuparci per ora del segno, basti osservare che esso cambia, scambiando due delle quattro quaderne.

III. Se $e_{i}=t_{i}$, ma $d_{i}\neq f_{i}$ e $\Sigma ed=\Sigma ef=\Sigma df=0$, mentre

$\sum e^{2}=\sum d^{2}=\sum f^{2}=1,$

si ha

$\sum \left\lbrace [td]_{i}[ef]_{i}\right\rbrace =0.$

L’ambiguità di segno che comparisce nel II di questi casi, e che deve sempre comparire per il modo in cui noi calcoliamo il determinante $(tdef)$ appena $(tdef)$ non sia nullo, non ci causa nessun imbarazzo; e ciò perchè scambiando i simboli $[td]_{i}$ coi simboli $[td]'_{i}$ si ha un’identità che differisce dalla (8), come un facile calcolo rivela, soltanto per il segno di $(tdef)$. Ora, siccome noi consideriamo sempre contemporaneamente le due specie di parallelismo e di simboli, ci basterà fare il calcolo con una sola specie di simboli, p. es. coi simboli non accentati; otterremo così, è vero, dei termini a segno