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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici 17


a seconda che l’angolo si misura con parallele in un senso o nell’altro cioè per le identità (8) si ha

dove con intendiamo la distanza del punto al punto , dal punto al punto ecc. Senza soffermarci al significato geometrico di si osservi che:

Il determinante è nullo e l’angolo di due rette ammette una sola determinazione allora e allora soltanto che le due rette sono complanari„. (Cfr. le osserv. finali).

Questo teorema ammette un notevole corollario, quando sia applicato a rette infinitamente vicine complanari:

Se noi delle generatrici di una rigata facciamo le immagini di Clifford relative a un piano qualunque, le due linee così ottenute si corrisponderanno in modo che archi corrispondenti siano uguali allora e allora soltanto che la rigata è sviluppabile„.

E se ricordiamo (Bianchi A) che una rigata è a curvatura nulla solo se è una rigata di Clifford, vediamo che a questo teorema si contrappone l’altro:

Una rigata è a curvatura nulla soltanto se una delle sue immagini di Clifford si riduce a un punto„.

E noi vediamo subito un nuovo significato delle coordinate di Klein; esse misurano gli angoli, che in un verso e nell’altro una retta forma coi sei spigoli del tetraedro di riferimento o, come si può dire, con una terna di rette ortogonali.

Così, essendo i parametri di scorrimento nient’altro che coordinate proiettive di una retta, e potendosi perciò definire un complesso lineare con un’equazione

dove sono costanti, noi vediamo per le (12) che un complesso lineare ammette in uno spazio ellittico la seguente definizione metrica: