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G. Fubini

e analogamente

6')

$\left\lbrace {\begin{array}{c}\beta ={\begin{vmatrix}\xi _{2}&\xi _{1}\\x_{2}&x_{1}\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}\xi _{4}&\xi _{3}\\x_{4}&x_{3}\end{vmatrix}}\\\gamma ={\begin{vmatrix}\xi _{3}&\xi _{1}\\x_{3}&x_{1}\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}\xi _{2}&\xi _{4}\\x_{2}&x_{4}\end{vmatrix}}\\\delta ={\begin{vmatrix}\xi _{4}&\xi _{1}\\x_{4}&x_{1}\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}\xi _{3}&\xi _{2}\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}.\\\end{array}}\right.$

Se ora $(t_{1},t_{2},t_{3},t_{4})$ e $(d_{1},d_{2},d_{3},d_{4})$ sono due quaderne di variabili, noi indicheremo con $[td]_{2},[td]_{3},[td]_{4}$ tre espressioni formate con le $t$, e con le $d$ appunto come $B,C,D$ sono formate con $(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\xi _{4})$ e $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$; e analogamente indicheremo con $[td]'_{2},[td]'_{3},[td]'_{4}$ espressioni formate con $(t_{i})$ e $(d_{i})$ come le $\beta ,\gamma ,\delta$ con $(\xi _{i})$ e $(x_{i})$.

Se noi ricordiamo lo sviluppo del prodotto di due matrici a due linee nella somma dei prodotti dei loro minori corrispondenti, e lo sviluppo di un determinante del quarto ordine nella somma dei prodotti dei minori del II ordine staccati dalla matrice formata dalle prime due linee per i minori complementari, otteniamo facilmente la seguente identità fondamentale:

7)	$\sum _{i}\left\lbrace [td]_{i}[ef]_{i}\right\rbrace ={\begin{Vmatrix}t_{1}&t_{2}&t_{3}&t_{4}\\d_{1}&d_{2}&d_{3}&d_{4}\end{Vmatrix}}\cdot {\begin{Vmatrix}e_{1}&e_{2}&e_{3}&e_{4}\\f_{1}&f_{2}&f_{3}&f_{4}\end{Vmatrix}}+$

$+{\begin{vmatrix}t_{1}&t_{2}&t_{3}&t_{4}\\d_{1}&d_{2}&d_{3}&d_{4}\\e_{1}&e_{2}&e_{3}&e_{4}\\f_{1}&f_{2}&f_{3}&f_{4}\end{vmatrix}}.$

Indicando con $(tdef)$ il determinante del 2.° membro, questa identità si può scrivere:

8)	$\sum \left\lbrace [td]_{i}[ef]_{i}\right\rbrace =\sum te\sum df-\sum tf\sum de+(tdef).$