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G. Fubini

oppure quando

γ) sono esse stesse la posizione iniziale e la posizione finale di una retta sottoposta a uno scorrimento.

L’esistenza di due specie di scorrimenti dimostra l’esistenza di due specie di rette parallele: parallele destrorse e parallele sinistrorse; osserviamo però che da un solo scorrimento noi possiamo dedurre tanto parallele destrorse, quanto sinistrorse; e ciò secondo che ci serviamo della generazione α) o della generazione γ) di rette parallele.

Noi riporteremo qui le formule definenti uno scorrimento, nelle quali supporremo, come si farà sempre d’ora in poi, uguale a $+1$ la curvatura dello spazio ambiente, indicheremo con $(x_{i})$ e $(x'_{i})$ le coordinate di Weierstrass della posizione iniziale e della posizione finale di uno stesso punto, e indicheremo con $A,B,C,D$ e con $(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )$ otto costanti legate dalle relazioni

$A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}=1.$

Avremo per scorrimenti di prima specie¹:

1)	$\left\lbrace {\begin{array}{c}x'_{1}=Ax_{1}-Bx_{2}-Cx_{3}-Dx_{4}\\x'_{2}=Bx_{1}+Ax_{2}-Dx_{3}+Cx_{4}\\x'_{3}=Cx_{1}+Dx_{2}+Ax_{3}-Bx_{4}\\x'_{4}=Dx_{1}-Cx_{2}+Bx_{3}+Ax_{4}\end{array}}\right.$

per scorrimenti di seconda specie

2)	$\left\lbrace {\begin{array}{c}x'_{1}=\alpha x_{1}-\beta x_{2}-\gamma x_{3}-\delta x_{4}\\x'_{2}=\beta x_{1}+\alpha x_{2}+\delta x_{3}-\gamma x_{4}\\x'_{3}=\gamma x_{1}-\delta x_{2}+\alpha x_{3}+\beta x_{4}\\x'_{4}=\delta x_{1}+\gamma x_{2}-\beta x_{3}+\alpha x_{4}.\end{array}}\right.$

§. 2. Con le coordinate di Weierstrass di punto e di piano, una retta (geodetica) si definisce dando le coordinate $(x_{i})$ di un suo punto

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1. Bianchi (A).